АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2013, том 47, № 5, с. 436-440
УДК 521.1
эйлерово решение кинематического уравнения
для близпараболического кеплерова движения © 2013 г. Т. Н. Санникова1, Л. Н. Судов1, 2, К. В. Холшевников1 3
1С.-Петербургский государственный университет 2Главная (Пулковская) обсерватория РАН, Санкт-Петербург 3Институт прикладной астрономии РАН, Санкт-Петербург Поступила в редакцию 20.12.2012 г.
В небесной механике важное значение имеет кинематическое уравнение, связывающее время и положение на орбите. Хотя это уравнение исследовано весьма глубоко, по нашему мнению недостаточно изученным остался случай близпараболического движения. Универсальную форму уравнения вывел Эйлер, но подробного исследования решения он не проводил. Нам удалось представить решение уравнения рядом по степеням введенного Эйлером малого параметра с коэффициентами, зависящими от времени и, что оказалось более трудной задачей, найти область сходимости указанного ряда.
БО1: 10.7868/50320930X13040075
ВВЕДЕНИЕ
В 1744 г. Леонард Эйлер (Субботин, 1959), (Euler, 1744; 1959) представил время в функции от истинной аномалии как в замкнутом виде, так и рядом по степеням параметра, характеризующего форму орбиты и обращающегося в нуль на параболе. Благодаря удачному выбору параметра, Эйлеру удалось найти коэффициент при общем члене ряда в виде простой функции от истинной аномалии. В наших работах (Холшевников, Судов, 2009) и (Антонов и др., 2010) нам удалось обратить ряд Эйлера, представив истинную аномалию рядом по степеням малого параметра с коэффициентами, зависящими от времени. Здесь мы определяем область сходимости указанного ряда.
положительные, на параболе ^ = 0. Во всех случаях -1 < ц < 1, < 1.
Введем безразмерное время 3
t =
2 ^, = 30+^ -3/2
(1+ И)2 4
t'
и запишем кинематическое уравнение для близ-параболического движения в виде
t = F (z, Z).
(1)
Здесь
КИНЕМАТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ БЛИЗПАРАБОЛИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
Введем следующие обозначения: I', 9, к2,р, е — время, считаемое от эпохи перицентра, истинная аномалия, гравитационный параметр, фокальный параметр и эксцентриситет. Наряду с эксцентриситетом используем введенный Эйлером параметр, обращающийся в нуль на параболе
Ц
1 - e 1 -ц =-, e =--.
1 + e 1 + ц
Заметим, что —1 < ц < 0 на гиперболе, ц = 0 на параболе, 0 < ц < 1 на эллипсе, причем ц = 1 на окружности. Часто удобнее пользоваться параметром ^ = ^ц. На гиперболе ^ принимает чисто мнимые значения, на эллипсе — вещественные
F(Z,Z) _ 4Z 3
z = Z tgf, -/rnbfc -(1 -z2)z _
1 + iz 2Z3(1 + z )
_ 1+Z
2Z3
arctgz -
(1 -z 2)z 2Z3(1 + z2).
Очевидно, для эллипса г представляет собой тангенс половины эксцентрической аномалии.
Соотношение (1) определяет I как функцию от г, £ Нас же интересует г как заданная уравнением (1) неявная функция О от зависящая от вещественного параметра I. Все свойства G(Z, 0 определяются свойствами Дг, О. Последние исследованы в (Холшевников, Судов, 2009; Анто-
нов и др., 2010). В частности, там доказано, что решение (1) представимо рядом
t) = X a»z
2n+l
(2)
n=0
Возвращаясь к истинной аномалии, представим это соотношение в более удобном для практики виде, не содержащем мнимых величин на гиперболе
где
fi(z) = arctg z--^, f2(z) = arctg z + —^.
l + z l + z
Стандартная подстановка
Z = Z + fz)
переводит (3) в стандартное уравнение
* 0 V п
= ^ап^ •
п=0
Начальным коэффициентом a0 служит единственный вещественный корень кубического уравнения
1 з _ 2 . а + — ап — — т • 0 з 0 3
Остальные коэффициенты определяются рекур-рентно и представимы в форме
Z3 - - 2q = 0,
где
(4)
i6t
—2 fi(z), q = 3 fi(z) + f23(z).
8t
64t3
Дискриминант D = q2 — д1 уравнения (4) равен
Дг, т) = -9-2 Л2(г) + /&)/&)• (5) 64т2 256т
При вещественных г функции У2 возрастают и ограничены при —да < г < да, поскольку
a„ = ■
(1 + a0)
2\2n-l
a„.
dfi(z) _ 2z2 d/2(z)_
2.2 '
Здесь ап — многочлены степени 2п — 1 относитель-
2
но а0 с положительными старшим и младшим коэффициентами, не делящиеся на 1 + а0. Иными словами, ап не содержит ни множителя а0, ни
множителя 1 + а0. Подробнее свойства ап и их явные выражения при п < 4 приведены в (Холшев-ников, Судов, 2009; Антонов и др., 2010).
Осталось найти область сходимости ряда (2). Сделать это обычными в теории функций комплексной переменной методами затруднительно, поскольку нам нужно считать время I вещественным параметром, тогда как г и ^ мы вынуждены считать комплексными.
Поэтому сначала разрешим уравнение (1) относительно ^
с = т, т).
Тем самым мы сведем задачу к обращению функции Н одной комплексной переменной г. Функция Н зависит также от вещественного параметра I. Благодаря свойствам четности I можно считать положительным числом.
СВОЙСТВА ФУНКЦИИ Н
Уравнение (1) равносильно кубическому уравнению относительно ^
Z3 - 4jtf2(z)Z2 - 4tfi(z) = 0,
ёг (1 + г )2 ёг (1 + г )
В силу четности D(г) эта функция при изменении г от —да до 0 убывает от D0 до 0, а при дальнейшем изменении г от 0 до да возрастает от 0 до D0. Здесь
Д = 64? (!) + 2561 (г
Итак, при вещественных г Ф 0 имеем D > 0, так что уравнение (4) имеет единственный вещественный корень, получаемый по формуле Кардано. Возвращаясь к уравнению (3), представим его единственный корень в форме
(3)
Z = H(z, t) = 1 f2(z) + 3q + 4Ъ + 3q -Ш (6) 4t
По принципу аналитического продолжения формула (6) верна и при комплексных г; ветви arctg(-) и 3V • выбираются из условия вещественности при вещественных г.
Алгебраические особенности функции О
Наша основная задача — найти радиус сходимости ряда (2). Достаточно найти ближайшие к началу координат особые точки О. Начнем с алгебраических особенностей. Они определяются особыми точками производной
ёг = Г(1 + _2ч 2т^(1 + С2) - г - (1 + г2)аг^ г (7)
¿С ^ г ) С2 + г2 '
Выражение (7) легко выводится из (3).
эо
Точка г = I не приводит к сингулярности, по скольку согласно (5) при г ^ I
САННИКОВА и др. где
±4Ъ ~±
л/3
16? 2(1 + г2)2'
1
±4Ъ
64? 3(1 + г2)3!
С = ±/г
(8)
при фиксированном положительном I. Подставляя (8) в (3), придем к соотношению
±/? = /3(г),
(9)
где
/3(г) =
3г - 3(1 - г )аг^г 4г3 "
Можно показать, что равенство (9) в интересующей нас области изменения г невозможно.
Приходим к заключению, что алгебраические особенности функции О отсутствуют.
Трансцендентные особенности функции О
Трансцендентные особенности функции О соответствуют конечным предельным значениям функции (6) при г ^ да вдоль некоторого пути.
При г ^ да вдоль положительной части вещественной оси
аг^г /1,/2
VI ^ ^ т, 1 ^ 1
3п
16?
16?
п
96?:
где
Т = 4 1 +
48?2
Отсюда ^ ^ Со(0 при
1 + ^ + Т|. (10)
Ф(г, С, ?) = ехр
8%3?
2/(1 -С )г [_ 3(1 + С2) (1+ С2)(1 + г2)]
1 - /г 1 + /г
поэтому в силу (6) ^ ^ да при г ^ I. При г ^ —I точно так же ^ ^ да.
Остается выяснить, при каких значениях ^ удовлетворяется соотношение
Трансцендентные особые точки являются корнями уравнения
Ф 0(С, ?) = 0. (11)
Здесь Ф0(^, ?) = 11тг ^ отФ(г, С, О, причем г стремится к бесконечно удаленной точке плоскости вдоль некоторой кривой. В нашем случае существует обычный, не зависящий от пути предел
Ф „(С, ?) = ехр-
-8/С3?
+1.
3 (1+ С2)
Уравнение (11) с учетом (12) равносильно
3 (1 + с2),
? = ■
8^3
-кп
(12)
(13)
при произвольном нечетном к. Вводя обозначения
А = кп, С = А, 8?
можно придать (13) форму одного из следующих кубических уравнений
или
С3 - 3АС,2 - 3А = 0,
С3 - 3 А % - (2А3 + 3А) = 0.
(14)
(15)
Дискриминант последнего уравнения положителен
) = Пусть
2 А + 3А
+
-3А2
3А 2(3 + 4 А2)
> 0.
31А3 + 3 А) + Л.
£ 0 = п + 3/3п[ 1 + - Т 1 +
8? Ь6? I 96? ^ У16? {. 96?
Напомним, что I считается положительным параметром, что влечет положительность всех подкоренных выражений.
Для нахождения других асимптотических значений проще сначала избавиться от многозначных функций и переписать (1) в виде, содержащем лишь однозначные аналитические функции переменных г и ^
Ф(г, С, ?) = 0,
а = 31А3 + 3 а) -VI, р =
По формуле Кардано
С0 = а + в + А, ^1,2 = А-Ор + ^ф-а), (16)
где здесь и ниже С^, ^ = 0, 1, 2) — корни уравнений (14), (15). Согласно (14), (15) С, и ^ — нечетные функции от А. Считаем поэтому А > 0, так что
р> А > а> 0, ар = А2. Нас интересуют модули корней ^
Д =% 0 = С 0 = а + в + А,
Д = = |С 2 = д/а2 + в2 - А(а + р). Заметим, что Е1 < Е,, поскольку
Д2 - Д2 = 3А(а + р + А) > 0.
(17)
2
Значения Я0, |ц|, ет1п, етах в зависимости от ?
? Я 0 И стт стах
0 со с 0 да
0.01 117.8182 13881.13 0 да
0.1 11.86466 140.7702 0 да
1 1.624510 2.639032 0 да
2 1.087302 1.182226 0 да
2.356194 1 1 0 да
3 0.889276 0.790812 0.116812 8.560774
4 0.779385 0.607441 0.244213 4.094781
5 0.707000 0.499849 0.333467 2.998796
6 0.654589 0.428487 0.400083 2.499481
7 0.614294 0.377357 0.452056 2.212115
8 0.582007 0.338732 0.493951 2.024493
9 0.555341 0.308403 0.528580 1.891860
10 0.532806 0.283882 0.557776 1.792835
15 0.456093 0.208021 0.655601 1.525319
20 0.409749 0.167894 0.712484 1.403541
30 0.353521 0.124977 0.777814 1.285654
40 0.318954 0.101732 0.815324 1.226506
50 0.294542 0.086755 0.840341 1.189993
60 0.276328 0.076357 0.858120 1.165339
70 0.261880 0.068581 0.871641 1.147261
80 0.250022 0.062512 0.882334 1.133358
90 0.240039 0.057619 0.891041 1.122283
100 0.231469 0.053578 0.898293 1.113222
500 0.133852 0.017916 0.964798 1.036487
1000 0.106008 0.011238 0.977774 1.022726
10000 0.049062 0.002407 0.995197 1.004826
100000 0.022758 0.000518 0.998965 1.001036
да 0 0 1 1
Выясним, для какого значения к модули С^ минимальны. Напомним, что А = А(к) = кя/(8?). Пусть ^(А) — один из трех корней уравнения (14). Его производная равна
С2 + 1 __с2
ёА £2 -2А^ 3А(£-2А)'
так как согласно (14) + 1 = С3/3А.
Для любой комплексно-значной функции ^(А) вещественной переменной А имеем
ёйй=2« (с ё£),
ёА V ёА)
где черта означает комплексное сопряжение. Подставляя выражение для производной от С,, получим
И((2 -2АС).
ё(а2)=2М2И с 22
ёА ЗА С- 2А ЗА %- 2А|2 Согласно (16), (17)
с 2 - 2АС0 = (а + р + А) (а + в - А) = а2 + р2 + А2 > 0,
С2 - 2АС,) = (в - а)2 > 0 при 5 =
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.