ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2007, том 415, № 2, с. 193-196
= ФИЗИКА ^
УДК 536.48:537.2:537.29
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ КОЛЬЦЕВАЯ ЛОВУШКА ДЛЯ МЕЖЪЯМНЫХ ЭКСИТОНОВ В ДВОЙНЫХ КВАНТОВЫХ ЯМАХ
© 2007 г. Член-корреспондент РАН Л. А. Максимов, Т. В. Хабарова
Поступило 02.03.2007 г.
ВВЕДЕНИЕ
В недавней работе [1] приведены результаты по наблюдению коллективного состояния системы межъямных экситонов (МЭ) в двойных GaAs/AlGaAs квантовых ямах. Возбуждение и регистрация фотолюминесценции межъямных и внутриямных экситонов осуществляли сквозь круговые окна диаметром 2-20 мкм в металлическом затворе-маске. Обнаружено, что картина фотолюминесцении МЭ при определенных условиях демонстрирует регулярно-неоднородную пространственную структуру: вдоль периметра окон видно несколько эквидистантно расположенных ярких пятен. Эта структура появляется только выше порога мощности фотовозбуждения (Р = 1.5 мкВт), причем число пятен увеличивается с ростом накачки. Однако при больших накачках (Р > 200 мкВт) структура отчетливых периодически расположенных пятен размывается. При фиксированной накачке наблюдаемое явление демонстрирует критическое поведение по температуре - при Т >4 К структура регулярно расположенных пятен также начинает размываться. Для внутриямных экситонов в аналогичных экспериментальных условиях пространственно-неоднородная структура люминесценции не наблюдается.
В данной работе производился расчет электростатического поля внутри и снаружи плоского конденсатора с круглым отверстием в верхней пластине. В отличие от предыдущих работ [2, 3] мы показали, что задача может быть сведена к двумерной, и нашли соответствующее аналитическое решение. Также рассмотрена трехмерная задача, расчет для которой производился численно. Полученные результаты показывают, что двумерный случай хорошо описывает глубину потенциальной ямы, трехмерная же задача дает более четкое представление о горизонтальной координате положения ее минимума. Показано наличие кольцевой потенциальной ямы, располо-
Российский научный центр "Курчатовский институт" Москва
женной под окном вблизи края выреза. При перемещении плоскости с МЭ внутри конденсатора от верхней пластины к середине яма сдвигается от края окна в глубь конденсатора, становясь более мелкой и исчезая совсем у середины конденсатора. Однако, даже если плоскость квантовых ям находится посередине конденсатора, за счет распределения поля плотность экситонов под маской больше, чем в области отверстия, что также может обусловливать кольцеобразную картину люминесценции.
Электростатическая потенциальная яма-ловушка позволяет удерживать МЭ, только если ее глубина существенно больше температуры. В нашем случае на расстоянии 0.45И (где И - расстояние между пластинами конденсатора) от верхней пластины глубина ямы примерно равна 1 К, а при 0.5И равна нулю. Поэтому температурное размытие пятнистой картины люминесценции, наблюдавшееся в [1] при 0.5И, не может быть объяснено как эффективное исчезновение ловушки.
АНАЛИТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ
Для расчета электрического поля внутри плоского конденсатора с круглым отверстием в верхней пластине требуется решить уравнение Лапласа
ДФ = 0, (1)
ф - потенциал электростатического поля. Учитывая радиальную симметрию задачи, уравнение (1) следует записать в цилиндрических координатах. Поскольку в эксперименте [1] толщина конденсатора И на порядок меньше радиуса Я отверстия в нем, можно предположить, что кривизна границы отверстия не играет при расчете большой роли (по крайней мере, вблизи отверстия). Пренебрегая кривизной, отбрасываем в уравнении Лапласа 1
слагаемое с -, сводя задачу к двумерной:
Э-2ф + Э-2ф = 0, (2) д х ду
У ¿4 Г = Х + ^-у
¿5 h ¿3
¿6 | ¿1 1 ¿2
- R
R
г(*) = С (* +
2 1
а - 1
1п
1 + -1 - -
(3)
= С'
2
а - 1
Я = Са + -1п
-п,
а + 1
(4)
п а - 1'
п^К 1+ *
г = С* + - 1п --.
п 1 - *
(5)
Второе отображение ^ = /(*), переводящее верхнюю полуплоскость * в полосу шириной V, задается формулой [4]
V, 1 + *
^ = — 1п--.
п 1 - *
(6)
Комбинируя (5) и (6), получаем искомое отображение
2 = С Л2?+Г Напряженность поля равна
Е = Е + ¡Е = -
Э£"
-1
(7)
(8)
Рис. 1. Полуплоскость с двумя горизонтальными вырезами г = х + ¡у. Ось х изображает нижнюю пластину конденсатора, а вырезы - верхнюю пластину с отверстием.
где ось у перпендикулярна пластинам и проходит через центр отверстия, а ось х лежит в плоскости нижней пластины.
Пусть потенциал верхней пластины равен V, а нижней - нулю. Для нахождения ф используем метод конформного отображения [4]. Задача сводится к нахождению отображения г = /(м>) полосы w = и + ¡V на верхнюю полуплоскость с двумя горизонтальными вырезами г = х + ¡у (рис. 1); его можно скомбинировать из двух более простых. Отображение г(*) переводит верхнюю полуплоскость * на внутренность г многоугольника АА^зЛИ^ с вершинами А2, А4 и А6 в бесконечно удаленных точках. Согласно теореме Шварца-Кристоффеля [4]
т.е. в нашем случае
Е = - V
г \-1
Сп 1
2Л , 2wп
(9)
причем вершины многоугольника переходят соответственно в точки на действительной оси: А1 ^ 0, Л2 ^ 1, Л6 ^ -1, А3 ^ а, А5 ^ -а, Л4 - в бесконечно удаленную точку. Граничные условия (Я + ¡Л ^ а) определяют параметры а и С:
Как и следовало ожидать, далеко внутри конденсатора (когда знаменатель дроби в скобках большой) напряженность поля близка к напряженности равномерного поля.
