ФИЗИКА МЕТАЛЛОВ И МЕТАЛЛОВЕДЕНИЕ, 2004, том 97, № 1, с. 18-27
_ ТЕОРИЯ
МЕТАЛЛОВ
УДК 537.611.4:537.622.4
ФЕРРОМАГНИТНОЕ СОСТОЯНИЕ В ПЕРИОДИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ АНДЕРСОНА
© 2004 г. Ю. А. Изшмов, Д. С. Алексеев
Институт физики металлов УрО РАН, 620219 Екатеринбург ул. С.Ковалевской, 18 Поступила в редакцию 14.07.2003 г.
Периодическая модель Андерсона рассмотрена в пределе и —- «>. Для вычисления электронных функций Грина, построенных на Х-операторах Хаббарда, использован метод производящего функционала, в котором функции Грина определяются как вариационные производные по флуктуирующим полям. Функции Грина для х- и ¿-электоронов, а также смешанные функции Грина, выражаются только через две характеристики ¿-электронной функции Грина: ее неприводимую собственно-энергетическую часть и концевую часть. Для них выведены уравнения в вариационных производных, которые могут быть решены путем итераций по параметру гибридизации. В первом приближении по этому параметру соответствующему учету хартриевской и фоковской поправок к собственной энергии ¿-электрона, выведены уравнения, соответствующие приближению среднего поля и путем их численного решения определена область существования ферромагнитного решения модели в пространстве основных параметров гамильтониана: параметра гибридизации, положения ¿-элек-тронного уровня в полосе х-электронов и электронной концентрации. Показано, что ферромагнетизм возможен за счет двух факторов: спин-зависящей гибридизационной щели в квазичастичном спектре (хартриевская поправка) и зависящего от спина смещения верхнего края нижней квазичастичной подзоны (фоковская поправка).
1. ВВЕДЕНИЕ
Периодическая модель Андерсона (РАМ) является одной из фундаментальных моделей квантовой теории магнетизма. В ней рассматриваются две группы электронов: коллективизированные (х) и локализованные (¿), между которыми допускается гибридизация. ^-электроны свободны, ¿-электроны сильно взаимодействуют между собой путем кулоновского отталкивания на одном узле. В отличие от другой гибридной модели - ^¿-модели - взаимодействие х- и ¿-электронов осуществляется в РАМ не с помощью прямого взаимодействия, а через гибридизацию.
РАМ хорошо описывает металлические системы с локализованными (обычно /-типа) состояниями и является основной рабочей моделью для описания систем с тяжелыми фермионами. В простейшем варианте РАМ включает четыре параметра: ширину W полосы коллективизированных состояний, кулоновское отталкивание и локализованных электронов на одном узле, положение ¿-электронного уровня E¿ относительно центра полосы х-электронов, параметр гибридизации V, а также концентрацию п электронов, заполняющих х- и ¿-состояния. В зависимости от соотношения между этими параметрами РАМ описывает разные состояния системы: металлическое, диэлектрическое и разные типы магнитного упорядочения
Наиболее богатая физика возникает в условиях сильной корреляции, когда и > W. В такой ситуации, когда в теории нет малого параметра, особенно эффективным является метод динамического среднего поля (БМРТ), основанный на рассмотрении предела бесконечной размерности пространства (см. обзор [1]).Первоначально он был применен к модели Хаббарда, а позже к РАМ [2]. Замечательным результатом этих исследований явилось обнаружение кроссовера от металлического поведения при высоких температурах (Т > Т0) к изоляторному поведению при низких температурах (Т < Т0). Параметр Т0 определяет щель в спектре бозевских возмущений - спиновых и зарядовых, тогда как в спектре квазичастиц щель оказывается равной Т0/2.
Эти результаты относятся к так называемой симметричной модели, для которой ¿-уровень лежит в центре х-полосы, т.е. E¿ = 0, а также для половинного заполнения ¿-состояний, когда приходится по одному ¿-электрону на атом. Именно этот специальный случай представляет особый интерес в связи с физикой систем с тяжелыми фермионами. В этих же условиях в изоляторной фазе может появиться антиферромагнитное упорядочение в результате конкуренции кондовско-го экранирования и обменного взаимодействия между ¿-электронами.
Гораздо менее изучено поведение несимметричной модели, в которой может возникнуть фер-
ромагнитное упорядочение по аналогии с моделью Хаббарда, когда электронная концентрация отклоняется от половинного заполнения. Известно, что в модели Хаббарда ферромагнетизм тем более вероятен, чем больше кулоновское отталкивание и. Такое ожидание основано, в частности, на теореме Нагооки. По этой причине в РАМ мы также исследуем предел и —► ^ и выражаем гамильтониан модели через Х-операторы Хаббарда, хорошо описывающие систему в условиях сильной корреляции. В этом случае мы сможем воспользоваться методом производящего функционала, ранее использовавшегося нами для описания модели Гейзенберга [3], ¿/-модели [4] и ¡¿-модели [5] (см. также монографию [6]).
По аналогии с этими работами, мы вводим производящий функционал для РАМ в пределе и —► ^ и получаем уравнения для электронных функций Грина (ФГ), построенных на обычных фермиев-ских операторах, относящихся к ¡-электронам, и на Х-операторах, относящихся к ¿-электронам. Полная совокупность четырех электронных ФГ выражаются через две фундаментальные величины, описывающие ¿-электроны: их собственно-энергетическую часть и концевую часть Лаа, для которых выведены уравнения в вариационных производных. Они позволяют получить формальные разложения для этих величин по степеням параметра гибридизации V2. Мы учитываем поправки первого порядка по V2, их оказывается две: типа Хартри и типа Фока. В работе впервые исследуется эффект фоковской поправки к собственной энергии. Для этой поправки получено самосогласованное уравнение, зависящее от спина, и на его основе исследованы условия появления ферромагнетизма.
2. ФОРМУЛИРОВКА МОДЕЛИ
Рассмотрим модель, характеризующуюся гамильтонианом
Н - ^ с]а +
,,-аа +
у а
(2.1)
+ £( ^ Х0а + V*Х а0 са)•
ча
и —► га. Этот гамильтониан уже использовался в ряде работ [8, 9]. Отметим также, что 8^ — уровень локализованного ¿-электрона, а ¿у = 8¡.Ьу + ¿у, где ¿у -матричный элемент перескока ¡-электрона с узла I на узел у, 8. - атомный уровень ¡-электрона, дело-кализованного благодаря перескокам по решетке. Здесь и далее электронные энергии отсчитываются от химпотенциала системы ц.
В соответствие с общим подходом, сформулированным в работах [11, 3-5], введем производящий функционал
г[V] - Тг(е^Те^) = ((Те-)),
(2.2)
где V для гамильтониана (2.1) выберем в форме
л/ 0 „00 , а2а1 тла1а2 а2а1 +
V - V 1'Х 1. + у 1. Х1. + wr сг
(2.3)
Оператор V описывает взаимодействие с флукту-
0 а2а1 а2а1
ирующими полями у 1, у 1 и w1 , связанных с ¿- и ¡-электронами соответственно. Цифровые индексы, как обычно, означают узел и термодинамическое время, 1 = (1, т1), по штрихованным индексам в (2.3) подразумевается суммирование. Поскольку мы будем изучать температурные функции Грина (ФГ), во все выражения входит оператор временного упорядочения Т.
гПа1 а 2
Введем матрицу электронных ФГ систе-
мы во флуктуирующих полях:
(^2* - - < ТХГ1 ха20 е->;
/СО \ а1а2 /т^0 а1 + -К
(- -<ТХ1 С2а2е >;
/СО ча1а2 /г-т Т^а20
(^¡¿)12 - -< Тс1а1 Х1 е >;
(2.4)
('^¡¡)12 - - < Тс1с
с2а2е > •
Здесь все обозначения стандартные, так что угловые скобки означают усреднение по статистическому ансамблю системы, взаимодействующей с флуктуирующими полями, а именно
((Те~ ))
(2.5)
Здесь первый член описывает систему невзаимодействующих ¡-электронов, второй - локализованные ¿-состояния, а третий их гибридизацию.
Хаббардовские операторы Х0а (Ха0) являются ферми-подобными операторами уничтожения (рождения) ¿-состояния в условиях сильной корреляции (см. обзор [7]). В отсутствие корреляции они превращаются в обычные ферми-операторы для ¿-электронов. Таким образом, модель (2.1) является периодической моделью Андерсона, когда
Вариационные производные от выражения (2.2) по флуктуирующим полям у и м> порождают смешанные ФГ, так что уравнения движения для всех величин в (2.4) могут быть получены в форме уравнений с вариационными производными. Получив решения этих уравнений (приближенные), следует флуктуирующие поля положить равными нулю, тогда мы получим реальные ФГ, описывающие нашу модель. При выводе уравнений движения для каждой из ФГ (2.4) мы воспользуемся тождеством [3]
га
дТ ((TAi B2 e-V)) -
(2.6)
= (([A,, B2]±e-V)) + ((AiB2e-V)) - (([A,, V] _B2eV)),
справедливым для любых двух операторов A и B, определяющих какую-нибудь одночастичную ФГ. Для ферми-подобных операторов следует брать антикоммутатор в первом члене из правой части, а для бозе-подобных операторов - коммутатор.
Заметим также, что Ai = -[Aj, H] - временная производная от оператора A1.
[(Gov) 11' - (Fi Ф)АП. - Fi An, ](] 12 =
aUIUI
= (F i Ф)812;
(3.9)
[(GoV)ii' - (Fi ф)ац, - Fi Ai 1' ](]гт =
(3.10)
= (Fiiai ф) V*i'( gov )ii2;
i a,a1 a a' л a1a, .
[(g0V)ii' - Vi2'(GoV) 13'1 (F31 iф) V*i'-- Vii'(Gov)F31 aiV*i'](%d)(3.11)
3. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Используя определения (2.4)-(2.6), нетрудно получить систему уравнений для матричных элементов ФГ
(GOV)ii' (%d)i'12= [Fi Ф]8ц +
л a,a, . _ a,a да,a, a,a->
+ [ Fi1 Ф] V *i'( %d) r1i1+ V *i'[ Fi1 i( %d) i'l2 ];
(g-V )i1 ■( %*) if = V ii'( ^dd)1f;
( G0V)11' (^ds)l,1 -
(3.1)
(3.2)
(3.3)
-[ FiФ] V *1'( ^ss) V *1'[ Fi (^XT ];
-1 a1a1
( G0 V ) 11
-1 a1a1 ( gov )11
д oW "1
№ + £d - Vi)8aia1+ V1
811; (3.5)
dT- 811 + ri1 l8a1a1 + W1
+ w, 8
11
, (3.6)
и стандартные комбинации из вариационных производных
Faia1 - -I 8a
+
1R o _ a1a1
8v 1 8 v 11 1
(3.7)
Z[ V] - e
®[V ]
(3.8)
a a, ^ a, a1
- V11'(Gov),1!(F1 Ф);
[(g-V)i1' 1 - V11 ,(Gov)131 (^3^'Ф) V*i, -
a,a1, ia1ai
„ a,a^a1a,
(3.12)
- Vu'(Gov)i^.1 F31 'У?т](^'Г - 8ц8^
В уравнениях (3.9) - (3.12) для краткости обозначено
А11 - Vц,(gov)г1' V 1'1.
(3.13)
(goV)i1'1 (%s)ii1- 8118a,a1+ Vii'(^ds)!!1. (3.4)
Здесь введены ФГ нулевого порядка для d- и s-элек-тронов
В левой части каждого из уравнений (3.9)-(3.12)
стоят вариационные производные Р1, действующие непосредственно на ФГ; коэффициент при них квадратичен по матрично
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.