КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2011, том 49, № 1, с. 75-84
УДК 629.783:523.3
ЭВОЛЮЦИЯ СРЕДНИХ ПОЧТИ КРУГОВЫХ ОРБИТ ИСЗ ПОД ВЛИЯНИЕМ НЕЦЕНТРАЛЬНОСТИ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ И ЛУННО-СОЛНЕЧНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ © 2011 г. А. М. Дуллиев
Казанский государственный технический университет им. А.Н. Туполева
dulliev@yandex.ru Поступила в редакцию 24.11.2008 г.
На основании результатов работы Г.В. Можаева [1], методом осреднения исследованы совместные возмущения от несферичности Земли и от притяжения Луны и Солнца. В силовой функции гравитационного поля Земли учитывалось произвольное количество сферических гармоник, в возмущающей функции от Солнца только главный член, а в возмущающей функции от Луны кроме главного еще два параллактических. Высота полета выбиралась так, что возмущения от Луны и Солнца имели второй порядок малости по отношению к полярному сжатию Земли. В результате получены формулы для вычисления координат ИСЗ, дающие высокую точность на больших интервалах времени.
1. ВВЕДЕНИЕ
Основными гравитационными возмущениями в движении ИСЗ являются возмущения, вызываемые несферичностью Земли и притяжением Луны и Солнца. На сегодняшний день они считаются достаточно хорошо изученными (см. библиографию в [2, 3]). Однако важной остается проблема поиска таких оптимальных подходов в определении эволюции орбит, которые бы отличались простотой, эффективностью и более точным описанием реального движения. Большинство исследователей рассматривают указанные возмущения по отдельности. Прежде всего, такое ограничение вызвано большой сложностью уравнений движения, содержащих параметры, отвечающие за взаимное расположение притягивающих тел. Естественно, что для достаточно точного определения координат ИСЗ, необходимо совместно учитывать влияние сжатия Земли и притяжение Луны и Солнца. В работе [4] получены весьма компактные формулы, описывающие совокупные возмущения первого порядка. Однако они не учитывают параллаксы и эксцентриситеты возмущающих тел. Путем многократного осреднения по средней аномалии спутника в [5] выделяется только вековая, а в [6] только долгопериодическая части пертурбационной функции; возмущения элементов вычисляются полуаналитическими методами и численным интегрированием. В статьях [7—9] отдельно выведены вековые и долгопериодические возмущения, что затрудняет их комбинированный учет. Вообще говоря, следует иметь в виду, что лунно-солнечные возмущения возрастают, а возмущения от нецентральности гравитационного поля Земли убывают с ростом высоты полета ИСЗ. По-
этому, при построении различных моделей движения спутников, нужно тщательным образом обращать внимание на их соотношение между собой. Так например, в [10—14] построены аналитические и численно-аналитические теории движения суточных спутников Земли, в которых величины порядков возмущений от второй зональной гармоники геопотенциала и от Луны и Солнца совпадают.
Особый интерес представляет проблема изучения движения ИСЗ, расположенных на почти круговых средних орбитах, имеющих ряд очевидных преимуществ [15] (например, при баллистическом проектировании спутниковых систем, появляется возможность использовать концепцию "номинальных" движений). Статья [16] исследует движение таких спутников, но только вблизи экватора планеты, считая орбиты внешних тел круговыми. В этой, а также во всех других упомянутых работах в пертурбационной функции гравитационного поля Земли учитывались только лишь несколько первых зональных гармоник, что, разумеется, недостаточно для анализа эволюции как низких, так и средних орбит. В настоящей статье, при помощи методики, предложенной Г.В. Можаевым в [1], и опирающейся на теорию осреднения В.М. Волосова [17], получены формулы, описывающие возмущения, вызываемые зональными, секториальными, тессераль-ными гармониками геопотенциала и влиянием Луны и Солнца, причем для медленно изменяющихся параметров орбиты найдено второе приближение, а для быстрой переменной, описывающей скорость движения ИСЗ по орбите, — первое приближение.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Предположим, что Земля вращается с постоянной угловой скоростью ю3, а Луна и Солнце являются материальными точками массы М£ и МЗ соответственно, движущимися по невозмущенным кепле-ровым эллиптическим орбитам. Рассмотрим движение ИСЗ по почти круговой орбите. Высоту полета выберем таким образом, чтобы отношение возмущающих ускорений от Луны и Солнца к ускорению земного притяжения имели порядок б2 с точностью до множителя б±0 3, где б = 3/2(аБ/а )2, J2 = 10-3 — коэффициент при второй зональной гармонике в разложении силовой функции гравитационного поля Земли, а — средний радиус почти круговой орбиты [18], аЕ — экваториальный радиус Земли. Известно [18, 19], что при малых эксцентриситетах орбит спутника и возмущающих тел максимальное отношение соответствующих ускорений близко к величине б* =
= 2
M*
a
в которой МЗ — масса Земли, M* и
а * — масса и большая полуось орбиты Луны и Солнца (здесь и далее символ "*" относится к Луне и Солнцу). Следовательно, требуемый диапазон высот заключается в границах 2500—9000 км.