ЧИСЛЕННЫМ РАСЧЕТ
Для оценки достоверности аналитического решения рассмотрим пространственную задачу, которая сводится к нахождению функции ф(г, г), удовлетворяющей уравнению Лапласа в ограниченной области О. Изначально конденсатор является бесконечным, однако можно замкнуть расчетную область, проведя дополнительные границы достаточно далеко, чтобы они не давали значительного вклада в картину электростатического поля в районе выреза. Для нахождения численного решения обезразмерим уравнение (1) в цилиндрических координатах:
ф г
ф Г х = Я у
(10)
Выражая а из первого уравнения (4) и подставляя его во второе, можно найти С численно. Тогда (3) принимает вид
Расчет выполняется с помощью разностных методов. Была выбрана равномерная сетка, образованная координатными линиями, параллельными осям х и у с шагом 5 по обеим осям. Узлы сетки пронумерованы индексами i и у по осям х и у соответственно. Расчетная область О имела вид прямоугольника с границами х = 0, у = 0, х = Ьъ у = Ь2 (Ьъ Ь2 > 1) и вырезом у = 1 (1 < х < Ь1), изображающим верхнюю пластину конденсатора. На верхней пластине потенциал равен нулю, на нижней -минус единице. При х = 0 производная потенциала равна нулю (из условий непрерывности), при х = Ьь 0 < у < 1 (т.е. глубоко внутри конденсатора) потенциал можно считать равномерным: ф(х = ¿ь у) = =у - 1. На остальных границах области ф(х, у) = 0.
Разностное уравнение Лапласа, записанное для узла (¡, у), для осесимметричной задачи имеет вид
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ КОЛЬЦЕВАЯ ЛОВУШКА
195
Х' + Х' -1 4 хг- + xi +1
-—О-" Ф'-1,1 - О. Ф', У + --Г^т ф' + 1, ' +
2 Х' о о 2 Х' о
+ А Ф', 1 -1 + ^ Ф', 1 +1 = 0,
оо
1.00 1.20 1.22 1.24 1.26
(11)
где Х', фу - соответственно значения координаты х и потенциала ф в узле (',у). Граничные условия дают значения потенциалов во всех граничных узлах, кроме участка х = 0, где непрерывность производной обеспечивает условие фг- - ^у = фг у. Уравнение (11) упрощается, если учесть, что Ху = у5. Поскольку сетка равномерная, полученное уравнение аппроксимирует уравнение Лапласа с погрешностью 52. Записывая его для каждого узла сетки, покрывающей область О, получаем замкнутую систему разностных уравнений с заданными граничными условиями.
Таким образом, задача свелась к решению системы линейных алгебраических уравнений.
Для сокращения вычислений задачу разбили на два этапа. Сначала расчет проводили на сетке, полностью покрывающей область О (порядка 104 узлов), причем границы Ьъ Ь2 определяли так, чтобы вклад от граничных условий не превышал погрешности аппроксимации в районе выреза. Затем из полученного решения выделяли значения потенциала в узлах, соответствующих отверстию в конденсаторе в плоскости верхней пластины. По этим значениям при 0 < х < 1 аппроксимировалась кривая / (х) = ф(х, у = 1), которая дала возможность получить существенно меньшую расчетную область О1 с границами х = 0, у = 0, х = Ьъ у = 1. Это позволило увеличить число узлов в сетке и на порядок снизить погрешность аппроксимации.
Форма линий равного потенциала, полученная в результате численного расчета, полностью соответствует их форме в двумерном случае. Напряженность электрического поля в узле (', у) имеет вид разностной производной
Е = Е х + Е у = ф'- + 1 - СФг - 1 - е х +
2о
, Фу + 1 - Ф.', у - 1 е 25 еу •
(12)
Eyh
V
ЕуИ
Рис. 2. Зависимость —,-;- от х при у = 0.4И для трехмерной (штриховая линия) и двумерной (черная линия) задач. Кривая, соответствующая трехмерному случаю, смещена по оси х на 0.2 в положительном направлении.
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА
Пренебрегая толщиной квантовых ям по сравнению с толщиной конденсатора (соответствующее отношение порядка 0.1), можно считать, что распределение МЭ определяется зависимостью электрического потенциала ф(х, у) при одинаковом значении высоты у плоскости квантовой ямы над нижней пластиной конденсатора. На рис. 2 представлены полученные графики зависимости вертикальной составляющей напряженности поля от координаты х на высоте у = 0.4 для трехмерной и двумерной задач (здесь и далее у будем отсчитывать от верхней пластины конденсатора).
Потенциальная энергия МЭ, помещенного в электрическое поле, определялась согласно формуле
2
и = -БЕ -■
■ е^хЕх - ейуЕу -
и2,+4
(13)
Таким образом, аналитический ответ для двумерного случая и численный расчет трехмерной задачи дают одинаковую структуру поля с точностью до И , которая была взята равной 0.1, т.е. с Я
относительной точностью 10%.
На рис. 3 по результатам численного расчета изображена зависимость потенциальной энергии экситонов от положения плоскости квантовой ямы с учетом вклада от продольной составляющей поля (нижняя кривая) и без (верхняя кривая), когда и ~ иу = вё)Еу. Поскольку глубина потенциаль
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.