УДК 539.3
ФАЗОВЫЕ ГРАНИЦЫ КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ В ЗАДАЧАХ РАВНОВЕСИЯ ДВУХФАЗНЫХ УПРУГИХ ТЕЛ
© 2006 г. В.А. Еремеев1, С.М. Кузьменко2
Рассмотрены модельные задачи о равновесии двухфазных упругих тел, граница раздела фаз в которых моделируется переходным слоем конечной толщины, состоявшим из смеси каждой из фаз.
Введение. Построение моделей тел, испытывающих фазовые и структурные превращения, представляет существенный интерес для развития многих современных отраслей техники, материаловедения, электроники. Одной из особенностей таких моделей является наличие внутри тела заранее неизвестной межфазной границы, на которой ставятся дополнительные условия, позволяющие определить границу раздела фаз [1-8]. Учет характеристик границы раздела фаз может оказывать существенное влияние на решение подобных краевых задач. Широко распространен подход, при котором фазовая граница принимается в виде достаточно гладкой поверхности, имеющей некоторую энергию (поверхностное натяжение) (см., например, [1, 5,6]). Однако в некоторых случаях экспериментально установлена более сложная природа границы раздела фаз, являющейся, например, сильно искривленной или изломанной поверхностью или даже переходным слоем конечной толщины [9].
В данной работе предложена математическая модель межфазной границы, в рамках которой фазовая граница представляет собой слой, состоящий из смеси обеих фаз. На основе вариационного метода рассмотрено равновесие упругого тела, состоящего из двух фаз, разделенных переходным слоем, расположение и толщина которого предполагаются заранее неизвестными и подлежащими определению в ходе решения задачи. В качестве примеров рассмотрено несколько задач о радиально симметричной деформации двухфазных шара и цилиндра. Рассмотрены слу-
1 Южный научный центр Российской академии наук, Ростов-на-Дону.
2 Ростовский государственный университет. Ростов-на-Дону.
чаи наличия внутри тел абсолютно жестких включений. Проведено сравнение с решениями, полученными в [5, 6] на основе представления межфазной границы в виде поверхности, в том числе и наделенной поверхностной энергией.
1. Основные соотношения. Рассмотрим деформацию двухфазного упругого тела в приближении малых деформаций. Будем считать, что одна фаза занимает область У+, другая - область VI, а разделены они переходным слоем Уп (рис. 1). Здесь и далее знаками "+" и обозначены величины, относящиеся к разным фазам. Каждая из фаз представляет собой линейно-упругое изотропное тело с плотностью удельной энергии деформации вида
Ф±Л(М* + 2ц±И±) + 5±.
^ (1)
В (1) Ц.± - постоянные Ламе для каждой из фаз, величина 8± равна энергии фаз при нулевых деформациях. Заметим, что 5± не влияет на на-пряженно-деформированное состояние однофазного тела и может быть принята равной нулю. В случае наличия двух фаз эта величина
Рис. 1. Двухфазное тело с переходным слоем
может быть выбрана произвольно только для одной из фаз, например 8_ = 0. В последнем случае б+ представляет собой разность энергий фаз при нулевых деформациях.
В качестве уравнения состояния для переходного слоя выбрано определяющее соотношение для упругой гомогенной бинарной изотропной смеси твердых тел в приближении малых деформаций [10]. В рамках этой модели сплошная среда представляет собой два взаимопроникающих континуума, т.е. предполагается, что обе компоненты смеси присутствуют в каждой точке пространства. Вектор перемещений а-компоненты смеси обозначим через иа. Плотность удельной энергии деформации смеси Ф примем в виде
фп=\к 1(а)2 + ^„ И(а) + v|\ (2)
где 1<а>, II*00 (а = ±, у = +) - линейный и квадратичный инварианты тензоров деформации: I = tr е, П = tr(e • е7), 2е = Vu + Vu7", Ха, ца, с, Р - материальные постоянные, v = u+ - u_. Последние два слагаемых в (2) описывают упругое взаимодействие компонент смеси. Частным случаем (2) является модель линейно-упругого изотропного тела.
Для описания равновесных фазовых превращений в смеси воспользуемся, как и в случае простых материалов [1], вариационным принципом стационарности свободной энергии. Не ограничивая общности, предположим, что внешние нагрузки отсутствуют (рассматривается задача с главными краевыми условиями). Тогда функционал энергии двухфазного тела можно представить в виде
I[u+,u_]= I <P+dV + I Ф_dV + j ФadV. (3)
у.,
Третий интеграл в правой части (3) описывает энергию переходного слоя и в этом смысле соответствует энергии межфазной границы. В отличие от ранее рассмотренных случаев постоянного поверхностного натяжения [1, 5, 6] здесь энергии границы соответствует "поверхностное натяжение", зависящее от деформаций в каждой из фаз.
Условие стационарности функционала (3)
61 = 0 (4)
при учете независимого варьирования положения границ переходного слоя и векторов перемещений u+, и_ позволяет сформулировать локальные условия равновесия фаз смеси, состоящие из уравнений равновесия и естественных краевых условий на границе раздела слоя и каждой из фаз [1,5,6, 8]. Последние состоят из уравнений механического баланса и термодинамического усло-
Рис. 2. Двухфазный шар с переходным слоем
вия, необходимого для определения фазовой границы. Случай равновесия смеси и однокомпо-нентной среды исследовался ранее [11].
