научная статья по теме ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ МЕЖДУ АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЙ И НЕАКСИАЛЬНОЙ ФОРМАМИ ЯДРА Физика

Текст научной статьи на тему «ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ МЕЖДУ АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЙ И НЕАКСИАЛЬНОЙ ФОРМАМИ ЯДРА»

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2004, том 67, № 5, с. 955-960

ЯДРА

ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ МЕЖДУ АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ И

НЕАКСИАЛЬНОЙ ФОРМАМИ ЯДРА

© 2004 г. Р. В. Джолос*

Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Россия Поступила в редакцию 30.05.2003 г.; после доработки 15.08.2003 г.

В рамках модели взаимодействующих бозонов в пространстве трех контрольных параметров рассмотрены фазовые переходы между различными формами ядра. В зависимости от значений этих параметров равновесная форма ядра может быть сферической, деформированной аксиально-симметричной и неаксиальной. Показано, что фазовый переход от аксиально-симметричной к неаксиальной деформации является фазовым переходом второго рода. В рамках модели Бора—Моттельсона получено приближенное решение, описывающее ядро вблизи критической точки фазового перехода от сферической формы к неаксиальной деформации. Полученные результаты для энергий и вероятностей ^2-переходов близки к экспериментальным данным для 134Ва.

Свойства низколежащих коллективных квад-рупольных возбуждений ядер, которые в модели Бора—Моттельсона ассоциируются с колебаниями поверхности ядра, как правило, требуют для своего описания численного решения сложных дифференциальных уравнений или численной диагонали-зации гамильтоновой матрицы, как это делается в модели взаимодействующих бозонов. Лишь в специальных случаях гармонического вибратора, аксиального ротатора или ^-деформированного 7-нестабильного ядра, которым в модели взаимодействующих бозонов отвечают динамические симметрии и(5), Би(3) или О(6) соответственно, решение может быть найдено аналитически. Большинство же ядер принадлежит так называемой переходной области между пределами динамических симмет-рий. Эти переходные области, или,точнее, области фазовых переходов между предельными симметри-ями, всегда вызывали повышенный интерес.

В последние годы был достигнут значительный прогресс в разработке методов анализа свойств ядер в критических точках фазовых переходов. Были найдены простые аналитические решения для критических точек фазовых переходов и(5)-Би(3) [1] и и(5)-О(6) [2]. Дан детальный анализ фазовых переходов между ядрами различной формы в рамках модели взаимодействующих бозонов [3, 4]. Анализ экспериментальных данных показал, что имеются ядра, свойства которых близки к свойствам, предсказанным для ядерных систем, локализованных в критических точках [5, 6]. Но до сих пор эти исследования не включали в рассмотрение возможности перехода к

неаксиальным ядрам. Нельзя, однако, исключить, что в ряде областей карты нуклидов, особенно благодаря расширению области исследуемых ядер в связи с появлением радиоактивных пучков, могут существовать неаксиальные деформированные ядра или по крайней мере ядра, проявляющие мягкость относительно перехода к неаксиальной деформации. Целью данной работы является включение в рассмотрение фазовых переходов между различными формами ядра также и неаксиальной формы. Рассмотрение будет проведено в рамках модели взаимодействующих бозонов, так как эта модель особенно удобна для рассмотрения систем с конечным числом частиц.

Форму ядра в основном состоянии удобно описывать, используя три угла Эйлера, характеризующие ориентацию ядра в лабораторной системе координат, и переменные деформации в и 7. С помощью последних строится когерентное состояние

[7]

|ДГ,/3,7) = (Б+ЛО), (1)

л/ЩГ+^У7

где

B + = S+

+ ß ^ cos Y • +

(2)

E-mail: jolos@thsun1.jinr.ru

— оператор рождения монопольного бозона;

— оператор рождения квадрупольного бозона; N — суммарное число монопольных и квадруполь-ных бозонов; |0) — бозонный вакуум.

Усредняя гамильтониан по состоянию (1), мы получаем энергию деформации ядра Е(Ж; в, 7):

Е(Ж; в, 7) = {М,в,!\И\М,в,7),

(3)

где Н — гамильтониан ядра.

Гамильтониан ядра возьмем в следующем виде:

1 — п ~

Н = фл- —Ях ' <3х + + ^ Сг (((+ д+)цг)д+)г • (Щ)^)^,

1 1 3 14

Г2 " 7СЗ + 49С4 + 55С6

8

0,

2 1 3

35С° + 7СЗ + 35С4 " 385С6 =

= С (1 — п)

1

N (Ж — 1):

мы получаем такое выражение для энергии деформации Е(Ж,п,Х,С; в, 7):

+

Е(Ж,п,Х,С; в, 7) = —5(1 — п)+ (7) (N7] - (1 - Г])(т + х2 - 8))/32 +

(1 + в2)2

(4)

где иа = • й — оператор числа (-бозонов, <х = = ((+8 + вс1)2 + х((+ ¿)2 — квадрупольный оператор.

Точкой между операторами в (4) обозначено скалярное произведение. Первые два слагаемых в (4) являются стандартными. Параметр п принимает значения 0 < п < 1, а параметр х изменяется в пределах — л/7/2 < х < л/7/2. Последнее слагаемое взято из работы [8]. Благодаря включению в гамильтониан этого члена энергия деформации может иметь минимум, отвечающий неаксиальной форме. Константы взаимодействия сг (г = = 0,2,3,4,6) определены ниже.

Усредняя гамильтониан (4) по когерентному состоянию (1) и налагая на константы сг следующие условия:

+ 4(^-1)(1-г?Н/уХ/33со8 37 +

+ С (Ж — 2)(1 — п)

/3Ь СО&2 37

1+/32

(5)

(6)

Будем предполагать, что параметр С положителен. В отличие от случая, рассмотренного в [4], последнее выражение зависит не от двух, а от трех контрольных параметров п, Х и С. Таким образом, рассмотрение неаксиальных форм ядра требует трехмерного пространства контрольных параметров.

Исследование точек стационарности Е(Ж, п, Х, С; в, 7) показало, что при малых значениях п энергия деформации Е(Ж, п, Х, С; в, 7) имеет минимум, отвечающий неаксиальной деформированной форме ядра, если контрольные параметры п, Х, С удовлетворяют следующим двум условиям:

- 1)2Х2 7(К - 2)С

Жп< (1 — п) 4Ж + Х2 — 8 —

(8)

- 1)2Х2 7{М - 2)С

(1 — п) 4Ж + х2 — 8 —

— Жп

3/2

4(1 - ч)(ЛГ - 1) ( 2 - -X2

I щ + (!_,)[ Ш _ 4ДГ + 3 8(ЛГ - «V

> 2

7

7(Ж — 2)С

.Ж - 1 N - 2

Н 2! 7% С

(9)

Границы, в пределах которых могут изменяться параметры п, Х и С, определяют треугольную призму, в основании которой, т.е. в плоскости С =0, лежит расширенный треугольник Кастена [4] (см. рисунок). Таким образом, условия (8) и (9) определяют поверхность в пространстве контрольных параметров, отделяющую область параметров, при которых существует неаксиальный деформированный минимум, от области, в которой неаксиальная деформация отсутствует.

Условие (8) накладывает на п ограничение

сверху:

- 1)2Х2 7(К - 2)С

4Ж — 8 + х2 —

п <

т - 1)2х2 7(К - 2)С

5ж — 8 + х2 —

(10)

а условие (9) накладывает на С ограничение снизу, которое при N — ж принимает вид

С 1

2Х2

7(

Х2

ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ

957

Из (11) видно, что нижняя граница для £ определяется в основном величиной %. Например, при X, близком к нулю, и п, удовлетворяющем (10), неаксиальный деформированный минимум появляется при значениях £, близких к нулю. При |%| = у/1 ¡2 минимальное значение необходимое для появления неаксиального минимума, £ & 4.18. Таким образом, появление ядер с неаксиальной деформацией или мягких относительно отклонений от аксиальной симметрии наиболее вероятно, как это и предполагалось обычно, там, где х & 0. Это, например, изотопы Ва, Рt и Os.

Если условия появления неаксиального деформированного минимума не выполняются, то минимум локализуется при 7 = 0 (х < 0) или 7 = = п/3 (х > 0). Ограничение, налагаемое на п требованием существования аксиально-симметричного минимума, имеет вид

Nп< (1 - п){ 4N + х2 - 8 -

(12)

8^ - 1)2х2

в

3

min

1+в2-

1 /^шт в

- 2)£

(N-1) (N-2)

+ 3вшт£ N - 2) х

- 2

Н 2! 7% С

+ £ (N - 2) х

3

min

1+в2-1 /^шт

2

Ш~1) (Ж - 2) V 7А (

2 21

где вшт — значение в в минимуме. Сравнивая (12) c условием (8), видим, что при увеличении п от нуля при некотором значении п перестает выполняться условие (8), но выполняется условие (12). Таким образом, при увеличении п деформированный неаксиальный минимум переходит в деформированный аксиально-симметричный минимум. Ниже будет показано, что это фазовый переход второго рода. В этом случае нет сосуществования деформированных аксиально-симметричной и неаксиальной фаз. Вдоль линии перехода исчезает различие между этими двумя фазами. При дальнейшем увеличении п (х =0) появляется минимум при в = 0, но минимум при ненулевом в продолжает существовать. Глубины обоих минимумов сравниваются при п = па-й [4].

Рассмотрим более детально переход от аксиально-симметричной формы ядра к неаксиальной. При условии существования неаксиального деформированного минимума

Е(^п,х,£; в, Тшш) = N^-(1- Г]) (1 + 2-^х2

(13)

1 + в2

X = 1.323

X = 0 ^ \п = 0

п = 1 \

X = -1.323

Расширенный треугольник Кастена (С = 0).

4N + 3 % х <" N7] + (1 - г?) ( т--^х2 ) +

8(N - 1)2х2

(1 + в2)2

2(1 - п) х

х (Лг _ 1) ( 2 - -х2

Если деформированный минимум аксиально-симметричный (£ недостаточно велико), то

Е№,п,х,£; в,1 = 0 или п/3) = (14)

= N7] -{1-7]) Л+^^Х2

7

—АN7]+ (1-7]) (4ЛГ-1^х2] +

1+в

+ (1_Г?) 7(ДГ-2)С ^ +

1

7

1

(1 + в2)2

2(1 - п) х

х(ЛГ-1)(2-^Х2)+(1-Т?) С(^-2)х

в3

1+в2

2

1

А2- _

(Ж-2) V 7Л С/ 1 + в'

Детальное рассмотрение показало, что если

/у 1 + в2 (Ж-2) V 7Х

(15)

то существует только аксиально-симметричный деформированный минимум. Положение этого минимума по в можно найти, приравняв нулю производную от выражения (14) по в. Если

Р ^ 2(^у-1) /2771 П6)

1+в2 > (М-2)У 4х с ( }

(это условие эквивалентно (9)), то вместо аксиально-симметричного деформированного минимума появляется неаксиальный деформированный

1

х

х

2

1

х

минимум. Положение этого минимума можно найти, приравняв нулю производную от выражения (13) по в. В точке фазового перехода от аксиально-симметричной деформации к неаксиальной

ß3

= 2

(N - 1)

2 21 -х -

(17)

1 + в2 " (Ж — 2) V 7* С

Из сравнения выражений (13) и (14) видно, что энергия деформации в точке фазового перехода является непрерывной функцией контрольных параметров. Поскольку выражения (13) и (14) различаются слагаемым, квадратичным по

F (N — 1) /2 з 1

1 + ß2 (N- 2)V 7Л С

(18)

(19)

+

1

д

1

ß2 1 sin З7 dj 3

sin37

д_

д^

1

£

T2 1k

k=l sin

7"f к

+

+ V(в, 7) — Е| Ф(влЛ) = 0,

где — три угла Эйлера, В — массовый коэффициент, — компоненты оператора углового момента, индекс к нумерует оси внутренней системы координат. Потенциал V(в, 7) возьмем в следующем виде:

1

V(ß,1)=u(ß) + -DßbcoS231

(20)

Предположим, что коэффициент жесткости

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком