Автоматика и телемеханика, № 4, 2015
© 2015 г. А.В. МЕТЕЛЬСКИЙ, д-р физ.-мат. наук (ametelskii@gmail.com) (Белорусский национальный технический университет, Минск)
УПРАВЛЕНИЕ СПЕКТРОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ПОМОЩИ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
Для спектрально управляемой линейной автономной системы запаздывающего типа с соизмеримыми запаздываниями строится статическая обратная связь по состоянию, обеспечивающая произвольный конечный спектр замкнутой системы. За счет выбора последнего замкнутая система может быть сделана асимптотически устойчивой. Результаты проиллюстрированы примером.
1. Введение. Постановка задачи
Рассмотрим линейную автономную дифференциальную систему с соизмеримыми запаздываниями
m
(1) x(t) = Ajx(t — jh) + bu(t), t > 0,
j=0
x(t) = n(t), t € [-mh, 0].
Здесь x = [xi,...,xn]' - n-вектор-столбец решения системы (1) (n ^ 2); 0 < h - постоянное запаздывание; Aj - постоянные (n x п)-матрицы (j = = 0, m); b - постоянный ?г-вектор; начальная функция г) из пространства кусочно-непрерывных n-вектор-функций; u - скалярное управление. Векторные величины полагаем записанными в столбец, штрих ' обозначает операцию транспонирования. Считаем, что в уравнении (1) b = en = [0;... ;0; 1]'. Этого всегда можно достичь невырожденным преобразованием переменных x = Ux.
Пусть Л € C (C - множество комплексных чисел), обозначим:
m
А(Л) = £ Aj Л-7,
j=0
W(p, e-ph) = pEn — A(e-ph) - характеристическая матрица (p € C, En - единичная матрица n-го порядка), w(p,e-ph) = |W(p,e-ph)| - характеристический квазиполином системы (1). Здесь и далее |W | - определитель произвольной квадратной матрицы W.
Множество корней а = {p € C|w(p,e-ph) = 0} характеристического уравнения называют спектром системы (1). Поскольку коэффициенты характеристического квазиполинома w(p,e-ph) действительны, то комплексные числа входят в а сопряженными парами: а - самосопряженный спектр.
В классе задач управления системой (1) регулятором по типу обратной связи центральное место занимает задача FSA (finite spectrum assignment) -назначения замкнутой системе произвольного конечного самосопряженного спектра. Эта задача возникла [1] в связи с задачей стабилизации [2, 3] системы с запаздыванием. Системы с конечным спектром по сути - конечномерные системы, поэтому исследование таких систем упрощается. В частности, успокаивающие управления для систем с конечным спектром можно строить в классах простейших функций.
Известно [4, 5], что спектр системы, замкнутой дифференциально-разностным регулятором, может содержать инвариантные значения p* € C, которые входят в спектр при любом выборе коэффициентов регулятора. Чтобы убрать из спектра такие значения, например для обеспечения асимптотической устойчивости замкнутой системы, нужно ввести в регулятор распределенные запаздывания. В [1] доказано, что для разрешимости задачи FSA для системы (1) в классе регуляторов с распределенными запаздываниями необходимо, чтобы система (1) была спектрально управляема [6]:
(2) rank \pEn - A(e-ph),b
= n для всех p € C.
Условие (2) и [7] достаточно для разрешимости задачи РБЛ для системы (1) в классе регуляторов с распределенными запаздываниями. В [8] установлено, что для выполнения (2) для системы (1) необходимо, чтобы
(3) гапк[Ъ, А(Л)Ъ,..., Ап-1(Л)Ъ] = п при некотором Л € С.
Управление спектром системы (1) в классе разностных регуляторов при выполнении равенства (3) для всех Л € С исследовано в [9]. Там обоснована возможность приведения характеристического квазиполинома замкнутой системы к виду
п
w(p,e-ph) = П (р + в(в-^)) ,
г=1
где ¡Зг(Л) (г = 1,п) - наперед заданные полиномы.
В связи с работой [3] возникла [10] также задача замены конечной самосопряженной части спектра системы (1) произвольным аналогичным набором. Было установлено [10], что для системы (1) условие (2) необходимо и достаточно для разрешимости данной задачи.
Задача приведения системы (1) к системе с конечным (не произвольным!) спектром в классе дифференциально-разностных регуляторов изучалась в [4], где показано, что условие (2) достаточно для спектральной приводимости системы (1). Там же обосновано необходимое условие спектральной приводимости системы (1) в классе таких регуляторов: равенство (2) может нарушаться только в конечном числе точек. В [11] получены новые условия спектральной приводимости и построен дифференциально-разностный регулятор запаздывающего типа, приводящий замкнутую систему (1) к системе с конечным спектром. В настоящей работе предлагается новая схема получения РБЛ-регулятора и тем самым дано новое конструктивное доказательство
того, что условие (2) необходимо и достаточно для разрешимости задачи назначения произвольного конечного спектра (РБЛ) для системы (1).
Пусть \и - оператор сдвига: \3В<(1) = —jh) (< - функция, ] =0,1,...). Рассмотрим статический регулятор по типу обратной связи
(4) L Li h
u(t) = -a(\o ,x(t)) + g'(\D )x(t) + Li h
+ ^ ^ / q'ki(Xu)x(t — s)ePkSsi/i\ds, t > 0,
k=1i=00
где a(\n ,x(t)) = e'nYm=0 Ajx(t — jh); g'(XD) = [gi(Xn ),...,g.n(^D)] -векторный полином с действительными коэффициентами, q'ki(XD) = [ÜhÁXd),■■■ ■ ■ ■ jQkíni^D)] ~ векторные полиномы, возможно, с комплексными коэффициентами, Р* = {рк € С, к = 1, L} - набор действительных и комплексно сопряженных чисел. Для отрицательных значений аргумента переменные xi(t), если они не заданы, считаем произвольными кусочно-непрерывными функциями.
Параметры регулятора (4) таковы, что после приведения выражения
Y^L=i SL=0 Ükí(XD)x(t — s)epkSsi/i!ds применением формулы Эйлера ellf = = cos ф + i sin ф (i - мнимая единица) к виду
(5)
Ni h
У^ / Rj(s)XDx(t — s)ds, j=00
где Rj(з) = ^=1 еа13(('Мв1 з)Р3г(з) + $т(вгз^^з)) (аг,вг € М, Р]1(з),Я]1(з) -п-векторные полиномы), все коэффициенты регулятора (4) действительные. Пусть
«1 п
(6) й(рр) = Ц(р — рг)к = ^ Ърп-г, рг € Р,
1=1 г=о
- заданный характеристический полином замкнутой системы, Р = {рг € С, г = 0, } - его различные действительные или комплексно сопряженные корни с алгебраическими кратностями кг.
Задача: при выполнении условия (2) подобрать множество Р* и векторные коэффициенты д'(Хв),й'кг(Хо) регулятора (4) так, чтобы характеристическая матрица рЕп — Л(р,е-^) замкнутой системы (1), (4) имела действительные коэффициенты и выполнялось равенство
|рЕп — А(р,е-рН)1 = ё(р).
Такой регулятор назовем РБЛ-регулятором. Ниже приводится алгоритм построения РБЛ-регулятора для системы (1).
2. Вспомогательные результаты
В записи регулятора (4) присутствуют слагаемые с сосредоточенным запаздыванием: хг(1) и с распределенным запаздыванием: ^ Х^х(Ь — в) х х еРкЯвг/Ийв. Будем говорить, что регулятор (4) имеет ^-структуру (запаздывающую структуру).
В замкнутой системе последнее уравнение имеет вид
ь ьг н
(7) хп(1) = д'(Хв)х(Ь) + ^ / 4'кг(Хв)х(1 — в)еРк*вг/Мв,
к=1 г=о 0
соответственно последняя строка характеристической матрицы системы (1), (4) такова (Х = е-рН):
Вычисляя, получаем (Хк = е Ркн)
н
[ е-(р-рк)^8 = ~(Л ~ ./ А/. (// ///,)'
о
[ е-^-рк)8 з*/Мз -—( (Л ~ Ла,) + V_—_^
I ' Хк [(Р - Рку+1 + ^ Ц{р - Рку-1+1) ^
г ^ 1.
Обозначим ^Ы{Х) = ч'ц,лХ) Л/, Ц = 1 ,п, г = 0,1^),
} , хл й]ко{Х){Х — Хк) ( (Х — Хк) А ХН1 \
(9) ЫР, Л) = + £№<А) +ЕЩ>,_№),-1+1].
ь
(10) Ш, X) = ш(Х) + ЫР, А), 3 = Ьп,
к=1
где д^{Х), сцы{Х) (] = 1 ,п, г = 0,Ь\) - полиномы. Таким образом, если регулятор (4) имеет ^-структуру, то последняя строка характеристической матрицы замкнутой системы имеет вид [—¡\(р, Х),... ,р — /п(р, Х)]. Про функции fj(p, Х) также будем говорить, что они имеют ^-структуру.
Пусть ^(р,Х) - произвольная функция вида (10) (з = 0). Приведя к общему знаменателю, получим /о(р,Х) = , где
ь
(11) ^(р) = Ц(р—рк )1к,
к=1
- общий знаменатель суммы ^2к=1 /ок(р,Х); К(р, Х) - полином, степень которого относительно переменной р не больше степени 61 (р). Очевидно, что функция вида /0(р,е-рН) целая. Верно и обратное утверждение.
Теорема 1. Дробно-рациональная функция ^^ имеет И-структуру, если и только если степень переменной р в полиноме К(р, Х) не больше степени переменной р в полиноме б1(р) и производные функции К(р,е-рН) по переменной р удовлетворяют равенствам
(12) К{€) (рк, е~Ркк) = 0, г = 0,1к-1, к =
Доказательство теоремы 1 см. в [12, раздел 2].
3. Достаточные условия ЕЯЛ-регулятора
Считаем, что для системы (1) выполнено условие спектральной управляемости (2). Обозначим
М (р,Х) = [М1(р,Х),...,Мп(р,Х)]' = = [(—1)п+1Ш1(р, Х), (—1)п+2 ш2(р, Х),..., Шп(р, Х)]'
- алгебраические дополнения к элементам (начиная с первого) последней строки матрицы Ш(р, Х) = рЕп — А(Х). Здесь
п- 1
т
(р, А) = ^ тг^(\)рг> 1, г = 1, п — 1,
г\Р, 'V — "Н,з
(13) 3=1 1
п- 1
= тп(р, Х) = ^2 тп,з(Х)р3-1 + рп-1 3=1
- миноры, полученные вычеркиванием г-го столбца из первых п — 1 строк матрицы Ш(р,Х) (тгз(Х) - полиномы).
На основании теоремы 1 последнюю строку матрицы А(р, Х) замкнутой системы, соответствующую регулятору (4), будем искать в виде
(14) впА(р, Х) = [д1(Х) + /1(р, Х),.. .,дп(Х) + /п(р, Х)] , где полиномы fj{p,X), ] = 1 ,п, имеют вид (10). Обозначим
(15) К (р, Х) = —б(р) — ЫХ),д2(Х), ...,дп(Х) — р] М (р, Х).
Для построения РвА-регулятора полиномы (/¿(А), г = 1 ,п, далее подбираются так, чтобы функция К(р, Х) удовлетворяла условиям теоремы 1.
Пусть = {рк € С, к = 1, - множество различных чисел таких, что при некотором Хк € С пара (рк, Хк) - решение системы
(16) Мг{р, А) = 0, ъ=Т^п.
Набор содержит инвариантные [4, 5] спектральные значения, которые не "убираются" из конечного спектра замкнутой системы дифференциально-разностным регулятором. Это видно из разложения характеристического определителя замкнутой системы по п — 1 первым строкам на основании теоремы Лапласа.
Ввиду условия (2) полиномы Мг(р,\), г = 1 ,п, не имеют [4] общего множителя, зависящего от Х, поэтому множество конечно. Согласно теореме Гильберта о нулях найдется векторный полином у'(р,Х) = [^\(р,Х),... ..., уп(р, Х)], при котором
(17) уг(р, Х)И1(р, Х) + ... + <рп(р, Х)Мп (р, Х) = йг(р), где полином
(18) ск(р) = 1\(р — рк )1к
к=1
имеет корнями все числа рк € Р^, найденные из системы (16)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.