ЖЭТФ, 2015, том 147, вып. 1, стр. 127 131
© 2015
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В АНТИФЕРРОМАГНИТНОИ МОДЕЛИ И 3 И Н Г А НА ОБЪЕМНО-ЦЕНТРИРОВАННОЙ КУБИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ С ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ ВТОРЫХ БЛИЖАЙШИХ СОСЕДЕЙ
А. К. Муртазаев. М. К. Рамазанов"*, Ф. А. Кассан-Оглы€, Д. Р. Курбанова"
" Институт физики Дагестанского научного центра Российской академии наук 367003, Махачкала, Россия
ъДагестанский государственный университет 367025, Махачкала, Россия
'"Институт физики металлов Уральского отделения. Российской академии наук 620990, Екатеринбург, Россия.
Поступила в редакцию 9 июня 2014 г.
На основе репличного алгоритма методом Монте-Карло и гистограммного анализа данных изучены фазовые переходы в антиферромагнитной модели Изинга на объемно-центрированной кубической решетке с учетом взаимодействий вторых ближайших соседей. Построена фазовая диаграмма зависимости критической температуры от величины взаимодействия вторых ближайших соседей. Установлено, что для данной модели в рассмотренном интервале значений величины взаимодействия вторых ближайших соседей реализуется фазовый переход второго рода.
DOI: 10.7868/S0044451015010101 1. ВВЕДЕНИЕ
При количественном описании фазовых переходов (ФП) н критических явлений в современной физике конденсированного состояния используются различные решеточные модели. С помощью теоретических методов на простых решеточных моделях удалось точно решить лишь очень ограниченное количество задач. Одной из таких моделей является двумерная модель Изинга [1]. При учете антиферромагнитных взаимодействий вторых ближайших соседей в классической трехмерной модели Изинга наблюдаются вырождение основного состояния и появление различных фаз и фазовых переходов. Кроме того, учет взаимодействия следующих ближайших соседей может также влиять па критическое поведение модели, в частности, появляются различные аномалии критических свойств [2].
Теоретические расчеты и численное моделирование методом Монте-Карло (МК) для модели Изин-
E-mail: sheikh77'fflmail.ru
га на объемно-центрированной кубической решетке были проведены в работах [3 8]. Авторы работы [3] методом МК провели исследование критического поведения модели Изинга на различных типах решеток. Авторы вычислили температуру фазового перехода и рассчитали значения термодинамических параметров в критической области. Теоретические исследования, проведенные в работах [4,5], также свидетельствуют о том, что для модели Изинга на простой кубической решетке и в объ-емно-центрнрованной кубической решетке имеет место ФП второго рода. Аналогичные результаты получены и в работах [6 8]. Авторы этих работ рассчитали критические индексы для некоторых термодинамических параметров. Согласно результатам работ [7,8], переход из ферромагнитной фазы в парамагнитную фазу является переходом второго рода, а переход из антиферромагнитной фазы в парамагнитную фазу является переходом первого рода. Отсюда следует, что при росте величины взаимодействия вторых ближайших соседей в системе происходит смена рода фазового перехода со второго на первый.
В настоящей работе мы предприняли попытку по возможности с максимальной точностью с соблюдением единой методики и использованием надежной и проверенной схемы на основе реплично-го алгоритма метода Монте-Карло определить род ФП антиферромагнитной модели Изинга на объемно-центрированной кубической решетке с учетом взаимодействий вторых ближайших соседей.
Интерес к этой модели обусловлен следующими основными причинами.
Во-первых, учет взаимодействия вторых ближайших соседей может приводить к возникновению фрустраций, что усложняет решение. Известно, что фрустрированные системы (ФС) во многом проявляют свойства, отличные от соответствующих нефрустрпрованных систем. Это отличие выражается в богатом разнообразии фаз и ФП, что обусловлено сильным вырождением и высокой чувствительностью ФС к различного рода возмущающим взаимодействиям [9].
Во-вторых, при изучении ФС до сих пор основное внимание уделялось ФС на треугольной и гексагональной решетках [10 16]. Критические свойства ФС на объемно-центрированной кубической решетке с учетом взаимодействий вторых ближайших соседей практически не исследованы.
В-третьих, первые попытки исследования этой модели предпринимались в то время, когда мощности вычислительных машин и используемые алгоритмы метода МК но позволяли рассчитывать критические параметры с необходимой степенью точности.
Исследование этой модели на основе современных методов и идей позволит получить ответ на ряд вопросов, связанных с характером и природой ФП фрустрированных спиновых систем.
2. МОДЕЛЬ И МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ
Антиферромагнитная модель Изинга на объемно-центрированной кубической решетке с учетом взаимодействий вторых ближайших соседей описывается следующим гамильтонианом:
Я = Л • 3,) + 1-2 • 5'/), (1)
<и) 0,0
ГДв = иЬ1 изинговский спин. Первый член
в формуле (1) учитывает обменное взаимодействие ближайших соседей величиной ./1 > 0, а второй вторых ближайших соседей .1-2 > 0; к = ./г/Л величина взаимодействия следующих за ближайшими соседей.
