МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <5 • 2008
УДК 539.374
© 2008 г. К.И. РОМАНОВ ФИГУРЫ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ РЕОНОМНОГО СТЕРЖНЯ
Случай вращающейся массы жидкости относится к классическим разделам механики [1]. В частности, решение задач ползучести вращающейся массы является актуальным в геофизике в связи с моделированием сил земного тяготения в лабораторных условиях на вращающихся образцах [2]. Частный случай действия потенциального поля на реономный стержень рассмотрен в [3], где показано, что основной задачей о фигурах стержня является определение связи лагранжевых и эйлеровых координат в процессе ползучести.
Ниже показано, как эта задача может быть решена в случае вращающегося стержня.
1. Постановка задачи. Рассмотрим растяжение стержня в общем случае переменного поперечного сечения под действием гироскопических сил (фиг. 1) q = pForz, где р -плотность материала, F - площадь поперечного сечения, o - постоянная угловая скорость, z - эйлерова координата.
Положим, что напряженное состояние является одноосным: все компоненты эйлерова тензора напряжений равны нулю за исключением
о = о z = N/F (1.1)
где N - нормальная сила.
Уравнение состояния материала, предполагаемого несжимаемым, примем в виде
£ = ко" (1.2)
где £ - скорость осевой деформации; к и n - постоянные материала при данной температуре.
Уравнение равновесия отсеченной части стержня (фиг. 1) имеет вид
z l
N + Jqdz - X =0, X = Jqdz = 2pFo212 0 0 где X - реакция в верхней опоре, l - длина стержня в текущий момент времени. Следовательно, N = pFo2(l2 - z )/2 и по формуле (1.1) получим
о = po2 (l2- z2)/2
Уравнение состояния (1.2) приводит к скорости осевой деформации в любой момент времени
£ = к (po2/2)" (l2- z2)" (1.3)
В соответствии с кинематическими зависимостями [4]:
£ = dv/dz (1.4)
где и - скорость осевого перемещения.
Г
X
1/2pFro2l
N
/
pFa?l Фиг. 1
(V) 1/2рю212
///// /_
© k(1/2pra2)"l2n U
7
1/3£рю2/3
Фиг. 2
Уравнения (1.3) и (1.4) дают возможность получить дифференциальное уравнение
ди/дг = к (рю2/2)"( I2-12) Интеграл этого уравнения в текущий момент времени с учетом граничного условия и = 0 при г = 0 имеет вид
v = k(рю2/2)"l2nI(г, n)
4
I(г, n) = J[
.-if
' г
dz = l J
2 n + 1 ,
cos a da,
l = sin a
На фиг. 2 показаны эпюры о и £ по длине стержня в текущий момент времени t. Здесь же дано распределение v по длине стержня при n = 1.
Для определения эйлеровой координаты материальной точки служит дифференциальное уравнение
dz/dt = k(pra2/2)YnI(z, n) (1.5)
с начальным условием z = z0 при t = 0, где z0 - лагранжева координата.
Зависимость длины стержня от времени может быть установлена с помощью уравнения (1.5) при z = l:
dl/dt
k(pra2/2)nl2nI(l, n)
(1.6)
с начальным условием I = 10 при t = 0. Уравнение (1.5) представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами, определяемыми, в свою очередь, решением уравнения (1.6).
q
q
a
0
0
2. Линейно-вязкий материал. При п = 1 уравнение (1.5) представляет собой уравнение Бернулли [5].
При п = 1 уравнение (5) представляет собой уравнение Бернулли [5]. В этом случае
/(z, 1) = J[
Тогда
i-i4
dz = z - -
pl2
dz -2 (
где в соответствии с уравнением (1.6) dl/dt = 1/3kpra2l3. Интеграл этого уравнения может быть представлен в виде
l = l о/[ 1 - 3 kpo2120 tj
2 2
Условие I ^ ^ определяет время разрушения по схеме Хоффа t* = 3/(2крю210). Следовательно
dz
dt -z3)
4í*lo
.-1/2
l/lo = (1-1/t* )"
Точное решение уравнения (2.1) имеет вид
zol 1--
-3/4
1+
1
Ч1-1/t*)
1/2
-1
1/2
или в обращенной форме
3/4
z| 1--1 \ 1-^[ 1-Л
3/2
^ /
1
(1-1 / t*)
1/2
-1
1/2
(2.1)
(2.2)
(2.3)
Например, при t = ^/2 и Zo = ¿о решение (2.2) дает z = I = 72 10 и, наоборот, по соотношению (2.3) при t = ^/2 и z = 72¿0 получим z0 = /0.
