научная статья по теме ЭВОЛЮЦИИ ПРЕЦЕССИОННОГО ДВИЖЕНИЯ НЕУРАВНОВЕШЕННЫХ ГИРОСТАТОВ ПЕРЕМЕННОГО СОСТАВА Математика

Текст научной статьи на тему «ЭВОЛЮЦИИ ПРЕЦЕССИОННОГО ДВИЖЕНИЯ НЕУРАВНОВЕШЕННЫХ ГИРОСТАТОВ ПЕРЕМЕННОГО СОСТАВА»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 72. Вып. 3, 2008

УДК 531.36

© 2008 г. А. В. Дорошин

ЭВОЛЮЦИИ ПРЕЦЕССИОННОГО ДВИЖЕНИЯ НЕУРАВНОВЕШЕННЫХ ГИРОСТАТОВ ПЕРЕМЕННОГО СОСТАВА

Рассматривается прецессионное движение неуравновешенного гиростата переменного состава при действии диссипативных и разгоняющих внешних и внутренних моментов, зависящих от угловых скоростей тел (носителя и ротора). Разработан качественный метод анализа фазового пространства неавтономных динамических систем, основанный на определении кривизны фазовой траектории. С помощью этого метода проведен анализ движения и синтез условий реализации требуемых режимов нутационно-прецессионного движения неуравновешенных гиростатов переменного состава. Исследован ряд случаев движения гиростата переменного состава, включая свободное движение, движение при наличии постоянных внутреннего и реактивного моментов, а также при действии моментов сил сопротивления, пропорциональных угловым скоростям. Определены возможные эволюции в указанных случаях движения и причины этих эволюций. Получены условия эволюции с уменьшающейся амплитудой нутационных колебаний.

Основные случаи движения твердых тел переменного состава были описаны ранее [1, 2]; уравнения движения строились на основе гипотезы "близкодействия" [1] и принципа "затвердевания" [2]. На основе гипотезы близкодействия записаны уравнения движения гиростата (соосных тел) переменного состава и получены приближенные решения для параметров движения при линейных законах изменения инерционно-массовых параметров [3, 4]. Ниже дается развитие этих результатов, связанное с исследованием движения неуравновешенных гиростатов переменного состава с нелинейными законами изменения инерционно-массовых параметров при действии внутренних и внешних возмущений.

1. Возмущенное движение неуравновешенного гиростата переменного состава. Рассмотрим движение гиростата переменного состава (массы) под действием диссипативных и разгоняющих внешних моментов, зависящих от компонент угловых скоростей. Пусть гиростат состоит из динамически симметричного тела-носителя постоянного состава и ротора переменного состава, остающегося динамически симметричным в процессе изменения массы. Неподвижная точка О (фиг. 1) совпадает с первоначальным геометрическим положением центра масс системы. Точки On, Or соответствуют центрам масс тела-носителя и тела-ротора. Будем использовать следующие системы координат: OXYZ - неподвижная, Oxyz - связанная с телом-носителем, Oxry^r - связанная с ротором. Ротор вращается вдоль продольной оси Ozr, совпадающей с осями динамических симметрий тел. Неуравновешенность гиростата означает непостоянство относительной угловой скорости вращения ротора относительно тела-носителя вследствие действия между телами внутреннего момента взаимодействия Mr Пусть имеется реактивный момент MR вокруг продольной оси Ozr.

Запишем уравнения движения системы [3]

2 Прикладная математика и механика, № 3

A(t)p + (C(t) - A(t))qr + Cr(t)qa = Mex(p, q, r,a)

A(t)q - (C(t) - A(t))pr - Cr(t)pa = Mey(p, q, r,a) (1.1)

C(t)r + Cr(t)a = mR + Mez(r, a), Cr(t)(r + a) = Mr + mR + M{ r(r, a) Здесь

A(t) = A(t) - m(t)p2(t), A(t) = An + Ar(t), C(t) = Cn + Cr(t) An, Cn и Ar(t), Cr(t) - экваториальные и продольные моменты инерции тела-носителя и ротора (индексы n и r соответственно), Mex (p, q, r, a) = Mex, n + Me^ r, Mey (p, q, r, a) = Mey^ n + Mey^ r,

M (r, a) = Mez n + My r - моменты внешних сил, m(t)p2(t) - член, возникающий вследствие геометрического перемещения центра масс относительно неподвижной точки [1, 3] в связи с изменением инерционно-массового состава системы, p(t) - изменяющееся расстояние от неподвижной точки до центра масс системы вдоль продольной оси Oz, m(t) = mn + mr(t) - изменяющаяся масса гиростата, p, q, r - проекции угловой скорости тела-носителя на оси системы Oxyz, a - относительная угловая скорость ротора. Под геометрическим перемещением центра масс подразумевается изменение положения центра масс относительно системы, а не движение точки в механическом смысле.

Необходимо сделать некоторые замечания относительно инерционно-массовых величин, входящих в динамические уравнения (1.1). Экваториальный момент инерции системы A(t) вычисляется относительно неподвижной точки О. С течением времени массовые параметры ротора изменяются. Вследствие этого положение центра масс системы С геометрически смещается относительно точки О. По причине изменения массы точек внутри ротора также может изменяться положение его центра масс (при этом точка Or смещается по оси Ozr с сохранением динамической симметрии ротора). Пусть,

например, масса ротора уменьшается, при этом центр масс системы С смещается по оси Ozr в сторону центра масс тела-носителя On (фиг. 1). Величина p(í), равная расстоянию от неподвижной точки О до центра масс системы С вдоль оси Oz, вычисляется с помощью определения центра масс и имеет вид

р( í) = lnmn + ( í) ^ ( í) (1.2)

mn + mr (í)

где ln = OOn и lr(í) = OOr - расстояния от центров масс тела-носителя и тела-ротора до точки О. Так как при í = 0 центр масс системы C и точка О совпадают, то р(0) = 0 (lr(0)mr(0) = -lnmn, ln < 0, lr(0) > 0).

Собственные центральные экваториальные моменты инерции тел An > 0, Ar (í) > 0, вычисленные относительно центров масс On и Or, будем считать известными. Тогда по теореме Гюйгенса-Штейнера можно вычислить центральный экваториальный момент инерции системы относительно текущего положения центра масс С

A(í) = [An + mn(|Q - |p(í)|)2] + [Ar(í) + mr(í)(|lr(í)| + |p(í)|)2]> 0

Используя снова теорему Гюйгенса-Штейнера, свяжем центральный момент инерции системы относительно С с моментом инерции системы относительно точки О

A (í) = A (í) + m (í)p2( í) (1.3)

Из последнего соотношения следует, что в уравнениях (1.1) A (í) = A (í) > 0.

Важно отметить, что в задаче рассматривается конечный интервал времени í е [0, T], на котором все инерционно-массовые параметры системы остаются строго положительными, т.е. механическая постановка задачи корректна, а динамическая система (1.1) не становится сингулярной.

К динамическим уравнениям следует добавить кинематические уравнения для углов Крылова-Эйлера (фиг. 1)

Y = p sin ф + q cos ф, \\ = —(p cos ф - q sin ф)

sin COs Y- (1.4)

ф = r - (p cos ф - q sin ф), 5 = o cosy

где 5 = Z(Ox, Oxr) - угол относительного вращения ротора.

Введем новые переменные, соответствующие величине вектора поперечной угловой скорости G и углу F между этим вектором и осью Oy:

p (í) = G (í) sin F (í), q = G (í) cos F(í) (1.5)

В новых переменных уравнения (1.1) запишутся следующим образом:

G = -Х-/g(G, F), F = - ^ [C(í)r + Cr(í)o - A(í)r + /f(G, F)] A (í) A (í)

¡ = M", n - M r ¡ = C (í ) Mr Mr + Mez- r Mi n

r= 'Cn , o = CjíjCn + Cr( í ) ' -"C7 Возмущающие функции, характеризующие внешние воздействия, имеют вид

fG( G, F) = (MX sin F + My cos F), /f( G, F) = G(MX cos F - My sin F)

(1.6)

Фиг. 2

Рассмотрим случай, когда модуль поперечной угловой скорости тела-носителя мал по сравнению с относительной продольной скоростью вращения ротора:

е

Jp2 + q /|о| < 1

(1.7)

а углы у и у будем считать величинами порядка е. Тогда угол нутации 0 (угол между осями 02 и Ог,) определится следующей приближенной формулой:

„2 2 2 0 =у + у

(1.8)

С учетом сделанных предположений и соотношений (1.5), (1.6) кинематические уравнения (1.4) можно, отбрасывая члены, начиная со второго порядка малости, записать в виде

Y = G cos Ф( t), \j/ = G sin Ф( t), ф = r, 5 = о где выражение Ф(t) = F(t) - ф(t)

(1.9)

(1.10)

определяет фазу пространственных колебаний.

2. Метод вычисления кривизны для анализа фазового пространства неавтономной динамической системы. Рассмотрим движение фазовой точки по фазовой плоскости какой-либо неавтономной динамической системы, соответствующей двум неавтономным дифференциальным уравнениям первого порядка, например по фазовой плоскости (у, у} первых двух уравнений системы (1.9) (фиг. 2). На указанной плоскости точка будет иметь компоненты скорости Уу = у, У^ = у и ускорения 'Щу = Y, = \|/, поэтому кривизна ее траектории к, с помощью соотношений (1.9), вычисляется следующим образом:

, 2 = (Y у - у y ) 2 = Ф2

k = (. 2 .23 = Т-2

(Y + УУ )

G2

(2.1)

Если величина кривизны монотонно возрастает, то происходит движение по закручивающейся спиральной траектории, подобной траектории в окрестности устойчивого фокуса (фиг. 2,а), а если убывает - по раскручивающейся. Условие спирального закручивания в силу равенств (2.1) с учетом положительности О можно записать в виде

кк > 0 ^ ФФ G - СФ = P (t) > 0

(2.2)

Согласно соотношению (1.8) длина радиус-вектора фазовой точки в пространстве (у, у1 соответствует величине угла нутации, поэтому для режимов движения с уменьшающейся амплитудой нутационных колебаний необходимо выполнение условия (2.2).

Сначала рассмотрим движение автономной системы, соответствующей свободному гиростату постоянного состава. Из соотношений (2.1), (1.6), (1.9) и третьего уравнения (1.1) следует, что k = const (так как при этом MR = 0):

Cr0 + Cr Ор

k =--AG (23)

где A = An + Ar = const, C = Cn + Cr = const. Следовательно фазовая траектория (ФТ) будет иметь форму окружности радиуса R = 1/|k|, проходящей через точку (у0, у0), с центром на перпендикуляре к начальному вектору фазовой скорости V0 = G0[sinФ(0), cosФ(0)]г. Отметим, что указанная окружность соответствует движению с постоянной величиной угла нутации в неподвижной системе координат, ось OZ которой ориентирована по неизменному направлению вектора кинетического момента (при этом начало системы фазовых координат (у, у) перемещается в центр окружности).

Далее будем рассматривать неавтономную систему, описывающую движение гиростата переменного состава. Для анализа возможности выполнения условия (2.2) необходимо изучить расположение корней функции P(t), описывающей эволюцию формы ФТ.

Возможны разные качественные случаи поведения ФТ в зависимости от числа и расположения корней функции P(t) (фиг. 2): 1) функция P(t) положительна и не имеет корней на отрезке t е [0, T], при этом ФТ спирально закручивается (фиг. 2,а), 2)

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком