научная статья по теме ФЕРМИОНЫ В СЛУЧАЙНЫХ КАЛИБРОВОЧНЫХ ПОЛЯХ И НАРУШЕНИЕ КИРАЛЬНОЙ СИММЕТРИИ Физика

Текст научной статьи на тему «ФЕРМИОНЫ В СЛУЧАЙНЫХ КАЛИБРОВОЧНЫХ ПОЛЯХ И НАРУШЕНИЕ КИРАЛЬНОЙ СИММЕТРИИ»

= ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ

ФЕРМИОНЫ В СЛУЧАЙНЫХ КАЛИБРОВОЧНЫХ ПОЛЯХ И НАРУШЕНИЕ КИРАЛЬНОЙ СИММЕТРИИ

© 2004 г. В. Ч. Жуковский, О. В. Тарасов*

Московский государственный университет, Россия Поступила в редакцию 14.05.2003 г.; после доработки 25.12.2003 г.

Рассмотрены случайные суперпозиции калибровочных полей, в которых фермион может распространяться вдоль одной и той же одномерной траектории в четырехмерном пространстве на произвольные расстояния без уменьшения амплитуды. Выяснены условия, при которых подобные структуры обладают конечной плотностью фермионных нулевых мод. Исследована возможность нарушения киральной симметрии в указанных конфигурациях калибровочных полей.

ВВЕДЕНИЕ

Нарушение киральной симметрии (НКС), наряду с конфайнментом (см., например, обзор [1]), — одно из наиболее ярких непертурбативных явлений квантовой хромодинамики (КХД). Предполагается, что НКС происходит за счет каких-либо нетривиальных конфигураций калибровочного поля, далеких от пертурбативного вакуума. Окончательного ответа на вопрос о природе конфигураций, обеспечивающей механизм НКС, до настоящего времени не было дано. В работе [2] были выбраны суперпозиции многих инстантонов и антиинстан-тонов (газ псевдочастиц), поскольку они являются седловыми точками в континуальном интеграле [3], которым определяются величины, "ответственные" за НКС. Однако известно, что существенный вклад в формирование континуального интеграла в инфракрасной, непертурбативной, области могут дать также группы конфигураций, далеких от классических решений. Так, решеточные эксперименты показали, что для описания конфайнмента могут быть важны комбинации центральных вихрей, действие которых в континуальной теории вообще расходится [1, 4].

Хорошо известно, что НКС может быть индуцировано фермионными нулевыми модами. В последнее время обсуждались различные топологически нетривиальные конфигурации калибровочных полей с фермионными нулевыми модами, имеющие отношение к непертурбативным явлениям КХД, таким, как конфайнмент и НКС (см., например, [4— 8]). Напомним еще раз работы, в которых исследовались центральные вихри и их роль в механизме конфайнмента, например: [4], где был введен непрерывный аналог максимальной центральной

E-mail: tarasov79@inbox.ru

калибровки, а также [5], где изучались мероны, инстантоны и инстантон-антиинстантонные конфигурации и было продемонстрировано, что в них можно считать включенными как монополи, так и центральные вихри; кроме того, отметим, что в [6] изучались нулевые моды кварков на фоне пересекающихся центральных вихрей и их возможная роль в НКС. В то же время возникает вопрос, существует ли класс калибровочных полей с конечной плотностью нулевых мод, достаточно большой для того, чтобы насытить такие функциональные средние, как, например, кварковый конденсат.

Представляет интерес выбор конфигураций, далеких от классических решений, предложенный в [9] под названием "fermion guides", что можно было бы перевести на русский язык как "фермиводы". Фермиводы интересны тем, что фермион движется по ним в четырехмерном евклидовом пространстве вдоль одномерной кривой на произвольные расстояния без убывания амплитуды.

В отличие от работы [9], где рассматривались гипотетические конструкции типа фермиводов, мы продемонстрируем явный конкретный пример фер-мивода и соответствующее ему решение уравнения Дирака для нулевой моды. Далее, в отличие от работы [9], рассуждения которой основывались на предположении о существовании большого числа нулевых мод для одного фермивода, мы рассмотрим случай, когда существует хотя бы одно решение уравнения Дирака типа нулевой моды с большой, но конечной нормой, пропорциональной длине фермивода. Мы покажем, что уже это может обеспечить конечную плотность нулевых мод за счет большого числа самих фермиводов.

В разд. 1 приводится мотивация нашего интереса к изучению фермиводов и свойств спектра оператора Дирака во внешнем калибровочном поле,

2285

являющемся суперпозицией фермиводов; там же дается постановка задачи.

В разд. 2, основываясь на результатах [8] и [9], построена явная конфигурация калибровочного поля в виде прямолинейного фермивода и отвечающая ей фермионная нулевая мода. На этом примере иллюстрируется механизм НКС во внешнем калибровочном поле, имеющем вид фермивода.

В разд. 3 рассмотрена конфигурация полей, представляющая собой разреженное распределение фермиводов, в которой нулевые моды, отвечающие каждому отдельному фермиводу, расщепляются. Расщепленные решения и соответствующие собственные значения оператора Дирака вблизи нуля получаются как собственные векторы и собственные значения матрицы перекрытия. Рассматривается структура этой матрицы.

