горение ^^^^^^^^^^^^^^ и взрыв
536.46
ЭРОЗИОННОЕ ГОРЕНИЕ ПОРОХА В ПОЛЕ БЕГУЩЕЙ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ
© 2007 г. Б. В. Новожилов, 3. И. Каганова, Ä. Ä. Беляев
Институт химической физики им. H.H. Семенова Российской академии наук, Москва
E-mail: belyaev@center.chph.ras.ru Поступила в редакцию 16.05.2006
В рамках феноменологической теории нестационарного горения исследуется отклик скорости горения пороха на периодически меняющиеся давление и тангенциальный массовый поток продуктов сгорания. Рассмотрено элементарное акустическое возмущение - плоская монохроматическая бегущая звуковая волна. Аналитические и численные результаты получены для простейшей модели пороха, содержащей минимальное число параметров. Выяснена роль стационарной и нестационарной составляющих эрозии при малых и больших значениях эрозионного отношения.
ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА, 2007, том 26, № 3, с. 34-41
УДК
введение
При изучении нестационарных процессов в твердотопливном ракетном двигателе решающую роль играет взаимодействие процесса горения пороха с акустическим полем, возникающем в камере сгорания. С самого начала исследования этой проблемы были выделены два ее аспекта -влияние переменного давления на скорость горения пороха и нестационарное эрозионное горение, т.е. изменение скорости горения пороха под действием переменного тангенциального потока продуктов сгорания, омывающего поверхность пороха. К настоящему времени достаточно подробно рассмотрен только первый аспект. В качестве примера сошлемся на работы [1, 2], где исследовались условия устойчивости стационарного режима работы твердотопливного двигателя и возникающие в камере сгорания установившиеся периодические нелинейные моды. Колебания давления в продольной акустической волне всегда сопровождаются тангенциальными колебаниями скорости продуктов сгорания вблизи поверхности пороха. Поэтому упомянутый выше анализ должен быть обобщен так, чтобы учесть влияние эрозионного горения.
Цель настоящей работы - рассмотреть в рамках феноменологической теории нестационарного горения пороха [3-5] отклик скорости горения на периодически меняющиеся давление и тангенциальный массовый поток продуктов сгорания.
Математическая постановка задачи, приведенная в следующем разделе работы, включает уравнение теплопроводности и нестационарные законы горения для некоторой конкретной модели пороха. Она содержит минимальное количество экспериментально определяемых параметров и с точностью до ошибок опыта удовлетворительно описывает стационарное эрозионное горение.
При этом рассматривается простейшее акустическое поле - бегущая звуковая волна.
В третьем разделе работы известное выражение для линейного отклика скорости горения пороха на осциллирующее давление [6] обобщается на случай эрозионного режима горения. Здесь же исследовано влияние стационарной и нестационарной эрозии на отклик скорости горения пороха на осциллирующее давление. Показано, что при больших значениях эрозионного отношения стационарная эрозия приводит к более устойчивому стационарному режиму горения, и, как следствие, существенному подавлению резонанса между давлением и скоростью горения. При малых значениях эрозионного отношения наличие тангенциального акустического возмущения потока продуктов сгорания может существенно увеличить величину отклика скорости горения на осциллирующее давление.
Последний раздел статьи посвящен исследованию некоторых нелинейных эффектов при нестационарном эрозионном горении. Здесь найдена квадратичная функция отклика скорости горения пороха на осциллирующее давление, в которой учтен эрозионный эффект. Показано, что сильное влияние эрозии на функцию отклика приводит в некоторых случаях к существенному уменьшению области применимости линейного приближения.
постановка задачи
В рамках феноменологической теории [3-5] нестационарный процесс горения пороха исследу-
ется путем решения уравнения теплопроводности в конденсированной фазе
эп д t
Э2 T £
д T £
= х-
д x
2 u Эх'
< x < 0
(1)
с граничными условиями
x = 0, T Е = Ts Е( t); x
T е = та. (2)
Здесь Т£(х, 0, I и х - температура, время и пространственная координата; Та и 7^(0 - начальная температура и температура поверхности раздела фаз; не(0 - линейная скорость горения, а х - температуропроводность конденсированной фазы. Система координат связана с границей раздела фаз, так что конденсированная фаза движется в положительном направлении оси х со скоростью и£((). Индекс £ соответствует эрозионному режиму горения. Ниже будут также использоваться величины без этого индекса. Они относятся к режиму горения в отсутствие эрозии. Так, например, вводятся два обозначения для массовой скорости горения
т = рси, т£ = рсЫ£,
где рс - плотность конденсированной фазы.
Необходимым элементом теории являются стационарные зависимости скорости горения и температуры поверхности от начальной температуры, давления р и массовой скорости потока газа, параллельного поверхности горения g.
Результаты, которые приводятся ниже, относятся к конкретной модели пороха. Она выбрана так, чтобы задача содержала минимальное число параметров. Простейшая модель, удовлетворяющая этому условию, определяется следующими стационарными зависимостями
m0 = A (p0 )n exp (в Ta),
m
, / mO rji УЭ ln m k = (T0- a)l
r =
dT
ST,
v =
i д ln m V3 ln p°) Ta
, M
T s T'a
r jtl л
д ln p
5 = v r - Mk
для данной модели имеют вид
k = в(T0 - Ta), r = в/Ps, v = n, M = v r/k, 5 = 0.
(4)
Примем, что при наличии эрозии стационарные законы могут быть записаны в форме
0 0 , m£ = m 1
02
' bl о
m
m£
= B exp (PsT0°E), (5)
= В ехр (Р7), (3)
где А,В, в и Р^ - константы. Верхний нулевой индекс соответствует стационарному режиму горения.
Параметры линейной чувствительности скорости горения и температуры поверхности к изменению начальной температуры и давления [3-6]:
причем b = const. Здесь для простоты предполагается, что при наличии эрозии массовая скорость горения также определяется только температурой поверхности. Первое же соотношение (5) должно рассматриваться как однопараметриче-ская интерполяция экспериментальных данных зависимости эрозионного отношения от тангенциального массового потока продуктов сгорания. Ему, однако, можно дать некое теоретическое обоснование.
Первые попытки построить теорию стационарной эрозии были предприняты в [7, 8] . Было показано, что эрозионное отношение £ должно
зависеть от безразмерного параметра I = JZ g°/m°, где Z - коэффициент сопротивления. Этот параметр носит имя В.Н. Вилюнова. При разработке теории в указанных работах были сделаны довольно грубые предположения (слишком упрощенное описание структуры фронта горения, изотермическое приближение для турбулентного потока, пренебрежение вдувом и т.п.). В [7] удалось получить довольно простую связь между эрозионным отношением и упомянутым выше параметром:
£ = JZ (I) + LI, (6)
где Z(I) практически не зависит от I, причем Z(I) ~ 1 и L = const.
К сожалению, в [7] вкралась опечатка - второе слагаемое под корнем должно быть пропорционально I2. Учитывая это и полагая постоянным коэффициент сопротивления (зависимость его от числа Рейнольдса очень слабая), из (6) получаем первое соотношение (5). Оно хорошо интерполирует экспериментальные данные, приведенные в [9, 1°] (заметим, что основные результаты [1°] воспроизведены в [11]).
Сравнивая стационарные законы горения (3) и (5), легко получить связи между температурными коэффициентами чувствительности скорости горения в и в£ и температурами поверхности T° и
T°£ без и при эрозии
в, = 4. в£="ln m0
d T.
£ \ " ^ а у p
Отметим также полезное соотношение
T0£ = T* + в"ln£. (7)
m
£2---------1-- .
(8)
— СЮ
Стандартная процедура перевода стационарных законов горения в нестационарные [3-6] заключается в выражении начальной температуры через градиент температуры у поверхности пороха. Это можно сделать при помощи михельсонов-ского соотношения для стационарного распределения температур в конденсированной фазе
Т0 (X) = Та + (Т0Е - Та) ехр (и0 х/х)
и вытекающего из него значения градиента температуры непосредственно у границы раздела фаз со стороны конденсированной фазы
/0 =
д х
X = 0
/ = - ( Т0Е - Та ) .
0 л/ 0\"
т = А (р ) ехр
г / в
Т0 А 1 СВ Х 0
I. V
т = А (р )п ехр
РТ - X А
(9)
Это соотношение позволяет перевести стационарные законы горения (5) в нестационарные и для случая эрозионного горения:
2 2 . ,2 тЕ = т + bg ,
те
= В ехр (РХе).
(10)
РР. =
0
р
Р' -
Г
г
о- = I 1 + а
-0 1 ^г
(11)
а для зависимостей давления и тангенциального потока от времени имеем
р = р (1 + cos О I),
1+1 1 + —- О t
0 )У МУ I
(12)
Последнее выражение позволяет представить стационарную скорость горения при отсутствии эрозии (3) в виде
Система (1), (2), (10), (12) позволяет рассчитать процесс нестационарного эрозионного горения в поле бегущей акустической волны. В дальнейшем рассматриваются только установившиеся режимы горения, так что вопрос о начальных условиях не возникает. Напомним, что любая акустическая волна может быть представлена в виде суперпозиции плоских монохроматических бегущих волн с различными волновыми векторами и частотами.
Удобно перейти к безразмерным переменным
02 (и ) t т = -——,
ю =
х О
( 0 ) 2' (и )
0
их * = -'
р
^ 0' П Р 0' ng 0'
(13)
Согласно основной идее рассматриваемой теории такой вид стационарных зависимостей имеет силу и при нестационарном горении. Опуская индекс стационарности, получаем в результате
0 =
Т - Т
в * а
ТР с Та
А =
р
Тв - Т
в с А а
Т в с Т а
ф = Ы*=0.
Уравнение теплопроводности (1), граничные условия (2), нестационарные законы горения (10) и зависимости (12) в этих переменных имеют вид:
1 д0 = _д/д0 - ^ в2 дт д*|д* У0
* = о, 0 = А(т); *
-^<*< 0;
0 = 0;
Для замыкания системы уравнений нестационарной теории необходимо конкретизировать тип акустической волны. В дальнейшем ограничимся рассмотрением только случая плоской монохроматической бегущей волны, в которой все акустические возмущения (давление, плотность, скорость) находятся в фазе. Если И - амплитуда давления, то для амплитуд акустических возмущений, к
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.