МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 2 • 2015
УДК 532.5.032: 532.517.43
ЭВОЛЮЦИЯ ЗАВИХРЕННОСТИ В ЖИДКОСТИ И ГАЗЕ
© 2015 г. В. В. МАРКОВ*, Г. Б. СИЗЫХ**
*Математический институт им В.А. Стеклова РАН, Москва **Московский физико-технический институт, Москва e-mail: markov@mi.ras.ru; o1o2o3@yandex.ru
Поступила в редакцию 16.06.2014 г.
Доказано, что эволюцию завихренности любого вихревого течения жидкости или газа можно рассматривать как перемещение вихревых трубок с некоторой скоростью U, которая, вообще говоря, не совпадает со скоростью жидкости (или газа). Для вязкой несжимаемой жидкости предложен способ вычисления U по полю скорости жидкости.
Ключевые слова: теоремы Гельмгольца, уравнения Навье—Стокса, скорость переноса завихренности, эволюция завихренности.
Движение идеальной баротропной жидкости или газа в потенциальном поле массовых сил иногда удобнее рассматривать, исходя из понятия завихренности, а не скорости. Действительно, для таких течений справедливы теоремы Гельмгольца [1].
А. "В потенциальном поле массовых сил частицы идеальной баротропной жидкости, составляющие вихревую линию в некоторый момент времени, во все время движения составляют вихревую линию".
Б. "В потенциальном поле массовых сил интенсивность любой вихревой трубки во все время движения идеальной баротропной жидкости остается постоянной".
Можно считать, что вихревые трубки "вморожены" в жидкость, т.е. переносятся со скоростью жидкости. Поэтому в области течения, в которой нет разрывов полей скорости V и завихренности П = rotV, поле завихренности меняется непрерывно по времени — эволюционирует. При этом оказывается, что в условиях теорем Гельмгольца возможен другой взгляд на эволюцию завихренности.
Простейшим примером является установившееся течение, в котором выполнены условия теорем Гельмгольца. С одной точки зрения, можно рассматривать эволюцию завихренности как перемещение вихревых трубок вместе с жидкостью. С другой точки зрения, эту же эволюцию можно рассматривать как перемещение вихревых трубок с нулевой скоростью, поскольку в силу стационарности картина завихренности не меняется. Обе точки зрения верны и равноправны.
Определим понятие скорости переноса завихренности U = U (x, y, z, t). Если эволюция завихренности в жидкости может рассматриваться как перемещение вихревых трубок при сохранении их интенсивности вместе с некоторой средой, движущейся со скоростью U = U (x, y, z, t), то такая скорость называется скоростью переноса завихренности.
В приведенном выше примере показано существование двух скоростей переноса завихренности. Одна из них совпадает со скоростью жидкости, другая — равна нулю.
Согласно теоремам Гельмгольца, в течениях идеальной баротропной жидкости существует, по крайней мере, одна скорость переноса завихренности. Такой скоростью является скорость жидкости.
Имеется ряд вопросов. Первый — о существовании скорости переноса завихренности в тех вихревых течениях, в которых условия теорем Гельмгольца не выполнены. Второй — о единственности этой скорости.
Существование скорости переноса завихренности U и способ ее вычисления по полю скорости жидкости V известны для следующих вихревых (ft Ф 0) течений, в которых условия теорем Гельмгольца не выполнены.
Во-первых, это любые установившиеся течения. Скоростью переноса завихренности является любая скорость коллинеарная вектору ft (в частности, U = 0).
Во-вторых, это плоскопараллельные и незакрученные осесимметричные течения вязкой несжимаемой жидкости. Выражения для скорости переноса завихренности в этих течениях впервые получены в работах [2, 3]. Их можно представить одной общей
формулой: U = V -v [ft х rot ft]/ft2, где v — кинематический коэффициент вязкости. К этой скорости можно прибавить любую скорость, коллинеарную завихренности, и снова получится скорость переноса завихренности. Для таких течений в установившемся случае любая скорость, коллинеарная завихренности, также является скоростью переноса завихренности.
В остальных случаях для течений, в которых условия теорем Гельмгольца не выполнены, скорость переноса завихренности неизвестна. И до настоящего времени неясно, существует ли она.
В данной работе под любым вихревым течением понимается вихревое (ft ф 0) движение жидкости или газа, которое описывается уравнением
д V
— + (V, V)V = F
dt
где F — плотность распределения равнодействующей всех сил, приложенных к жидкости или газу, отнесенная к плотности жидкости или газа. Сюда относятся течения сжимаемых и несжимаемых, вязких (различных реологий) и невязких жидкостей. Здесь и далее, следуя [1], под жидкостью будем понимать как жидкость, так и газ, имея в виду, что жидкость может быть сжимаемой.