Орбиту и положение ИСЗ будем описывать следующей системой оскулирующих элементов: p — фокальный параметр, i — наклонение, Q — долгота восходящего узла, A = esin ю; A2 = ecos ю — компоненты вектора Лапласа, выраженные через эксцентриситет e и аргумент перигея ю, u — аргумент широты спутника, 0 = 00 + ю^ — звездное гринвичское время, t — время ньютоновской механики. Эти переменные, записанные с нижним индексом "0" задают соответствующие начальные значения. Как и в [1], для облегчения анализа порядка малости во встречающихся далее выражениях введем безразмерный параметр p = p - 1.
а
Запишем уравнения движения спутника в форме Лагранжа, взяв в качестве независимой переменной аргумент широты u:
dp _ 2 ^r r д R du afM3 Bu'
d A1 du
d A2 du
_ Y
r д R L fM3dr'
(л r\ r BR ■ r (A r BR A cosu + 1 + ---sinu + - A,---A
v pJf M3 д u n v 1 f M B u
r BR
f M3 Bu fM3 B i
-ctg i
_Y
r BR . ,(л , r] r BR rL r BR , r BR . . -sinu + | 1 + - ) — cosu + -1 A2---+ A,--: ctgi
f M3 Bu
f M3 B u
pv 2fM3 Bu 1f M3 Bi
dQ _ y r r BR du sinipfM3 Bi'
di y r ( r BR . r BR]
— _ —--cos i---,
du sin ip vfM3 B u fM3 BOJ
d0 '
du
_ ykI П (1 + p)3/2,
Y _ (1 - ctg i
.r r
BR] -
pfM3 B i J '
1 + A1sin u + A2sin u
k _ ю 3
(1)
3
где R = RЗ + RL + RS — пертурбационная функция как сумма возмущающих воздействий от гравитационных полей Земли, Луны и Солнца
соответственно. Выразим последние через элементы орбит ИСЗ и возмущающего тела [20, 21]:
= /JM У f^ + Удл
lm
l — 2
i — 1
Rm — —
т) J У ^(i)
n — 0
cos (l - 2n) u' ■ sin(l - 2n)u-
l - чет l - нечет
Rlm — I — ) Jl
lm Е \ Flmn( i) '
cos[(l- 2n)u + m(Q - 0) - m\lm\ .sin[(l- 2n)u + m(Q - 0) - mXlm\.
l - чет (2) l - нечет
n n
R* — /M Е -Tti У (2 - Sm,0
a (n + m)!
n —2 * m—0 n
w* — p* (a)3 Е n (r)n - 2 У (2 - Sm. о
V a) ^ (aJ (n + m)!
(a) ' (a
n—2
—0
(n + m)!
; Е F«mP(i) Е F«mi(i*) Е G«hi(e*)
p — 0 h — 0 j — -да
x cos [(n - 2)u - (n - 2h + j)M* -- (n - 2h)ю* + m(Q - Q*)\,
Wl — -2P*|a) Е
aa
n—2 n
n -2
Е
m—1
j = »
(n - m)!
m i-— x
(n + m)!
X У 1 Fnmp(i) У 1 Fnmh(i*
) У G"hj(e* )
p — 0 h — 0 j — -да
x sin [(n - 2p)u - (n - 2h + j)M* -- (n - 2h)ю* + m(Q - Q*) \,
w* — p*i a) у
(a) ^ (a
*
n
Е (2 - Sm, 0 ^ (n + m)!
n —2 * m—0
n n j = да
X У Fnmp(i) У Fnmh(i* ) У Gnhj(e* ) x
p — 0 h — 0 j — -да
x cos [(n - 2p)u - (n - 2h + j)M* -- (n - 2h)ю* + m(Q - Q*)\.
Здесь, Flmp(j) — функции наклона Каулы, f — гравитационная постоянная, Gnhj(e) — коэффициенты Ганзена, a*, i*, e*, Q*, ю*, M* — элементы орбиты возмущающего тела, отнесенные к экватору Земли, J¡, Jlm, Xlm — коэффициенты в разложении силовой функции Земли в ряд по сферическим функциям [21], ¡тах — максимальная степень сферической гармоники, учитываемой в модели гравитационного поля Земли, Sm, 0 — символ Кронекера.
Продифференцировав частным образом функцию R по r, i, Q, u, можно показать, что
JL. dR — Е Vr + s2( wr + W + W),
/Mз дr
JL ^ — s2 ( Wn + W, + Wl), /MЗ dQ v 1 1
-^d-R — sVi + s2 (Wt + Wf + Wf),
/Mз di
-M-ddr = sVu + s2 (Wu + Wf + Wf),
/ Mз du (3)
x У F'nmp(i) У Fnmh(i*) У Gnhj(e*)
p — 0 h — 0 j — -да
x cos [(n - 2p)u - (n - 2h + j)M* -- (n - 2h)ю* + m(Q - Q*)\,
да
3 n-2
;*1 Г
3 да n-2 n W* —-p* I a) У (r)- У (2 - Sm, 0 ) (v^
(a) ' (a ., / ' (n + m)!
n—2
m—1
n j = да
(n + m)!
: У (n - 2p)Fnmp(i) У Fnmh(i*) У Gnhj(e*)
p — 0 h — 0 j — -да
x sin [(n - 2p)u - (n - 2h + j)M* -- (n - 2h)ю* + m(Q - Q*) \,
i m a7 p* — ——
9 /2 ^ 44
Выражения для V, Уп, V,, Уи, Жг, Жп, Щ, Жи, которые нам в последующем не понадобятся, мы опускаем. Явн^1й их вид можно найти в [1]. Отметим лишь только, что они относятся к возмущениям
от сжатия Земли, тогда как Ж*, Ж*, Щ*, Ж* соответствуют возмущениям от Луны и Солнца.
Ввиду сделанных допущений относительно орбиты ИСЗ, значение величины р£ + р^. не превосходит 4.3 1/б, а отношение (г/а )3 равно единице с точностью до величин порядка 6. Следовательно, функции Щ* имеют порядок 0(1).
Следуя работе [1], приведем исходную систему к виду, удобному для применения метода осреднения В.М. Волосова. Для этого, сначала, подставим найденные частные производные (3) пертурбационной функции в (1), а затем разложим получившиеся уравнения по степеням малого параметра. При этом, во-первых, считаем величины р, , — ,0
малыми порядка 6 на интервале Ди ~ 1/6 (последнее, как и в [1], будет следовать из итоговых формул второго приближения). Во-вторых, учитывая, что в рассматриваемом диапазоне высот значение пара-
зо
n
n
0
n
да
x
x
x
n
зо
x
n
x
n
n
j = да
метра г/а* не превышает ~0.04 для Луны и ~0.00011 для Солнца, в возмущающей функции (2) от Луны удерживаем главный (п = 2) и два параллактических (п = 3, 4) члена, а возмущающей функции от Солнца — только главный. В-третьих, поскольку коэффициенты Ганзена ОпН( е* ), выраженные через степенные ряды:, имеют порядок 0(е* ), то, вследствие малости е* (0.056 для Луны и 0.0167 для Солнца), индекс ] у Луны ограничиваем по модулю= 2, а у Солнца —]8 = 1. Тогда медленными пе
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.