В разд. 4 нулевые моды усредняются подобно тому, как это было сделано в случае инстанто-нов [2]. Предполагается, что распределение фер-миводов насыщает функциональный интеграл, что дает возможность заменить интеграл по всем калибровочным полям усреднением по всем распределениям фермиводов.

В разд. 5 спектральная плотность оператора Дирака вычисляется с помощью компьютерного эксперимента. Подобные расчеты уже обсуждались в литературе, см. [10], в случае инстантонов. Наши результаты для фермиводов отличаются от выводов [10] для инстантонов ввиду различия в структуре матрицы перекрытия для этих различных конфигураций калибровочных полей.

В разд. 6 обсуждаются полученные результаты, степень обоснованности сделанных для их получения предположений и перспективы дальнейшего развития в данном направлении.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Как известно, отличный от нуля кварковый конденсат, {ф(х)ф(х)) = 0, фактически является параметром порядка НКС. Действительно, в случае ненарушенной киральной симметрии конденсат должен быть нулевым, чтобы быть симметричным относительно киральных преобразований. Непертурбативность явления НКС может быть проиллюстрирована попыткой расчета величины кваркового конденсата по теории возмущений. Все диаграммы приводят к выражениям, содержащим след от произведения нечетного числа 7-матриц, который равен нулю:

Тг Ба = Тг Ба АБа = ТгБа АБа АБа = ... = 0,

(1)

где Ба — свободная функция Грина безмассового фермиона; А = 7МАМ, А^ — калибровочное поле.

Таким образом, для объяснения НКС необходимо рассматривать кварки в ненулевом калибровочном поле, учитываемом непертурбативным образом. В качестве приближения можно взять некую конфигурацию внешнего калибровочного поля, моделирующую глюонный вакуумный конденсат.

Согласно соотношению Бэнкса—Кэшера [11], величина кваркового конденсата во внешнем поле связана со спектральной плотностью оператора Дирака в этом поле р(Х) при Л = 0:

{фф) = —п{р(0)), (2)

где р(Л) = р(Л)/У4 — плотность нулевых мод на единицу четырехмерного объема. С помощью этой формулы можно еще раз убедиться в непертурба-тивности НКС. Действительно, в случае нулевого внешнего поля собственные функции оператора Дирака соответствуют свободному движению фер-мионов с разными импульсами. В произвольном й-мерном случае имеем

р(Л) йлр5(\р\ — Л) — Лл-1. (3)

В случае й = 4 результат р(Л) — Л3, очевидно, обращается в нуль при Л ^ 0.

Нас интересуют такие конфигурации калибровочных полей, которые, во-первых, играли бы существенную роль в формировании континуального интеграла и, во-вторых, при которых р(Л) не стремилась бы к нулю при малых Л.

В работе [2] в качестве таких конфигураций были взяты инстантоны. Напомним, что инстан-тонный механизм НКС заключается в следующем. Рассматривается разреженная среда (газ), представляющая собой суперпозицию многих инстан-тонов и антиинстантонов. Известно, что в поле каждого из них отдельно оператор Дирака имеет нулевую моду, локализованную около этой псевдочастицы. Однако присутствие на больших расстояниях других инстантонов и антиинстантонов приводит к тому, что бывшие нулевые собственные значения оператора Дирака расщепляются и группируются около нуля (примерно так же расщепляются энергетические уровни в квантовоме-ханической задаче о двух ямах или в ситуации с зонной структурой спектров в периодических полях в твердом теле). В пределе бесконечного числа псевдочастиц спектр оператора Дирака становится непрерывным, и бывшие нулевые моды создают конечную спектральную плотность в нуле. В статье [2] показано, что после усреднения по всем позициям инстантонов {р(Л)) имеет форму гауссоиды с центром в нуле и, естественно, {р(0)) = 0. Там же был получен пропагатор безмассового фермиона в таком газе и было показано, что полюс в нуле исчезает и фермион приобретает эффективную массу, зависящую от импульса.

В статье [9] был предложен другой возможный механизм НКС. Калибровочные конфигурации с ненулевой плотностью нулевых мод, рассматриваемые там, строились как суперпозиции ферми-водов, т.е. таких калибровочных конфигураций, в которых фермион любой массы распространяется вдоль одной и той же одномерной траектории в четырехмерном пространстве на произвольные расстояния без уменьшения амплитуды. Заметим, что согласно (3) вклад в континуальный интеграл эффективно вносит движение фермиона в одномерном пространстве й = 1,где значение спектральной плотности в нуле р(0) конечно и не обращается в нуль. Вот почему НКС можно связать с таким полем, где движение является эффективно одномерным. Подобная ситуация и осуществляется в фермиводах. Таким образом, предлагается заменить континуальное интегрирование по всем калибровочным полям интегрированием по всем конфигурациям полей данного типа.

Нам удалось построить явный пример прямолинейного фермивода, используя результаты [8, 9], который иллюстрирует механизм возникновения НКС в таких полях. Далее рассматривается оператор Дирака в поле сразу нескольких фермиводов. Бывшие нулевые собственные значения оператора Дирака расщепляются. Они могут быть получены в теории возмущений как собственные значения матрицы, составленной из интегралов перекрытий. Мы рассмотрели структуру этой матрицы. Конечная цель — рассмотрение среды со случайным распределением фермиводов и усреднение кваркового конденсата, как это уже было сделано в [2] для ин-стантонов. В предположении, что рассмот

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком