ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2015, № 3, с. 168-176
РОБОТОТЕХНИКА
УДК 531.391:62-50
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ВИБРОРОБОТА В СРЕДЕ С НАСЛЕДСТВЕННЫМ ЗАКОНОМ СОПРОТИВЛЕНИЯ*
© 2015 г. А. Г. Егоров, О. С. Захарова
Казань, ВГОАУ ВПО К(П)ФУ Поступила в редакцию 28.10.13 г., после доработки 19.11.14 г.
Изучается существенно нестационарное прямолинейное движение в жидкости двухмассовой системы, состоящей из сферического корпуса и подвижной внутренней массы. В силы сопротивления, помимо квадратичных по скорости вязких сил, включены также зависящие от предыстории движения силы Бассе и инерционные силы "присоединенных масс". Задача состоит в отыскании периодического закона движения внутренней массы, минимизирующего работу сил сопротивления за период движения системы при фиксированном периоде колебаний и заданной средней скорости движения корпуса. Исследована зависимость оптимальных режимов от безразмерного периода колебаний, характеризующего отношение сил Бассе к вязким силам.
БО1: 10.7868/80002338815030063
Введение. Исследуемая механическая система моделирует виброробот — мобильное устройство, способное перемещаться без подвижных внешних частей в сопротивляющейся среде. Перемещение системы как целого обеспечивается за счет периодических колебаний внутреннего движителя (внутренней массы) относительно корпуса. Вибророботы обладают рядом преимуществ перед традиционными мобильными аппаратами. Они просты по конструкции, их корпус может быть сделан герметичным и не содержащим выступающих деталей, что обеспечивает возможность их использования в условиях ограниченного пространства.
Впервые вопрос об оптимальном движении системы посредством перемещения внутреннего тела был поставлен Ф.Л. Черноусько [1, 2], рассмотревшим прямолинейное движение по горизонтальной плоскости твердого тела с полостью, содержащей подвижную внутреннюю массу, при наличии кулоновского трения между плоскостью и телом. В последнее время данная проблематика широко обсуждается в литературе как для других идеализированных законов сопротивления, так и для неодномерных перемещений внутренних масс [3—8]. Весьма общая ситуация рассмотрена в [9], где от силы сопротивления требуется всего лишь являться монотонно возрастающей функцией скорости движения корпуса. В [10] закон сопротивления был выбран на основе известных экспериментальных данных для случая движения сферического корпуса в вязкой жидкости [11]. Наличие кризиса сопротивления делает в этом случае зависимость силы сопротивления от скорости немонотонной. До сих пор, однако, исследования ограничивались квазистационарными законами, когда сила сопротивления однозначно определялась скоростью движения корпуса.
В действительности гидродинамические силы сопротивления движению корпуса в вязкой жидкости определяются течениями, которые были сформированы телом в жидкости за все время движения. В общем случае они не могут быть описаны исключительно в терминах мгновенной скорости, но должны определяться всей предысторией движения. В гидродинамике учет предыстории осуществляется посредством нелокальной по времени силы сопротивления Бассе. В данной работе сила Бассе задается в своей простейшей, классической форме, имеющей строгое обоснование лишь для случая медленного движения корпуса. Тем не менее принятая постановка полезна при изучении движения виброробота в вязкой жидкости по двум причинам: как необходимый первый шаг при рассмотрении более реалистичных законов [12, 13] для наследственных сил сопротивления и как средство качественной оценки границ применимости квазистационарного приближения.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 14-01-31230).
Оптимизационная задача в данной работе ставится в энергетической постановке, предложенной в [8, 10]. Она состоит в определении периодического закона движения внутренней массы, минимизирующего работу сил сопротивления за период движения системы при фиксированном периоде колебаний и заданной средней скорости движения корпуса.
1. Постановка задачи. Рассмотрим систему, состоящую из двух тел. Тело сферической формы (корпус) массы M находится в вязкой жидкости, а тело массы m (далее — "внутренняя масса") перемещается внутри него. Изучаются продольные периодические движения внутренней массы относительно корпуса, при которых вся система перемещается как целое. Обозначим через u скорость корпуса, а через x и v = x — перемещение и скорость внутренней массы относительно корпуса. Основное уравнение, описывающее скорость движения u(t) корпуса при заданном законе x(t) движения внутренней массы, имеет вид
(m + M) u + R = -mX. (1.1)
Здесь R — сила сопротивления движению корпуса со стороны жидкости, зависящая в общем случае не только от текущего значения скорости u(t), но и от ее предыстории (u(x), т < t}. В уравнении (1.1) x(t) играет роль кинематического управления.
Обозначая угловыми скобками
т
<•) = T()dt
о
среднее по периоду T, определим среднюю мощность
N [u(t)] = (uR [u(t)]),
затрачиваемую на преодоление сил сопротивления. Эта величина равна [8] мощности сил, сообщаемых корпусу внутренней массой. Предложенная в [8] постановка оптимизационной задачи состоит в отыскании такого периодического закона x(t) колебаний внутренней массы, который при фиксированном периоде T колебаний и заданной средней скорости (u) = U движения корпуса минимизировал бы мощность внутреннего движителя N[u].