2. Центрально-симметричная деформация двухфазного шара. Рассмотрим центрально-симметричную деформацию двухфазного шара с переходным слоем. Предполагается, что области, занимаемые фазами, являются сферическими, концентрически расположенными слоями (рис. 2). Пользуясь обозначениями п. 1, выделим области У+, У_ и V,,. Радиусы внутренней и внешней сфер, ограничивающих переходный слой, обозначим через Л0 и Л, соответственно.
В предположении об отсутствии объемных и поверхностных сил будем считать заданным на поверхности тела постоянное поле радиальных перемещений А. Тогда вектор перемещений и будет иметь только радиальную компоненту и(г), а три ненулевые компоненты линейного тензора деформации е в сферических координатах примут вид
е, =
Mr) dr
и(г)
(5)
Будем считать, что фазы "+" и "-" представляют собой линейное изотропное тело с разными постоянными Ламе. Обозначим их через и (1_. Промежуточный же слой Уп будем считать занятым смесью фаз "+" и "-", согласно модели гомогенной бинарной изотропной смеси твердых тел в приближении малых деформаций [10].
Условие неразрывности поля перемещений на границах переходного слоя примет вид
И+(ЙЬ) = И+П(Л0) = И_П(Л0),
и_(Л1) = и+п(Л0) = и_п(Л0). (6)
Условие на внешней границе (при г - 1) имеет вид
и_(1) = А. (7)
В центре же шара выполняется соотношение
и+( 0) = 0. (8)
Кроме того, необходимо потребовать равенства на границах полей напряжений:
(9)
Запишем полный функционал потенциальной энергии тела:
+ 12_+ И_+ 6_ у +
(10)
Вводя обозначения (Я., + |Аг) = ц^ уравнения равновесия в смеси можно записать в виде:
Ч\
^ё2и, 2 ¿и, 2и, Л -+. _)---±_--±
йг2 г с1г г2
+
+<7з
( йги 2 ¿и 2и ^
Ч йг Г (1г г1 + -м_) = 0,
+
Чг
/ 1
¿и 2 с1и 2 и
у ¿г2 г ёг г2 7
+
+Яз
^ ё2и++2 с1и+ 2и+ 4
ёг г (¡Г г4 + -и+) = 0.
(П)
Заменив тройные интегралы в (10) повторными, получим
Ч* = 2к
(
/ Ф+(г,м+,<)г2^г +
40
} Фп(г,«+п,<п;М_п,М:п)Г2£/Г
+ | Ф_(г,и_,и'_)г2с1г
(12)
Таким образом, задача сводится к нахождению поля перемещений, сообщающих минимум функционалу (12) на множестве решений системы (И) при условиях (6>-(8).
Для областей У± радиально-симметричное решение дается формулами задачи Ламе [12], ради-ально-симметричное решение для смеси получено в [11]. Подставляя эти решения в (12) при учете (6)-(8), а также используя вытекающие из условия стационарности (4) статические условия (9), получим выражение для функционала потенциальной энергии как функции, зависящей от радиусов Л0 и /?,: ¥ = ¥(¿0, /?,). Тем самым условия стационарности функционала (12) сводятся к системе нелинейных алгебраических уравнений
Р-0. 1^ = 0.
Э/^ ЭЛ,
Для принятых значений упругйх постоянных и для рассмотренного диапазона изменения внешнего параметра Д с достаточной степенью точности можно считать, что величины й0 и кх связаны линейно. Характерные результаты расчетов представлены на рис. 3. Кривая в описывает изменение положения внутренней границы межфазного слоя /г0 от перемещения поверхности шара Д.
Для сравнения на рис. 3 приведены также зависимости радиуса межфазной границы от
Рис. 3. Зависимость положения фазовой границы от перемещения на внешней границе для разных краевых задач, а ~ двухфазный шар с четкой межфазной границей, б - упругий двухфазный шар при учете поверхностной энергии, в -упругий двухфазный шар с переходным слоем
Рис. 4. Двухфазный шар с переходным слоем при наличии включения
перемещения поверхности шара в случае отсутствия переходного слоя (кривые а, б). Кривая а построена при отсутствии поверхностной энергии границы раздела фаз. Кривая б построена при учете поверхностной энергии, которая предполагалась постоянной. Из рис. 3 видно, что учет поверхностной энергии играет существенную роль в определен™ положения фазовой границы. В частности, отметим качественное совпадение поведения кривых б ив.
Заметим, что исследованное здесь равновесное решение соответствует случаю устойчивого в малом центрально-симметричного решения [8]. Это означает, что устойчивости решения можно ожидать и в рассмотренном случае с переходным слоем.
3. Центрально-симметричная деформация двухфазного шара, содержащего абсолютно жесткое включение. В качестве следующей модельной задачи рассмотрим центрально-симметричную деформацию двухфазного шара с переходным слоем при наличии в центре абсолютно твердого сферического включения. Предполагается, что области, занимаемые фазами, являются сферическими, концентрически расположенными слоями (рис. 4). Пользуясь обозначениями п. 1, выделим области У+, V_ и Уп.
Радиусы включения, внутренней и внешней сфер, ограничивающих переходный слой, обозначим через г0, ко и Л, соответственно.
Аналогично п. 2 зададим на поверхности тела постоянное поле радиальных перемещений Д. Тогда вектор перемещений и будет также иметь только радиальную компоненту м(г), а ненулевые компоненты линейного тензора деформаци
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.