ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 4, 2014
УДК 517.958.72; 517.958.539
© 2014 г. Э. В. Теодорович
ТОЧНОЕ АВТОМОДЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ НЕКОТОРОГО УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИФФУЗИИ С ДИССИПАЦИЕЙ
Методом ренормализационной группы получено точное автомодельное решение уравнения нелинейной диффузии с диссипацией типа Кана—Хил-лиарда. При поиске допустимой формы решения использовались только соображения размерностей и свойство ренормализационной инвариантности. Форма совместимых с нелинейным уравнением начальных и граничных условий заранее не может быть задана, она определяется из решения дифференциальных уравнений ренормгруппы.
1. Введение. При математической формулировке большой совокупности проблем, в основном относящихся к исследованию эволюции границы раздела фаз и ее устойчивости, возникают уравнения, в которых к обычному уравнению диффузии (теплопроводности) добавлены члены с высшими пространственными производными и нелинейные члены.
Примером подобного уравнения является уравнение Курамото-Сивашинского. В частности, Курамото [1] рассматривал эволюцию волн концентрации в двухфазной системе, а Сивашинский [2] исследовал неустойчивость фронта горения. Описывающее эти явления уравнение имеет вид
где А — оператор Лапласа, В — коэффициент диффузии (теплопроводности), пропорциональный V член описывает диссипацию, обеспечивающую затухание на малых масштабах, а пропорциональный ц нелинейный член описывает взаимодействие мод разных масштабов (в частности, перенос энергии вдоль спектра волновых чисел в теории турбулентности Бюргерса [3]). Случай V = 0 соответствует уравнению Бюргерса— Кардара—Паризи—Занга [4] при отсутствии внешних сил, появляющемуся при рассмотрении различных физических и физико-химических процессов, таких как флуктуации формы поверхности растущих тел или границы раздела двух жидкостей, движение границ доменов и кластеров и т.п. [5].
Уравнение другого типа, используемое при описании эволюции границы раздела, известное как уравнение Кана—Хиллиарда [6], имеет вид
и1 + Б А и + уД2 и + цАи3 = 0 (1.2)
В.В. Пухначёвым [7] в задаче о поведении границы раздела при учете нелинейной зависимости коэффициента поверхностного натяжения или теплопроводности от температуры было получено уравнение
иг + Б А и + уА2 и + цАы2 = 0 (1.3)
и1 + Б А и + уА2 и + ^(У и)2 = 0
(1.1)
названное автором уравнением типа Кана—Хиллиарда.
Наличие в приведенных уравнениях трех размерных параметров D, v и ц позволяет ввести три характерных масштаба: длины L = (v/D)1/2, времени Т = v/D2 и амплитуды искомой функции U = D/ц для уравнений (1.1), (1.3) и U = (D/ц)^2 для уравнения (1.2). Переход к безразмерным переменным
Г = r/L, t = t/T, и' = и/ U
соответствует замене в уравнениях (1.1)—(1.3) коэффициентов D, v и ц единицами.
Цель исследования — поиск радиально-симметричного автомодельного (сохраняющего группу симметрии исходного уравнения) решения в ^-мерном пространстве. Решение соответствующих уравнений для безразмерных величин задается формой гиперповерхности u = f(r, t) над плоскостью пространственно-временных переменных. При этом, в отличие от случая линейной задачи, когда в силу линейности уравнения амплитуда искомой функции должна задаваться дополнительными условиями, в нелинейной задаче вид дополнительных (начальных и граничных) условий не может задаваться произвольно, он должен быть согласован с исходным уравнением.
2. Специфика уравнения Пухначёва. Несмотря на то, что все три уравнения (1.1)—(1.3) сходны по структуре, уравнение (1.3) обладает специфической особенностью [8], заключающейся в том, что с помощью подстановки u = и — D/(2p.) пропорциональный D член уравнения может быть исключен. В результате получается уравнение
ut + vA2 и + цД и2 = 0 (2.1)
и из двух оставшихся параметров v и ц можно построить только один характерный масштаб: длины L или времени Т, а для масштаба амплитуды искомой функции получится V = v/^L2) или V = v1/2/^T1/2). В этом случае соображения размерности позволяют искать решение в виде функции автомодельной переменной ^ = r/(vt)1/4:
1/2
и(r, t) = V-fä) или и(r, t) = Ф(^), ф($) = № (2.2)
цг ц t
Произвол в выборе масштаба L или Тпроявляется в том, что уравнение (2.1) оказы-вется инвариантным относительно группы масштабных преобразований
r ^ Хr, t ^ Х41, и
что согласуется с представлением решения в виде (2.2). Функции f и ф подчиняются обыкновенным дифференциальным уравнениям, в частности (см. [8]),
1J V 1 Г 1 + *
■ S ■
+ 2 £,ф' ф[> = 0 (2.3)
При задании начальных условий (согласованных с исходным уравнением (2.1)) в теории может существовать дополнительный параметр с размерностью времени т, а именно, момент времени, принятый за начальный, соответствующий времени, прошедшему от начала процесса (например, в теории диффузии в качестве начального момента времени обычно принимается момент, когда распределение было 8-локали-зованным), и с этого момента ведется отсчет времени. При достаточно больших временах, когда т/? ^ 0, этот параметр можно не учитывать, если существует конечный предел (имеет место "автомодельность первого рода" [9]).
Нахождение аналитического решения уравнения (2.3) оказалось невозможным, и оно решалось численными методами, при этом начальные условия задавались из "фи-
зических соображений" и вопрос о совместимости выбранного начального условия с уравнением (2.3) не исследовался (см. [8]).
Отметим, что при поиске автомодельного решения принимается, что определяющие выбор единственного решения из семейства допустимых решений дополнительные условия (начальные или граничные условия задачи Коши), также сохраняют группу симметрии исходного уравнения (условие автомодельности). Однако вопрос о том, каким начальным (граничным) условиям должно починяться решение, не будет простым хотя бы потому, что автомодельная переменная ^ содержит одновременно пространственные и временные переменные, тогда как начальные (граничные) условия содержат только одну пространственную (начальная задача Коши) или временную (граничная задача Коши) переменную при фиксированной значении другой переменной, а группа симметрии связана с преобразованием обеих переменных.
Таким образом возникает, на первый взгляд, тупиковая ситуация, когда для нахождения решения надо знать дополнительные условия, а форма дополнительных условий следует из функциональной формы решения. Выход из этого замкнутого круга заключается в использовании подхода, не связанного с фиксацией формы дополнительных (начальных или граничных) условий. Оказывается, что дифференциальные уравнения (в отличие от интегральных) содержат некоторый произвол в способе задания дополнительных условий, что ведет к дополнительной группе симметрии в рассматриваемой задаче. Соответствующую группу симметрии называют ренормализационной группой, или ренормгруппой (РГ) (название заимствовано из квантовой теории поля), а вытекающее из требования инвариантности решения относительно преобразований РГ свойство получило название "функциональной автомодельности" [10, 11] (имеются примеры функциональной автомодельности в задачах механики [12]).
3. Ренормализационная инвариантность и метод ренормгруппы. С целью однозначного выбора решения из семейства допустимых решений, отображаемых набором гиперповерхностей над плоскостью пространственно-временных переменных, следует зафиксировать дополнительные условия, соблюдая при этом осторожность таким образом, чтобы функциональная форма дополнительных условий не противоречила свойствам симметрии исходного уравнения. Для этого выберем произвольно пространственно-временную точку г = г0, t = t0, которую в дальнейшем будем называть "точкой нормировки" (ТН), и потребуем, чтобы в ТН функция и(г, 0 принимала фиксированное значение (условие нормировки)
и(г, 0\ТН = ио (3.1)
Тем самым условие нормировки вводит три дополнительных параметра (г0, t0 и и0), которые следует учитывать в анализе размерностей при поиске автомодельного решения.
Из соображений размерности следует, что искомая функция может быть представлена в форме
/ 2 \
и(г, 0 = ио¥(I, = цДх, у, Н)
^0 ¿0 V ^
0 0 (3.2)
2
х = Г, у = 1, Н = ^ Г0 ¿0 V
При этом безразмерная функция безразмерных переменных F(x, у, И) согласно условию нормировки (3.1) должна подчиняться соотношению
¥( 1, 1, Н) = 1 (3.3)
Теперь воспользуемся произволом в выборе точки нормировки, а именно, возьмем в качестве ТН другую пару значений {г1, ?1} и выполним соответствующую перенормировку параметра и с помощью замены и0 ^ и1, лежащей на той же гиперповерхности, но имеющей координаты новой ТН. Очевидно, что форма гиперповерхности остается прежней, а меняется лишь точка, в которой фиксируется значение искомой функции, при этом и1 = и(г1, ?1).
Наличие произвола в выборе точки нормировки, т.е. неизменность формы решения при замене {г0, ?0} ^ {г1, ?1} и соответствующей замене (перенормировке) числового параметра {и0 ^ и1} приводит к тому, что записанное в форме (3.2) решение должно удовлетворять соотношению
в = 71 (3.4)
'о
Положив в уравнении (3.4) х = a, y = в и воспользовавшись условием нормировки (3.3), найдем
Ui = UoF(a, р, h)
Сопокупность преобразований, описывающих переходы от одного выбора условий нормировки к другому, подчиняется групповому закону композиции, содержит тождественное и обратное преобразование, т.е образует группу, названную ренормализа-ционной группой, или ренормгруппой.
Использование полученных выше формул позволяет написать функциональное уравнение ренормгруппы (ФУ РГ) для функции F(x, y, h)
F(x, y, h) = F(a, р, h)Ff*, в, a2F(a, р, h)h) (3.5)
va р )
В дальнейшем удобно ввести новую функцию
H(x, y, h ) = x2 hF(x, y, h) подчиняющуюся условию нормировки H(1, 1, h) = h и удовлетворяющую ФУ РГ
H(x, y, h) = Hfa,P, H(a, р, h)) (3.6)
va р )
Из ФУ РГ (3.6) можно получить два дифференциальных уравнения, для двух функций
Hi (x, h ) = H(x, 1, h ) и H2 (y, h ) = H( 1, y, h )
нормированных условиями H(1, h) = h. Функция H1(x, t) задает решение в момент времени t = t0, а H2(y, h) определяет временную эволюцию решения на гиперсфере радиуса r = r0.
Uo F Г £ L, ^0) = UiF ГI
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.