ГЕОМАГНЕТИЗМ И АЭРОНОМИЯ, 2014, том 54, № 4, с. 455-462
УДК 533.9.01;533.932;533.933;533.9.082.76
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВОЗМУЩЕНИЯ БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ ПЛАЗМЫ ПОГЛОЩАЮЩЕЙ СФЕРОЙ
© 2014 г. В. Л. Красовский
Институт космических исследований РАН, г. Москва e-mail: vkrasov@iki.rssi.ru Поступила в редакцию 02.11.2012 г. После доработки 04.03.2014 г.
В дополнение к известным расчетам концентрации и плотности тока, представлены результаты расчетов плотности энергии и плотности потока энергии заряженных частиц бесстолкновительной плазмы, возмущенной поглощающим телом сферической формы. Показано, что важным параметром задачи является внешний радиус сферического слоя, в котором возможно финитное движение частиц. Обсуждаются также следствия, вытекающие из уравнений для моментов функций распределения электронов и ионов.
DOI: 10.7868/S001679401404004X
1. ВВЕДЕНИЕ
Изучение структуры возмущения плазмы поглощающим телом сферической формы имеет длительную историю и восходит к первым исследованиям газоразрядной плазмы и последующим работам по теории электрического зонда [MottSmith and Langmuir, 1926; Allen et al., 1957; Bernstein and Rabinowitz, 1959; Каган и Перель, 1963]. Зон-довые методы диагностики плазмы нашли широкое применение в космических исследованиях [Альперт и др., 1964; Chugunov and Mareev, 2001]. Наконец, работа в этом направлении получила новый импульс благодаря развитию физики пылевой космической и лабораторной плазмы в последние десятилетия [Goertz, 1989; Fortov and Morfill, 2010]. Несмотря на кажущуюся простоту данной физической задачи, ее строгое решение наталкивается на ряд трудностей как методического, так и математического характера. Причины этих трудностей обсуждались в статьях Гуревича [1963а, 19636, 1964], результаты и техника расчетов которых суммированы в широко известной книге [Альперт и др., 1964]. Хотя вплоть до настоящего времени по-прежнему большое внимание уделяется приближенным методам [Allen, 1992], уже в этих статьях продемонстрированы возможности последовательного решения задачи на основе кинетического описания плазмы [Bernstein and Rabinowitz, 1959].
В литературе неоднократно указывалось на принципиальную трудность, препятствующую построению замкнутых теоретических моделей возмущения плазмы поглощающей сферой. Она касается функции распределения захваченных частиц, движущихся около сферы по финитным орбитам, и определения их вклада в экранирование заряженной сферы [Гуревич, 1963а; 1964;
Альперт и др., 1964]. С учетом столкновений между частицами плазмы, возможный метод расчета функции распределения захваченных частиц впервые был разработан Гуревичем [1963а] (см. также [Оогее, 1992]). Однако, применительно к плазме без столкновений, распределение захваченных частиц остается неопределенным в рамках непосредственного поиска решения, описывающего состояние равновесия возмущенной плазмы. Это неизбежно влечет за собой отсутствие единственности решения. В такой ситуации важное значение приобретает анализ устойчивости равновесных состояний, который предполагает изучение энергетических свойств физической системы.
Основная цель данной статьи — представить расчеты моментов функций распределения электронов и ионов, движущихся по инфинитным траекториям в центрально-симметричном поле. Однако, в отличие от предшествующих работ, в которых получены выражения для концентрации и плотности тока, ниже приводятся формулы для расчета энергетических величин.
2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим возмущение изотропной бесстолкновительной плазмы, обусловленное поглощающим телом сферической формы. Как и в большинстве предшествующих работ, нас будут интересовать параметры возмущения плазмы вне сферы и взаимосвязи физических величин в равновесном состоянии. Будем считать, что выполнены условия применимости кинетического уравнения Власова для описания плазмы. Граничное условие на сфере для уравнения Власова
соответствует полному поглощению всех частиц, при движении достигающих ее поверхности. Естественным граничным условием для функций распределения электронов и ионов на бесконечности являются некоторые невозмущенные изотропные в пространстве скоростей функции /е0&) и /0(у), где V — модуль скорости частицы.
Ниже, для краткости, будем использовать безразмерную форму уравнений. Так как в бесстолк-новительной плазме невозмущенные распределения частиц/е0(^), /¡0(у), вообще говоря, могут отличаться от максвелловских, для определения единиц измерения физических величин удобно воспользоваться понятием среднеквадратичной скорости для
ne, i0 =
невозму-
электронов и ионов ce, i = (2Wei0ln0mei)^2, где
= «o = jdWe,i0 = (me,i/2)jd^vfeiov2
щенные значения концентрации и плотности кинетической энергии. Определим электронный и ионный радиусы экранирования dei = cej/юе,-, где
ше;- = (4ne 2n0jmei)^2 — электронная и ионная плазменные частоты. Эффективный дебаевский радиус экранирования, определенный выражением
d = V 2d2d21 (d2 + d2), в безразмерном виде равен D = d/R.
Введем следующие единицы измерения [r] = R,
[n] = n0, [ф] = 4nen0d2; [E] = 4nen0d2/r , где r — радиальное расстояние, ф — электрический потенциал и E — электрическое поле. В результате безразмерное уравнение Пуассона, описывающее пространственную зависимость потенциала, с учетом сферической симметрии задачи приобретает вид
(D/r)\d/dr) (r2(d$/dr)) = ne - n, E = -d^/dr. (1)
Будем считать, что сфера заряжена отрицательно, и потенциал на ее поверхности (r = 1) равен ф = -A. Введем в рассмотрение функцию a(r), описывающую форму потенциала так, что Ф(г) = -Aa(r). Будем использовать также новую независимую переменную х = if r2. Тогда, функция а(х) есть монотонно возрастающая функция на отрезке 0 < х < 1, причем а(0) = 0 и а(1) = 1.
Кинетическое уравнение для ионов имеет вид
m,vr(dfldr) - (6U/dr)(df /dvr) = 0, U = M Y 2m{r2 + eф(r).
(2)
Решением этого уравнения является произвольная функция интегралов движения / = /(М, м>). Для ее определения необходимо использовать вышеупомянутые граничные условия. Для электронов выкладки аналогичны; достаточно изменить знак заряда и заменить т^ на те. Определим теперь единицы измерения физических величин,
характеризующих индивидуальные частицы
[Ve,i] = daeJA12, [We,i] = eA[^>], [Mej] = mejRVej], где
vei, wei и Mei — скорости, энергии и угловые моменты электронов и ионов соответственно.
В результате, выражения для полной энергии частиц приобретают очень простой симметричный вид w = v2¡2 ± a(r), где знаки ± соответствуют электронам и ионам. Энергию можно представить в виде суммы кинетической энергии радиального движения и эффективной потенциальной энергии w = v2rj2 + u(J, x), щ = M2/2r2 - a(r) = = xJ -a(x), ue = M2/2r2 + a(r) = xJ + a(x), где
J = M2 ¡2 = const. Далее используются также единицы измерения функции распределения, плотности тока, плотности энергии и потока энергии
[fe,A = no/[Veti]\ [j] = [je] = e^We], [j ¡] = e^frf],
[W] = [Wef] = [Wf] = 4n(en0d)2, [5] = [Se] = m^M*, [Sf] = min0(&ld) . Плотность электростатической энергии E2/8п обозначена WF. Суммарная плотность кинетической энергии плазмы есть Wkin = We + W f. Полные плотности тока и потока энергии в безразмерном виде равны j = je + j
S = Se + pSf, где ц = (me/mi)^2. Полная плотность энергии определяется выражением
W = Wkin + WF, где WF = D2(E2¡2).
Переход к новым переменным интегрирования в выражениях для моментов функций распределения позволяет записать энергетические величины в виде
да да
W,e = 2nxAjdJ j
0 U,e
dwjfj+e + fe) P(W - Ui,e)
(w ± a),
(3)
Sie = 2nxA
3/2
jdJ j dw(f+ - f-)(w ± a), (4)
где верхний знак соответствует ионной компоненте. Индексами "+" и "—" помечены функции распределения частиц с положительными и отрицательными радиальными скоростями, т. е.
/ + = /(Vг > 0) и /- = /(Vг < 0). Представляет интерес также выражение для плотности энергии радиального движения частиц
да да
W[e = nxA \dJ j dw(f+ + f-)p(w - Uf e). (5)
Плотность энергии движения частиц в перпендикулярном направлении равна разности = Ж - Жг. Выражения (3)—(5) носят пока лишь формальный
0
u
0 u
характер. Для завершения расчетов следует определить функции распределения /е1(м>, I) в явном виде, учитывая дополнительные ограничения на область интегрирования, связанные с граничными условиями.
3. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
(1/4 n)U = (D 74)
Интегрируя уравнение (2) с соответствующим
весом 1, vr, v2r и v2 = (M/r)2, обычным путем можно получить уравнения для основных моментов функции распределения, отражающие законы сохранения в плазме. Каждая из компонент плазмы, ионная и электронная, подчиняются уравнению непрерывности r 2(d/dr)r2j = 0, r2j = const. Следующее уравнение описывает баланс сил (закон сохранения плотности импульса)
r~2(d/dr)r2Wr - Wjr = ±nE/2, E = A(da/dr), (6)
где Wr, W_l и W = Wr + WL — плотности энергии движения частиц вдоль радиуса, в перпендикулярном направлении и полная плотность кинетической энергии соответственно, а знаки "+" и "—" соответствуют ионам и электронам. Закон сохранения энергии имеет вид
r 2(d/dr)r2Sr - 2SJr - jE = 0,
(7)
E 2(1) + jdrr2 E2
1
- Wr (1),
где S± = S - Sr — плотность потока энергии поперечного движения. И, наконец, закон сохранения потока поперечной энергии отражается уравнением
r~4(d/dr)r4S± = 0, r4S± = const. (8)
В расчетах заряда поглощающей сферы следует учесть баланс токов электронов и ионов j = je + + tyi = 0. Тогда, умножая (7) для ионов на ц, складывая с полученным в результате выражением уравнение (7) для электронов и используя (8), приходим к закону сохранения полной кинетической энергии, которое принимает вид уравнения сохранения потока кинетической энергии на
сферу r 2S = const.
Рассмотрим теперь уравнение (6) в совокупности с уравнением Пуассона (1). Суммируя уравнения (6) для электронов и ионов, находим
r 3(d/dr)rWr - W/r - (1/2)(D/r)2E(d/dr)r2E = 0.
Если представить плотность энергии в виде суммы невозмущенного значения (в отсутствие сферы) и возмущения W = W0 + W, то интегрирование по объему вне сферы (1 < r < ж) дает выражение для полной энергии возмущения плазмы, как суммы возмущения
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.