Вопрос о фигуре стержня может быть решен с помощью условия несжимаемости материала. Предположим, что поперечное сечение стержня - круглое. Тогда на наружном радиусе г = Я с учетом равенства (1.3) имеем дифференциальное уравнение [3]
dR Я,, 2,„ Лп, ,2 2Ч п
- = -Як(рш /2) (/- z)
интеграл которого имеет вид
ln
R_ R _
= -k (po2/2)"J( l2- z2 )"dT
(2.4)
где Я0 = Я при t = 0 - функция лагранжевой координаты z0, зависимость ¿(т) определяется уравнением (1.6).
3
z
0
0
2(l/2)3/8R0
_L
Из уравнения (2.4), в частности, следует, что в верхнем сечении, т.е. при г = г0 = 0:
ln-
k, 72П J
= -2(рЮ /2) J l dT
R
а в нижнем сечении, где z = l, имеет место равенство R0 ■■ любой момент времени.
При n = 1 и ю = const точное решение (2.2) уравнения Бер-нулли совместно с уравнением (2.4) приводит к формуле
Rп
г- 2 > (
\_lo L*J
^-,3/4 z0
i-n-2 i l0
которая показывает, что радиус поперечного сечения в текущий момент времени линейно зависит от лагранжевой координаты данного сечения.
В верхнем сечении, где г0 = 0:
R / Ro = (1-1 / U)
3/8
2R В момент вязкого разрушения t = i* радиус верхнего сечения
уменьшается до нуля.
На фиг. 3 в качестве примера изображена фигура стержня Фиг. 3 начально постоянного поперечного сечения в момент времени
t = t*/2 для n = l. В случае R0 = const форма образующей боковой поверхности стержня не сильно отличается от прямолинейной. Поэтому на фиг. 3 образующая боковой поверхности схематизирована прямой. При построении фигуры стержня предполагается, что верхнее сечение закреплено шар-нирно.
3. Нелинейно-вязкий материал. В общем случае решение уравнения (1.5) может быть получено методом последовательных приближений в варианте, разработанном в [3].
Например, при n = 2 соотношения (1.3) и (1.4) принимают вид
\ = k (рю2/2)2 (l4-2l2 Z + z4)
du/dz = k (рю2/2)2( l4 - 212 z2 + z4) В текущий момент времени с учетом граничного условия u = 0 при z = 0:
u = k(рю2/2)2(l4z -2l2z3/3 + z5/5)
Для определения эйлеровой координаты материальной точки служит дифференциальное уравнение
dz/dt = К(рю2/2)2 (l4 z -2/3lV + 1/5 z5)
Зависимость длины стержня от времени определяется координатой z = l:
dl/dt = 8/15k (pra2/2)2l5 Интеграл этого уравнения с учетом начального условия l = l0 при t = 0 имеет вид
4 4 2 2 4-1
l = l0[ 1-32/15k(рю2/2) l0t]
0
Время разрушения по схеме Хоффа равно 15
t* —
32k (рю2/2)210
Тогда
l / ¡0 — (1-1 /t*) 15
-1/4
dz dt
32t*¡0
,4 2,2 3 1 5
¡z-3lz + 5Z
(3.1)
(3.2)
В первом приближении примем dz1/dг = 8/15 к (рю2/2)2/4г = /\/(4 г* /0)
Заменим реальный профиль скоростей в текущий момент времени линейным. В первом приближении г! = г0(1 - г/г*)-1/4. Во втором приближении ^(г) подставляется в правую часть (3.2) и решается дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
dz-dt
15
32t*¡0
/ \
1-1
*
5/4
[ ¡0Zo-
2 2 3
3 o + 5
15
z0
Интеграл этого уравнения с учетом начального условия г2 = г0 при г = 0 может быть представлен в форме
z2
Zo + -
-1---5---
8I4
4z
0z0
2 2 3 1 5
- 3 ¡o Zo
+ 5- Zo
- / \ -1/4
1-1 -1
1 t*J
В случае г0 = 10 и г2 = I полученная зависимость второго приближения так же, как и решение первого приближения при г1 = I, совпадают с точным решением (3.1). Распределение координат по длине стержня в текущий момент времени во втором приближении отличается от точного распределения. Расчеты показывают [3], что второе приближение может обеспечить приемлемую точность распределения координат с учетом допущений, положенных в основу рассмотренного приближенного решения.
Заметим, что решение задач формоизменения вращающихся масс приводит к теории раздела обработки металлов давлением (ОМД), который можно классифицировать как обработку металлов вращением (ОМВ), с целью исследования которой могут быть применены численные методы, в частности, метод конечных элементов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пуанкаре А. Фигуры равновесия жидкой массы. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". 2000. 208 с.
2. Рамберг X. Сила тяжести и деформации в земной коре. М.: Недра, 1985. 399 с.
3. Романов К.И. Фигуры реономного стержня в поле сил тяжести // Изв. РАН. МТТ. 2005. < 2. С. 136-144.
4. Работное Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. 752 с.
5. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Изд-во иностр. лит., 1950. 328 с.
6. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: Едиториал УРСС, 2003. 215 с.
Москва
Поступила в редакцию 21.06.2005
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.