научная статья по теме ФИГУРЫ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ РЕОНОМНОГО СТЕРЖНЯ Механика

Текст научной статьи на тему «ФИГУРЫ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ РЕОНОМНОГО СТЕРЖНЯ»

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <5 • 2008

УДК 539.374

© 2008 г. К.И. РОМАНОВ ФИГУРЫ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ РЕОНОМНОГО СТЕРЖНЯ

Случай вращающейся массы жидкости относится к классическим разделам механики [1]. В частности, решение задач ползучести вращающейся массы является актуальным в геофизике в связи с моделированием сил земного тяготения в лабораторных условиях на вращающихся образцах [2]. Частный случай действия потенциального поля на реономный стержень рассмотрен в [3], где показано, что основной задачей о фигурах стержня является определение связи лагранжевых и эйлеровых координат в процессе ползучести.

Ниже показано, как эта задача может быть решена в случае вращающегося стержня.

1. Постановка задачи. Рассмотрим растяжение стержня в общем случае переменного поперечного сечения под действием гироскопических сил (фиг. 1) q = pForz, где р -плотность материала, F - площадь поперечного сечения, o - постоянная угловая скорость, z - эйлерова координата.

Положим, что напряженное состояние является одноосным: все компоненты эйлерова тензора напряжений равны нулю за исключением

о = о z = N/F (1.1)

где N - нормальная сила.

Уравнение состояния материала, предполагаемого несжимаемым, примем в виде

£ = ко" (1.2)

где £ - скорость осевой деформации; к и n - постоянные материала при данной температуре.

Уравнение равновесия отсеченной части стержня (фиг. 1) имеет вид

z l

N + Jqdz - X =0, X = Jqdz = 2pFo212 0 0 где X - реакция в верхней опоре, l - длина стержня в текущий момент времени. Следовательно, N = pFo2(l2 - z )/2 и по формуле (1.1) получим

о = po2 (l2- z2)/2

Уравнение состояния (1.2) приводит к скорости осевой деформации в любой момент времени

£ = к (po2/2)" (l2- z2)" (1.3)

В соответствии с кинематическими зависимостями [4]:

£ = dv/dz (1.4)

где и - скорость осевого перемещения.

Г

X

1/2pFro2l

N

/

pFa?l Фиг. 1

(V) 1/2рю212

///// /_

© k(1/2pra2)"l2n U

7

1/3£рю2/3

Фиг. 2

Уравнения (1.3) и (1.4) дают возможность получить дифференциальное уравнение

ди/дг = к (рю2/2)"( I2-12) Интеграл этого уравнения в текущий момент времени с учетом граничного условия и = 0 при г = 0 имеет вид

v = k(рю2/2)"l2nI(г, n)

4

I(г, n) = J[

.-if

' г

dz = l J

2 n + 1 ,

cos a da,

l = sin a

На фиг. 2 показаны эпюры о и £ по длине стержня в текущий момент времени t. Здесь же дано распределение v по длине стержня при n = 1.

Для определения эйлеровой координаты материальной точки служит дифференциальное уравнение

dz/dt = k(pra2/2)YnI(z, n) (1.5)

с начальным условием z = z0 при t = 0, где z0 - лагранжева координата.

Зависимость длины стержня от времени может быть установлена с помощью уравнения (1.5) при z = l:

dl/dt

k(pra2/2)nl2nI(l, n)

(1.6)

с начальным условием I = 10 при t = 0. Уравнение (1.5) представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами, определяемыми, в свою очередь, решением уравнения (1.6).

q

q

a

0

0

2. Линейно-вязкий материал. При п = 1 уравнение (1.5) представляет собой уравнение Бернулли [5].

При п = 1 уравнение (5) представляет собой уравнение Бернулли [5]. В этом случае

/(z, 1) = J[

Тогда

i-i4

dz = z - -

pl2

dz -2 (

где в соответствии с уравнением (1.6) dl/dt = 1/3kpra2l3. Интеграл этого уравнения может быть представлен в виде

l = l о/[ 1 - 3 kpo2120 tj

2 2

Условие I ^ ^ определяет время разрушения по схеме Хоффа t* = 3/(2крю210). Следовательно

dz

dt -z3)

4í*lo

.-1/2

l/lo = (1-1/t* )"

Точное решение уравнения (2.1) имеет вид

zol 1--

-3/4

1+

1

Ч1-1/t*)

1/2

-1

1/2

или в обращенной форме

3/4

z| 1--1 \ 1-^[ 1-Л

3/2

^ /

1

(1-1 / t*)

1/2

-1

1/2

(2.1)

(2.2)

(2.3)

Например, при t = ^/2 и Zo = ¿о решение (2.2) дает z = I = 72 10 и, наоборот, по соотношению (2.3) при t = ^/2 и z = 72¿0 получим z0 = /0.

Вопрос о фигуре стержня может быть решен с помощью условия несжимаемости материала. Предположим, что поперечное сечение стержня - круглое. Тогда на наружном радиусе г = Я с учетом равенства (1.3) имеем дифференциальное уравнение [3]

dR Я,, 2,„ Лп, ,2 2Ч п

- = -Як(рш /2) (/- z)

интеграл которого имеет вид

ln

R_ R _

= -k (po2/2)"J( l2- z2 )"dT

(2.4)

где Я0 = Я при t = 0 - функция лагранжевой координаты z0, зависимость ¿(т) определяется уравнением (1.6).

3

z

0

0

2(l/2)3/8R0

_L

Из уравнения (2.4), в частности, следует, что в верхнем сечении, т.е. при г = г0 = 0:

ln-

k, 72П J

= -2(рЮ /2) J l dT

R

а в нижнем сечении, где z = l, имеет место равенство R0 ■■ любой момент времени.

При n = 1 и ю = const точное решение (2.2) уравнения Бер-нулли совместно с уравнением (2.4) приводит к формуле

Rп

г- 2 > (

\_lo L*J

^-,3/4 z0

i-n-2 i l0

которая показывает, что радиус поперечного сечения в текущий момент времени линейно зависит от лагранжевой координаты данного сечения.

В верхнем сечении, где г0 = 0:

R / Ro = (1-1 / U)

3/8

2R В момент вязкого разрушения t = i* радиус верхнего сечения

уменьшается до нуля.

На фиг. 3 в качестве примера изображена фигура стержня Фиг. 3 начально постоянного поперечного сечения в момент времени

t = t*/2 для n = l. В случае R0 = const форма образующей боковой поверхности стержня не сильно отличается от прямолинейной. Поэтому на фиг. 3 образующая боковой поверхности схематизирована прямой. При построении фигуры стержня предполагается, что верхнее сечение закреплено шар-нирно.

3. Нелинейно-вязкий материал. В общем случае решение уравнения (1.5) может быть получено методом последовательных приближений в варианте, разработанном в [3].

Например, при n = 2 соотношения (1.3) и (1.4) принимают вид

\ = k (рю2/2)2 (l4-2l2 Z + z4)

du/dz = k (рю2/2)2( l4 - 212 z2 + z4) В текущий момент времени с учетом граничного условия u = 0 при z = 0:

u = k(рю2/2)2(l4z -2l2z3/3 + z5/5)

Для определения эйлеровой координаты материальной точки служит дифференциальное уравнение

dz/dt = К(рю2/2)2 (l4 z -2/3lV + 1/5 z5)

Зависимость длины стержня от времени определяется координатой z = l:

dl/dt = 8/15k (pra2/2)2l5 Интеграл этого уравнения с учетом начального условия l = l0 при t = 0 имеет вид

4 4 2 2 4-1

l = l0[ 1-32/15k(рю2/2) l0t]

0

Время разрушения по схеме Хоффа равно 15

t* —

32k (рю2/2)210

Тогда

l / ¡0 — (1-1 /t*) 15

-1/4

dz dt

32t*¡0

,4 2,2 3 1 5

¡z-3lz + 5Z

(3.1)

(3.2)

В первом приближении примем dz1/dг = 8/15 к (рю2/2)2/4г = /\/(4 г* /0)

Заменим реальный профиль скоростей в текущий момент времени линейным. В первом приближении г! = г0(1 - г/г*)-1/4. Во втором приближении ^(г) подставляется в правую часть (3.2) и решается дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

dz-dt

15

32t*¡0

/ \

1-1

*

5/4

[ ¡0Zo-

2 2 3

3 o + 5

15

z0

Интеграл этого уравнения с учетом начального условия г2 = г0 при г = 0 может быть представлен в форме

z2

Zo + -

-1---5---

8I4

4z

0z0

2 2 3 1 5

- 3 ¡o Zo

+ 5- Zo

- / \ -1/4

1-1 -1

1 t*J

В случае г0 = 10 и г2 = I полученная зависимость второго приближения так же, как и решение первого приближения при г1 = I, совпадают с точным решением (3.1). Распределение координат по длине стержня в текущий момент времени во втором приближении отличается от точного распределения. Расчеты показывают [3], что второе приближение может обеспечить приемлемую точность распределения координат с учетом допущений, положенных в основу рассмотренного приближенного решения.

Заметим, что решение задач формоизменения вращающихся масс приводит к теории раздела обработки металлов давлением (ОМД), который можно классифицировать как обработку металлов вращением (ОМВ), с целью исследования которой могут быть применены численные методы, в частности, метод конечных элементов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Пуанкаре А. Фигуры равновесия жидкой массы. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". 2000. 208 с.

2. Рамберг X. Сила тяжести и деформации в земной коре. М.: Недра, 1985. 399 с.

3. Романов К.И. Фигуры реономного стержня в поле сил тяжести // Изв. РАН. МТТ. 2005. < 2. С. 136-144.

4. Работное Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. 752 с.

5. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Изд-во иностр. лит., 1950. 328 с.

6. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: Едиториал УРСС, 2003. 215 с.

Москва

Поступила в редакцию 21.06.2005

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком