< 3
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА
2009
УДК 536.1266.047.12
© 2009 г. САДЫКОВ P.A.
ЭНЕРГОМАССОПЕРЕНОС В ПРОЦЕССАХ КРАТКОВРЕМЕННОГО
КОНТАКТА ФАЗ
Рассматривается процесс нестационарного взаимосвязанного энергомассопере-носа в капиллярно-пористых материалах и строительных конструкциях. Для системы уравнений тепломассопереноса решается одномерная смешанная краевая задача со стенкой, находящейся в точке x = 0. На основе полученного решения для слоя материала, расположенного между сечениями x = 0 и x = R, определены: средняя температура, влагосодержание, давление, скорость нагрева материала, скорость сушки, температурный коэффициент сушки, локальный и средний коэффициенты теплоотдачи, его термическое сопротивление.
Коэффициенты теплоотдачи, рассчитанные с учетом термодиффузии и фильтрации влаги, отличаются от рассчитанных по формулам О. Кришера, учитывающих только теплоперенос, в большую сторону - на 40%.
Полученные результаты могут быть использованы при анализе и расчете обменных процессов, оценок влияния обезвоживания или увлажнения материалов и ограждающих конструкций на их прочностные и теплотехнические свойства, служат развитию общей теории математического моделирования.
Введение. Выбор оптимального технологического режима обработки продукта, теплофизические и физико-химические свойства веществ на выходе из аппарата, теплотехнические и прочностные характеристики строительных материалов и конструкций определяются, в основном, нестационарными взаимосвязанными процессами, происходящими внутри контактного (пограничного) слоя (КС) обрабатываемого материала (тепломассоперенос) или ограждения [1] и в пограничном слое окружающей среды (греющей стенки, воздуха, инертного теплоносителя, пара, катализатора и т.п.), так как изменения параметров окружающей среды меняют условия переноса вещества в целой системе, интенсификация или снижение в материале физико-химических и фазовых превращений влияет на структуру пограничного слоя. Качественный анализ механизма процессов энергомассопереноса (ЭМП) связан с нахождением нестационарных полей потенциалов переноса (температуры, влажности, давления и др.), эволюция которых дает возможность теоретически исследовать кинетику и динамику процесса и наметить оптимальные условия его реализации [2].
Современная интенсификация технологий обработки материалов приводит к усилению роли нестационарных взаимосвязанных обменных процессов по сравнению со стационарными несвязанными, что не нашло достаточного отражения в области решения задач ЭМП при малых числах Фурье (Fo) - при кратковременном контакте фаз (ККФ).
Теоретический анализ. В общем случае любое математическое описание процессов в гетерогенных средах строится на основе феноменологической теории многоскоростного континиума [3] и представляется в виде системы балансовых уравнений массы, импульса, энергии. В зависимости от рассматриваемой среды и технологического процесса модель обобщается и замыкается (конкретизируется) путем привлечения механических, теплофизических и термодинамических свойств взаимодействующих фаз.
В неравновесной термодинамике на основе интегральных законов сохранения взаимосвязанный ЭМП [4, 5] в неподвижных капиллярно-пористых телах можно описать с помощью следующей неоднородной системы нелинейных уравнений параболического типа, записанной в векторно-матричной форме и разрешенной относительно производных по времени
С ^ = 61У( Ь§гаё П) + I, (1)
от
где П - я-мерный вектор потенциалов переноса; Ь - матрица кинетических коэффи-
>
циентов; С - диагональная матрица емкостных коэффициентов; I - вектор мощности источников (или стоков). Если взаимодействуют две фазы, то в (1) добавляется индекс I = 1, 2, который для упрощения записи опускается, операторы дивергенции и градиента применяются в (1) отдельно к каждому компоненту соответствующих векторов. Систему (1) можно записать относительно каждой из взаимодействующих фаз с соответствующими краевыми условиями однозначности, в т.ч. на границе раздела фаз аналогично многофронтовым задачам типа Стефана. Если наличие источников обусловлено только фазовыми переходами жидкость-пар, и в вектор потенциалов входит сум>
марное влагосодержание и, то I можно исключить из (1). Для этого достаточно использовать распространенный, например, в теории сушки [6, 7], прием введения критерия внутреннего испарения (фазового превращения) е - отношение изменения
влагосодержания за счет испарения к общему его изменению иТ. После введения е из (1) по математической модели (ММ) КС получим [18]
СПТ = (ЬеПХ )Х, (2)
где Ье - матрица кинетических коэффициентов, учитывающая фазовые переходы; штрих - дифференцирование по соответствующей переменной: времени т или толщине х КС. В случае, когда С и Ье не зависят явно от координат и времени (явная зависимость от комплекса х/л/т допустима), а являются функциями потенциалов переноса,
подстановка Больцмана Е = х/2,Ут сводит (2) к нелинейной системе однородных ОДУ второго порядка
2 Е СП' + (ЬП')' = 0. (3)
Здесь и далее штрих означает дифференцирование по Е, индекс е при Ь опускается.
Используя допущение о равномерном распределении П в момент т = 0, получим условие ограниченности при Е ^
П(с~) = По. (4)
При формулировке краевых условий в виде
Р П( 0) = Пс (5)
(задание линейных связей компонентов П на граничной поверхности (ГП)) или
ТТ *
Р11 ЬП' (0) = 0 (6)
(условия непроницаемости ГП для определенных потоков) вся задача (3)-(6) становится автомодельной. В (5) Р1 и в (6) Р11 - ортопроекторы не обязательно ортогональные друг другу (Р1 • Р11 Ф 0). В случае, когда задаются потоки энергии или вещества через ГП, условием автомодельности является их пропорциональность т-0,5.
При решении задач с уравнениями типа (2) в области х > 0, т > 0 большинство исследователей используют дополнительно к начальным и краевым условиям полуограниченности (или условия на бесконечности) при х ^ «> в трех различных формах:
пХ(«>, т) = 0, (7)
Аналогично предельным (вырожденным) краевым задачам [9] дополнительные условия полуограниченности не рассматривались.
В случае постоянных Ь и С, который больше всего исследован в теории тепло- и массопереноса и сушки [5-7, 9, 10], задача для КС становится линейной и сильно упрощается. Разложение по собственным функциям и методы интегральных преобразований представляют систематические схемы для конструирования решений таких задач.
При наличии у матрицы К = С-1Ь вещественных, положительных и различных собственных чисел V2, г = 1, п решение (3)-(6) методом суперпозиции сводится к отысканию постоянных А,
п
П(Е) = По+ £ А/, ет& (Е/V,-), (8)
г = 1
из условий на ГП (5) и (6). В (8) линейно независимые собственные векторы /, матрицы
С-1Ь соответствуют собственным числам V, . Непосредственной проверкой можно
убедиться, что если задается П(Е) в виде (8), то уравнение (3) и условие (4) удовлетворяются автоматически.
Для получения данного решения задачи существенна линейная независимость векторов /,, которая гарантируется при наличии трех различных положительных собственных чисел V2 [11, 12].
Постоянство Ь и С - идеализация реальных соотношений, но позволяет сделать качественный анализ влияния различных параметров на процесс переноса [10]. Из-за ав-томодельности задачи (3)-(6) ММ имеет большие достоинства. Автомодельные решения могут быть использованы как "эталоны" при оценке приближенных методов решения более сложных задач, автомодельность упрощает вычисление и представление характеристик явления [8]. В частности, предположив только существование решения
П(Е), можно установить существование серии инвариантов внутреннего ЭМП. Неотъемлемым компонентом П в неизотермическом процессе является температура Т, ее изменение в любой точке материала можно считать монотонным: Тт (х, т) > 0 при
прогреве. Поэтому из решения Т(Е) можно получить однозначную зависимость Е(Т) и записать
П(Е) = П( Т). (9)
Таким образом, имеется п - 1 инвариантов внутреннего взаимосвязанного ЭМП, по числу действующих потенциалов, определяющих этот перенос. Связи локальных значений температуры, влагосодержания и давления, не зависящие от времени и координат, могут служить для анализа совместного воздействия нагрева (охлаждения) и дегидратации (конденсации) в различных теплотехнических и технологических процессах. Такой анализ для обрабатываемых материалов и конструкций актуален, поскольку их характеристики прочности, тепло- в, морозо- и ксероустойчивость обусловлены именно совместным действием этих факторов.
Результаты. И^ выражения (8), когда матрица коэффициентов С1Ь = [ку]3 х 3 - постоянна, Л, = Т,, /, = (Уи , 1, Ур ), где координаты вектора /, находятся из системы
V2/, - [к] /
0,
(10)
можно записать следующее решение для диффузионно-фильтрационного (молярного) влаготеплопереноса
3
П = (и, Т, Р) = По + £ Т /.ейе(£/V,.). (11)
1 = 1
Из (11) нетрудно найти выражения для мгновенного а(т) и среднего (а)тк коэффициентов теплоотдачи и соответствующие им термические сопротивления Я(т) и (Л)т,
а(т) =
1
X
я(т) (Тс - То
Т
£ V;
¿-IV.
(12)
(а)т* =
2 X
(Ът
(Тс - То
3Т £ .7.
птк,." V
(13)
Однако записать эти формулы в более простом виде для анализа влияния на а различных параметров не удается. Кроме а, могут представлять интерес другие характеристики контактного слоя продукта. Получим их для слоя, заключенного внутри отрезка [0, К] оси X. Среднеобъемные температура, влагосодержание и давление определяются усреднением их локальных значений по отрезку [0, К]:
(Т) к = То+ £ Т;{ егГеГ
1 = 1
К
2 V ;л/т
V 2 йТт
1 - ехр
К
2
V 4v2т^
(14)
(для (и)к и (Р)к вместо Т, используются УиТ1 и УРТ■ соответственно) и характеризует кинетику процесса сушки относительно средних значений рассматриваемых потенциалов переноса. Скорость нагрева контактного слоя запишется
й (Т) к йт
1
3
йТЛт
£v1■ т.,,
1 - ехр
Н
2
ч 4v2т/J
(15)
для скорости его сушки в (15) вместо Т нужно подставить УиТ., [13], откуда могут быть найдены средние субкинетические параметры процесса сушки и , которые характеризуют ускорение сушильного процесса, т.е. темп снижения, напр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.