Способы вычисления скорости переноса завихренности по полю скорости жидкости представляют практический интерес. Это связано с тем, что они востребованы вычислительной гидродинамикой. Использование теорем Гельмгольца позволило создать бессеточный метод расчета нестационарных течений идеальной несжимаемой жидкости, получивший название метода дискретных вихрей. Изначально идея метода была изложена для двухмерных задач в работе [4]. Дальнейшее развитие метода для течений идеальной жидкости отражено в работах [5—7]. Метод может быть применён и для расчета течений вязкой несжимаемой жидкости. Соответствующая модификация носит название метод вязких вихревых доменов (ВВД) [8].
Опишем в общих чертах суть метода ВВД на примере безграничного объема, не затрагивая важные проблемы учета граничных условий и поверхностей разрыва, а также не затрагивая проблему восстановления поля давления по полю скорости жидкости.
В основе метода вязких вихревых доменов, как и в основе других вихревых методов, лежит интегральное представление поля скорости через поле завихренности — формула Био—Савара. А также точка зрения Лагранжа, основанная на возможности вычислять скорость переноса завихренности. При численной реализации в процессе вычисления "отслеживают" положение конечного числа "осей" вихревых трубок — вихревых нитей, которые имеют интенсивности своих трубок. Поле скорости, индуцированное соответствующими вихревыми нитями, приближенно совпадает с полем скорости течения V.
Предполагается, что чем мельче разбито пространство на вихревые трубки, тем лучше совпадение. На расчетном шаге по времени точки вихревых нитей сдвигают со скоростью переноса завихренности U и считают, исходя из определения ^ что интенсивность каждой нити не изменилась. Отметим, что нити не только сдвигаются, но и, вообще говоря, меняют свою форму. В результате получают новое положение вихревых нитей известной интенсивности. Затем восстанавливают новое поле скорости V с помощью численного интегрирования по формуле Био—Савара. После этого приступают к следующему расчетному шагу.
Из этого краткого описания видно, что метод применяется только для тех течений, для которых известны выражения скорости переноса завихренности. Как сказано выше, для вязкой несжимаемой жидкости до настоящей работы такие выражения были известны только для плоскопараллельных и незакрученных осесимметричных течений. В соответствии с этим метод вязких вихревых доменов в настоящее время применяется только для таких течений.
Вопросам существования и единственности скорости переноса завихренности, а также поиску способов вычисления этой скорости посвящена данная работа.
1. Существование скорости переноса завихренности. Рассмотрим течение, которое описывается уравнением
д V
— + (V, У^ = Е
дг
где F — плотность распределения равнодействующей всех сил, приложенных к жидкости, отнесенная к плотности жидкости. Перепишем это уравнение в форме Громека— Ламба [9]
— + ^ х V + —| = Е (1.1)
дt ^ 2 )
Согласно теореме Фридмана [1], для того чтобы вектор U был скоростью переноса завихренности, необходимо и достаточно, чтобы в рассматриваемой области течения во все рассматриваемые моменты времени выполнялось уравнение
дО
— + (и, V) П - (П, ¥>и + П ё1уи = 0
дг
В силу соленоидальности вектора ^ это уравнение равносильно уравнению
— х и) = 0 (1.2)
Рассмотрим область вихревого ф 0) движения жидкости, в которой существует неподвижная поверхность ст такая, что в течение ненулевого промежутка времени [?!, 12] каждая вихревая линия пересекает эту поверхность под острым углом к нормали. Тогда в окрестности ст в течение промежутка времени [?ь ?2 ] существует односвязный пространственный фрагмент 0СТ, в точки которого в каждый момент времени можно попасть, если зафиксировать время и перемещаться в обе стороны от этой поверхности вдоль вихревых линий, начинающихся на поверхности ст. Будем называть его элементарным вихревым фрагментом. Хотя поверхность ст неподвижна, но из-за того, что вихревые линии, вообще говоря, могут деформироваться, форма фрагмента 0СТ = 0^(1) может меняться со временем. Как следует из определения, 0СТ является од-носвязной частью вихревой трубки, заданной поверхностью ст. В случае, если вихревая трубка замкнута, то она одним разрезом превращается в элементарный вихревой фрагмент. Реальные вихревые течения могут состоять из объединения некоторого
числа элементарных вихревых фрагментов. Будем изучать эти фрагменты по отдельности, не рассматривая поведение завихренности на их границах.
Зададим /ст — произвольную постоянную во времени скалярную функцию на поверхности ст. В каждый момент времени ? из промежутка [?ь ?2 ] зафиксируем картину течения. Функция /ст с помощью интегрирования вдоль вихревых линий может быть продолжена функцией / = / (х, у, I, ?) в пространство элементарного вихревого фрагмента Оа так, что будет выполнено равенство
(а, V/) = (а, г) (1.3)
В связи с тем, что поля ^ и Р могут меняться со временем, поле / также может меняться со временем. Как сказано выше, при этом может меняться и фрагмент , который является областью определения поля /
Обсудим гладкость рассматриваемых полей. В работе исследуются области течения, в которых нет разрывов физических характеристик движущихся жидких частиц (компонент скорости, плотности, давления, температуры и т.д.) Как и в [1, 9, 10], в таких областях достаточную для исследования гладко
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.