Удобство такой постановки состоит в том, что исходная задача расщепляется на две последовательно решаемые задачи: первая из них определяет оптимальный закон u(t) движения корпуса, вторая восстанавливает по оптимальному закону u(t) зависимость x(t) движения внутренней массы от времени. Возможность расщепления связана с тем, что единственное условие, накладываемое на функцию x(t), условие периодичности, можно выразить в терминах u. Действительно, соотношение (1.1), рассматриваемое как задача нахождения периодической функции x(t) при заданной периодической левой части, имеет решение тогда и только тогда, когда (R) = 0. Поэтому при любом периодическом законе u(t), удовлетворяющем ограничению R = 0, периодическая функция x(t) находится из соотношения (1.1) простым интегрированием. Исходная задача при этом сводится к задаче, состоящей в нахождении периодической с периодом T функции u(t), доставляющей минимум функционалу N[u] с учетом ограничений (u) = U, R = 0.
До сих пор поставленная выше и аналогичные ей задачи рассматривались [8, 10] в квазистационарной постановке, когда сопротивление R полностью определяется текущей скоростью тела. В случае движения в вязкой жидкости сферического виброробота
R(u) = 1 Cx (Re)npa2 lulu, Re = —. (1.2)
2 v
Здесь a — радиус сферы, v и p — кинематическая вязкость и плотность жидкости. Коэффициент сопротивления Cx считается известной функцией мгновенного числа Рейнольдса Re. При Cx = const оптимизационная задача была решена в [8], при заданной по результатам экспериментов зависимости Cx (Re) — в [10].
При движении тела в вязкой жидкости условие квазистационарности гидродинамических сил сопротивления применимо лишь при малых ускорениях тела и, следовательно, неизбежно нарушается с ростом частоты колебаний внутренней массы. К сожалению, до сих пор единственным строго обоснованным выражением для действующих на сферу гидродинамических сил остается формула, полученная в пределе бесконечно малых чисел Рейнольдса [14]:
Я = 6пapvи + а2 [ . &т + 2 паЗр. (1.3)
1 ^пv ( - т) 3 Л
В ней первое слагаемое описывает силы вязкого сопротивления, второе — силы Бассе, третье — инерционные силы "присоединенных масс". Заметим, что для любого периодического закона движения и(0 среднее по периоду от сил Бассе равно нулю, а оператор Бассе
t
Rh И)]= I
положительно определен:
(Rh) = 0, (uRH) > 0.
С учетом этого ясно, что формула (1.3) не допускает поступательного движения виброробота. Действительно, при взятии среднего от обеих частей, пользуясь условием периодичности u и удовлетворяя ограничению R = 0, находим, что {и) = 0. Таким образом, для того, чтобы движение было возможно, оно должно происходить не при бесконечно малых, а при конечных числах Рей-нольдса.
Естественное и широко используемое на практике [15] обобщение (1.3) на случай конечных чисел Рейнольдса получается при замене вязких сил в (1.3) зависимостью вида (1.2) с эмпирически определяемым коэффициентом сопротивления. Такой подход подвергается обоснованной критике [13, 16]. Тем не менее, на наш взгляд, он является полезным первым шагом при изучении движения виброробота в присутствии сил гидродинамического сопротивления. Исключая дополнительно инерционные силы в (1.3) за счет увеличения в (1.1) кажущейся массы основного
тела на присоединенную массу M0 = 2npa3/3 (половину массы вытесненной корпусом жидкости), приходим к используемому в данной работе выражению для сил сопротивления
R = 1 Cxnpa2 |u|u + 6pa2yfnvRH[и]. (1.4)
Как видно, отличие (1.4) от квазистационарного приближения (1.2) состоит лишь в дополнительном учете сил Бассе.
Ограничимся рассмотрением важного частного случая Cx = const квадратичного сопротивления. Он отвечает умеренным числам Рейнольдса, лежащим в диапазоне 800 < Re < 3 • 105. Внутри этого диапазона Cx изменяется в пределах 0.4—0.5 [11]. Нормируя скорость и на U, время t на период T, запишем задачу об оптимальном управлении движением корпуса в виде
Nmin = min (Nv [u] + sNh [u]), (1.5)
U = 1, (1.6)
(u|u|) = 0, (1.7)
Nv =(|u|3), Nh = (uRh) .
Минимизация в (1.5) проводится на множестве периодических с периодом единица функций, удовлетворяющих ограничениям (1.6), (1.7). При записи (1.7) дополнительно учтено, что (RH) = 0 для любой периодической функции u. Единственный безразмерный параметр задачи (1.5)
12 /v (1.8)
пТ
задает степень нестационарности движения тела, характеризуя отношение сил Бассе к вязким силам.
После определения в результате решения задачи (1.5)—(1.7) оптимальных зависимостей u(t), R[u] решается задача нахождения оптимального управления движением внутренней массы. Нормируя относительную координату х внутренней массы на запишем эту зад
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.