Исследования фазовых переходов фрустрированных спиновых систем традиционными теоретическими, экспериментальными и численными методами сталкиваются с рядом трудно преодолимых проблем. Это связано с тем, что для таких моделей характерна проблема многочисленных долин локальных минимумов энергии. Строго и последовательно на основе микроскопических гамильтонианов такие системы могут быть изучены методами МК [10 14,16,17], но обычные методы МК плохо справляются с решением этих проблем. Поэтому в последнее время разработано много новых вариантов алгоритмов метода МК, которые позволяют преодолеть эти проблемы. Одними из наиболее мощных и эффективных в исследовании ФП и критических явлений в фрустрированных системах оказались реплич-ные алгоритмы метода МК [18,19].
Для анализа характера фазовых переходов и особенностей тепловых характеристик вблизи критической точки весьма эффективным и информативным является гистограммный метод анализа данных [20]. Гистограммный анализ данных позволяет по только оценить надежность и достоверность результатов, полученных методом МК на основе расчета кумулянтов Биндера, но и определить ряд других важных параметров [21].
Расчеты проводились для систем с периодическими граничными условиями и линейными размерами ЬхЬхЬ = М,Ь = 12 90. Соотношение обменного взаимодействия вторых и ближайших соседей менялось в интервале 0 < к < 1.0. Для вывода системы в состояние термодинамического равновесия отсекался неравновесный участок длиной то = 4 • 105 шагов МК на спин, что в несколько раз больше длины неравновесного участка. Усреднение термодинамических параметров проводилось вдоль марковской цепи длиной до т = 500ть шагов МК на спин.
3. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Для наблюдения за температурным ходом теплоемкости н восприимчивости использовались выражения [22, 23]
С=(ЛГА'2)«£/2>-<£/>2), (2)
= Г (N10 ((М2) - <|М|>2) . Г < /\.
Х \ (УА'){М2), Т>Тдг,
где К = |./|/квТ, N число частиц, V внутренняя энергия, М параметр порядка (II и М являются нормированными величинами).
С/кв
-1-1-1-1-1-г
2 3 4 5 6 7 8
Рис. 1. Зависимость теплоемкости С/кв от температуры квТдля разных к
X
2 3 4 5 6 7 8
квТ/\Л\
Рис.2. Зависимость восприимчивости \ от температуры квТ/\3\ для разных к
На рис. 1 и 2 представлены температурные зависимости теплоемкости и восприимчивости, полученные при Ь = 30 для различных значений к (здесь и далее статистическая погрешность не превышает размеров символов, использованных для построения зависимостей). Отметим, что увеличение значения к в интервале 0 < к < 0.6 сопровождается сдвигом максимумов в сторону более низких температур, одновременно с этим наблюдается рост абсолютных значений максимумов как теплоемкости, так и восприимчивости. Рост абсолютных значений максимумов происходит за счет конкуренции первых и вторых ближайших соседей.
Для определения критических температур Тдг нами использовался метод кумулянтов Биндера 11ь
иь
6.340 6.345 6.350 6.355 6.360
квТ/\3\
Рис. 3. Зависимость кумулянта Биндера 17ь от температуры квТдля к = 0
четвертого порядка. Кумулянты Биндера по энергии и по намагниченности имеют вид [24]
УЬ = 1 - (и4)ь/3{и2)1, (4)
иь = 1-{М*)ь/3(М2)1, (5)
где Уь — кумулянт по энергии, IIь — кумулянт по намагниченности.
Выражения (4) и (5) позволяют определить критическую температуру Тдг с большой точностью. Следует отметить, что применение кумулянтов Биндера дает возможность также хорошо тестировать тип ФП в системе. Известно, что в случае ФП второго рода кривые температурной зависимости кумулянтов Биндера 11ь имеют четко выраженную точку пересечения [24,25].
На рис. 3 представлена характерная зависимость 11ь от температуры при к = 0 для разных значений I/. Этот рисунок демонстрирует точность определения критической температуры. На рисунке видно, что в критической области наблюдается четко выраженная точка пересечения (Тдг = 6.349(1), здесь и далее температура дана в единицах ^\/кв), что свидетельствует о ФП второго рода. Аналогичным образом были определены критические температуры и для остальных значений к = 0-1.0. Значение критической температуры, полученное нами для случая к = 0, очень близко к значению Тдг = 6.354, полученному в работах [3,4].
В таблице представлены значения кумулянтов Биндера в критической точке для разных к. Как видно в таблице, значения кумулянтов Биндера не
9 ЖЭТФ, вып. 1
129
Таблица. Значения кумулянтов Биндера в критической точке для разных к
к 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.G 0.7 0.8 0.9 1.0 0[17]
UL 0.482(2) 0.480 0.478 0.480 0.481 0.479 0.478 0.481 0.482 0.480 0.480 0.47(1)
к
Рис.4. Фазовая диаграмма зависимости критической температуры от величины взаимодействия вторых ближайших соседей
зависят от величины взаимодействия вторых ближайших соседей. Здесь же для сравнения приведено значение кумулянтов Биндера для фрустрирован-ной трехмерной модели Изинга на простой кубической решетке [17], которое в пределах погрешности совпадает с нашими данными.
На рис. 4 приведена фазовая диаграмма зависимости критич
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.