РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 2, с. 241-250
ЭЛЕКТРОННАЯ ^^^^^^^^^^^^ И ИОННАЯ ОПТИКА
УДК 537.533
ЭВОЛЮЦИЯ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОГО ЭЛЕКТРОННОГО СГУСТКА
ВО ВНЕШНИХ ПОЛЯХ
© 2004 г. В. А. Сыровой
Поступила в редакцию 05.03.2002 г.
Показано, что инвариантные решения рангов 1 и 3 уравнений нестационарного нерелятивистского пучка могут описывать поведение эллипсоидального сгустка на однородном ионном фоне в произвольно ориентированном однородном магнитном поле и электрическом поле с квадрупольным потенциалом. Рассмотрены различные варианты решений, содержащих произвольные функции времени; приведены примеры решения в элементарных функциях.
ВВЕДЕНИЕ
В работе [1] рассмотрена задача о разлете эллипсоидального сгустка в вакууме с учетом вихревого характера электрического поля и эмит-танса. Ниже в рамках гидродинамической теории интенсивных пучков исследуются приведенные в работе [2] инвариантные решения рангов 1 и 3, полученные с использованием бесконечных групп преобразований с произвольными функциями времени, сохраняющими уравнения пучка
dt
+ (Vv) V = Уф + V х н,
^ + V(p v) = 0, Аф = р + n. dt
(1)
терное время, имеет порядок е0, то rotE ~ £ и электрическое поле можно считать потенциальным.
При линейной зависимости компонент скорости u, v, w от декартовых координат x, y, z решение [2] ранга 3 в случае однородного магнитного
поля H = const описывается формулами
Здесь у, Н - векторы скорости и напряженности магнитного поля; ф, р, п - потенциал электрического поля, плотность пространственного заряда и плотность неподвижного однородного ионного фона; уравнения (1) записаны в безразмерных переменных, устраняющих все физические постоянные и знак минус перед градиентом потенциала; при этом ф, р > 0; п > 0 для отрицательных ионов и п < 0 в случае компенсирующего фона.
Уравнения (1), второе из которых представляет собой условие сохранения полного тока / =
= д Е /дг + р V, следуют из уравнений движения и уравнений Максвелла в предположении, что собственное магнитное поле Н5 слабо влияет на траектории электронов. Требование малости Н5 в стационарном случае приводит к ограничению на относительные размеры пучка [3], а при д/дг ф 0 должно быть дополнено условием относительно медленного изменения функций во времени. Так,
если при Н5 ~ £ 1 величина г* , где г* - харак-
u = axgx + ( g-- a1 fj y + a2z + a 0, w = c2 z + c 0, V = (g.+ bg x - b! fy + b2 z + b 0, p = p( t),
ф=
f2
22 f2 + g2
f •- Hzf g g + H j. 2 f f 2 f _
f2 g+ Hzf
22 (x - y ) +
+
x2 2 f f2 + g2 f
fg (f- Hzg
(2)
,2 21 f f + g V f
+ 2 ф33 - p - n
xy +
+ f
Hxl + f (Hxbi- Hyai)
xz -
f
Hyf + g(Hxbi- Hyai)
1 g2 x2 + 1 f 2 y2
2 2 2 2 2 2 2 f2 + g2 2 f2 + g2
yz + фю^ - fy) + фзoZ +
(p + n -2фзз) + фззz .
Здесь /(г), g(t) - произвольные функции времени, а функции той же переменной а1, а2, а0, Ь1, Ь2, Ь0, с2, с0, р, ф10, ф30, ф22, ф33 удовлетворяют уравнениям
+
¿1 + (£«1- /Ь1) ах =
Хо = ах Х + а2 у + аз г, уо = Р1 Х + р2 у + взг,
¿«2 + (£а2- /¿2 )ах + С2 а2 = = £ (ИХЬ1 - Яу«1) + (яг - ¿2 - НуС2 + Нх /, ¿«0 + (£¿0- /Ьо )а1 + Со ¿2 = = £ Ф10 + (Нг -Л Ьо- Ну Со,
го = У1х + У 2 У + У 3 г
(3)
/
¿1 + (£¿1- /¿1)¿1 = = -2/ф22 + (Н, + |)(а_),
¿2 + (£¿2- /¿2)¿1 + С2Ь2 = = -/(НхЪ1 - Нуа1) - (Нг + ¿2 + НхС2 - Н
Ьо + (gaо- /¿о)Ьl + Со¿2 =
= -/Фю- I Нг + /)¿о + Нх^
С2 + С2 = 2Фзз + Hya2- НХЬ2,
Со + С2 Со = Фзо + Ну ¿о - НхЬо, 2(/2 + )Ф22 + 2Фзз = Р + я - / +
Р + (£¿1- /¿1 + С2 )Р = о.
причем для траекторных функций с чертой справедливы выражения
а1 = Ь(Р2Уз- РзУ2), а2 = (азУ2- а2Уз),
аз = Ь (а2 Рз- азр2),
р1 = Ь(РзУ1- Р1Уз), р2 = Ь(а1Уз- азУ1 ¡к
- 1 (6) Рз = £ (а1рз - аз Р1),
У1 = 1 (р1У 2- р2 У1), У 2 = 1 (а2 У1- а^ 2),
Уз = 1(а1 р2- а2р1 ).
Дифференцируя формулы (4) по времени и пользуясь связями (5), выразим компоненты скорости через траекторные функции:
и = (сх1 а1 + а2 Р1 + азу 1) Х + + (а1а2 + (Х2Р2 + аз у 2) у + (СХ1 аз + (2 Рз + аз у з )г,
^ = (01 а1 + Р2Р1 + Рзу 1) Х + + (р1а2 + Р2Р2 + рз у 2) у + (Р1 аз + р2 рз + рзу з )г, ™ = («1 а1 + "«2Р1 + Уз У1) Х +
+ (У1 а2 + У2Р2 + Уз У 2) у + (№ + У2 Рз + 'УзУ з )г
(7)
Сравнивая выражения для скорости в (2), (7), получаем соотношения, позволяющие выписать Частные случаи решения (2), (3) рассматрива- уравнения для траекторных функций
лись в работах [4-6], причем результаты [5, 6] прокомментированы в [7].
1. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕШЕНИЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
Компоненты скорости имеют приведенный в (2) вид при движении частиц, описываемом уравнениями
х — х — ао — а1 Хо + а2 уо + аз го, у — у - Ро = р1 Хо + р2 уо + Рз го, г — г - у о = у 1 хо + у 2 уо + У зго,
(4)
где х0, у0, го - начальные координаты частицы, а ак, вк, Ук - зависящие от времени траекторные функции. Обозначая через Ь определитель системы (4) и разрешая ее относительно х0, у0, г0, получим
С*1 = А1 Лп + А2 Л12 + Аз Л1з, С(2 = В1Л11 + Б2Й12 + Бз Й1з, ССз = Г Нц + Г2Й12 + ГзЙ1з; Р1 = А1Н21 + А2 Н22 + Аз Н2з, 02 = В1Н21 + В2 Н22 + Вз Н2з,
рз = Г1Н21 + Г2 Н22 + Гз Н2з; У1 = Аз С2, У2 = Вз С2, Уз = Гз С2;
(СО = ао Н11 + воН 12 + у оН1з + ¿о,
во = ао Н21 + во Н22 + у о Н2з + Ьо,
Уо = У оС2 + Со;
/У
Нц = ¿1 £, Н 12 = ■>-- ¿1 /, Н1З = ¿2, 11 1 12 £ 1 1з 2
Н21 = £ + Ь1 g, Н22 = -Ь1У, Н2з = Ь2.
Уравнения (8) должны быть проинтегрированы при следующих начальных условиях:
(1 (о) = в2(о) = Уз (о) = 1, (к (о) = вк (о) = Ук (о) = о
для значений к, не входящих в первую цепочку равенств.
Функции Ак, Вк, Гк определены формулами А1 = Ь(в2Уз- взУ2), А2 = Ь(взу 1- в1 Уз),
Аз = Ь (в1 у 2 - в2? 1); В1 = Ь((зУ2- (2Уз), В2 = Ь((1Уз- СзУ 1), Вз = Ь((2 у 1- (1 у 2);
Г1 = Ь(а2вз- аз в2), Г2 = Ь (аз в1- а1вз), Гз = Ь((1 в2- (2в1).
Рассмотрим частицы, находившиеся в начальный момент времени г = 0 на поверхности эллипсоида:
(9)
2 2 2 Хо + Уо + Zo _ i 2 + , 2 + 2 _ 1
a b c
(10)
В момент времени г в системе х, у, г, связанной с центром эллипсоида, эти частицы в соответствии с законом (5) будут расположены на поверхности
Ап х2 + А22 у2 + Лззг2 + + 2 А12 Ху + 2 А1з Хг + 2 А2з уг = 1,
— 2 —2 -2
а _Р2 +h
A11 _ 2 + , 2 + 2' abc
—2 —2 -2
А22 _ 2 + , 2 + 2' abc
А33 _
—2 —2 -2
а+вз+ъ
2 + , 2 + 2' abc
(11)
а
12
_ р1р2^ ?1 У 2
.2 + 2 bc
_ aia3 pi р3 у i у з А13 _ ~ + ~о1~ + ~'
abc
_ 02Й3 + Р^З^ Т2У3
а
23
a
.2 + 2 bc
Обозначим положение главных осей эллипсоида (11) через X, У, X и определим их ориентацию в пространстве углами Фк с плоскостью (Х, у) и ук между проекцией оси на эту плоскость и осью Х:
x _ X cos ^1cos ¥1 + Y cos $2cos ¥2 + Z cos $3cos ¥3' y _ X cos $1sin¥1 + Y cos $2sin ¥2 + + Z cos $3sin z _ X sin + Y sin $2 + Z sin $3.
(12)
Из шести углов ~dk, vk независимыми являются три, что выражают две эквивалентные тройки соотношений:
cos(у2- V1) = -tgflitg cos (Vi- Vs) = -tg tfitg ^3,
cos (V3- ¥2) _ -tg$2tg$3' sin $3
sin(¥2- ¥1) _
sin(¥1- ¥3) _ sin(¥3- ¥2) _
(13)
cos $1cos
sin $2 cos $1cos sin
cos $2cos
Обращая формулы (12), имеем
X _ X'1Х + X'2У + X'3Z' Y _ Y1Х + Y'2y + Z¿Z, Z _ Z'1 x + Z 2 y + Z 3 z;
X'1 _ cos$1sin$3sin¥2-cos$3sin$2sin¥3' X'2 _ cos$2sin$3cos¥2-cos$3sin$2cos¥3'
X'3 _ sin
Y'1 _ cos$3sin$1sin¥3-cos$1sin$3sin¥ 1' (14) Y'2 _ - cos$3sin$1cos¥3-cos$1sin$3cos¥1'
Y'3 _ sin $2; Z'1 _ cos$1sin$2sin¥1 - cos$2sin$1sin¥2'
Z'2 _ cos$1sin$2cos¥1 - cos$2sin$1cos¥2' Z3 _ -sin$3.
Эллипсоид с полуосями A, B, C в системе X, Y, Z:
(15)
X2 Y2 Z2
— + I + — _ 1 A B C
при помощи формул (14) может быть представлен в форме (11) с коэффициентами
a
¿11 =
Хд У2 72 , _^22 —2 + 2+ 2' ¿22= —- + А2 В2 С А2
222 22
А = ±3 + !А + ±23
¿33 - - + - + т
й+±22 В2 С2'
В
4 Х 1Х 2 К 1 К 2
¿12 = ^ + -2Ьг2+
А
В
С
7, 1 7, 2 С2
(16)
13
23
Х,1Х,3 . У,У . 7 '1 7 '3
- 22222А2222222222 + В 2 + С2
Х 2 Х 3 - ,2 -3 + У '2 У ,3 + 7 ,2 7,3
А В 2 + С2
ф'п - а\
ds
(А + s) ^
Ф
22
= 4
ds
(В + s) ^
(17)
Ф
33
= о 1
ds
(С + s) ^
ф: - Ф0 + Ф11Х2 + Ф22У2 + Ф3з72,
Фп - о1
ds
(А + s) ^
Ф
22
= о1
ds
(В + s) ^
Ф
33
= о 1
ds
(18)
(С + s) ^
Ф0
= 011'
Х
А2 + Я В2 + Я
+
С + Я
- 1.
Здесь Я = Я(Х, У, 7) - наибольший корень приведенного в (18) кубического уравнения.
Собственное поле (17) при помощи формул (14) может быть записано в системе х, у, г:
фs
г —2 г -2 г - 2
ф11х + ф22 у + фзз г +
+ 2 Ф12 ху + 2 Ф13 хг + 2ф2з уг, ф'п - Ф'п Х2 + Ф22 У21 + Ф3з721,
ф12 - Ф'11 Х,1 Х,2 + Ф22 уДУ,2 + Ф3з7,17,2'
ф22 - Ф'пХ22 + Ф22 У22 + Ф3з722,
(19)
Приравнивание коэффициентов в (11), (16) и три соотношения из (13) определяют шесть углов и три полуоси А, В, С. Для единообразия численных алгоритмов эти алгебраические соотношения путем дифференцирования можно трансформировать в систему уравнений относительно углов и полуосей вида (8).
Собственное электрическое поле внутри эллипсоида (15) определяется формулами [8] (за начало отсчета потенциала ф = 0 принят центр эллипсоида)
фS - ФпХ2 + ф22 у2 + Ф3372, 0 - пАВСр, - (А2 + s)(В2 + s)(С2 + s),
(20)
Здесь 0 - величина, пропорциональная полному заряду сгустка и не зависящая от времени.
Поле вне эллипсоида имеет сложную пространственную конфигурацию [8] с потенциалом ф::
ф1з - ФпХ,1 Х,з + Ф22У,1 У,з + Ф3з7,17,3,
ф33 - Ф11 Х,3 + Ф22 У ,3 + Ф33 7,3, ф23 - ФпХ,2Х,3 + ф22У,2У,3 + Ф337,27,3.
Внешнее поле определяется потенциалом ф:хг, представляющим собой разность самосогласованного потенциала в (2) и фS из (19).
Известно [2], что уравнения нерелятивистского пучка в случае однородного магнитного поля инвариантны относительно перехода к неинерци-альной системе отсчета, начало которой перемещается по произвольному закону:
г - г, х - х + /, у - у + g, г - г + н, и - и + /, V - V + g, ^ - w + Н, р - р, ф - ф + /х + /(Нгу - Нуг) + gy +
+ g( Нх1 - Нгх) + Нг + Н (Нух - Нху).
Здесь /, g, Н - произвольные функции времени, чертой отмечены новые значения переменных. Любое решение уравнений пучка, подвергнутое этому преобразованию, снова является решением исходной системы. В работе [9] новые нестационарные решения получены при помощи преобразования (20) путем воздействия на известные решения уравнений стационарного пучка. Частным случаем преобразования (20)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.