ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2007, том 414, № 6, с. 732-735
= МАТЕМАТИКА
УДК 519.2
ФИЛЬТР КАЛМАНА И КВАНТОВАНИЕ
© 2007 г. А. И. Овсеевич
Представлено академиком Ф.Л. Черноусько 24.11.2006 г. Поступило 19.01.2007 г.
Цель этого сообщения - показать, что фильтрация диффузионных процессов очень тесно связана с классической и квантовой механикой. Мы ассоциируем с задачей линейной или нелинейной фильтрации классическую гамильтонову систему и показываем, что исходная задача фильтрации абсолютно аналогична задаче квантования этой гамильтоновой системы. В частности, возникает следующий словарь перевода с квантового на фильтрационный язык (табл. 1).
Таблица 1
Методы квантования Методы фильтрации
Уравнение Шредингера Интегралы Фейнмана Уравнения Гейзенберга Уравнение Закая Формула Гирсанова Фильтр Калмана-Бьюси
Излагаемый подход частично инспирирован работами [1, 2, 9].
где yt = ys - наблюденная траектория т ^ у(т) при т е [s, t], а - G-алгебра, порожденная случайными величинами у(т). Иными словами, ищется измеримый функционал п(У) = E(f (x)[yt), который обеспечивает минимальное среднеквадратичное отклонение от истинного значения
E(f (xt) - П(У ))2 ^ min.
Условное математическое ожидание - линейный и непрерывный (в метрике C) функционал от f со значениями в L2. Поэтому можно корректно определить условную плотность p(t, x) как обобщенную функцию уравнением
Jf(x)p(t, x)dx = E( f(x(t))|yt). (2)
Это некоторая вероятностная мера по x, измеримо зависящая от t и наблюденной траектории yt. Таким образом, задача фильтрации состоит в вычислении условной плотности.
1. ЗАДАЧА ФИЛЬТРАЦИИ
Пусть частично наблюдаемый диффузионный процесс (х, у) описывается системой стохастических дифференциальных уравнений
dx = a(x, t)dt + b(x, t)dw, x(s) = x0, dy = c(x, t)dt + dW, y(s) = 0,
(1)
2. КЛАССИЧЕСКАЯ ГАМИЛЬТОНОВА СИСТЕМА
С задачей фильтрации (1) связана задача оптимального управления
dx = a(x, t)dt + b(x, t)u
x (s) = x,
0
у е У = R™, х е X = Rи - наблюдаемая и ненаблюдаемая компоненты, ц>, Ж- независимые винеров-ские процессы, х0 - независимый от м, Ж случайный вектор.
Задача состоит в том, чтобы вычислить для любой функции / условное математическое ожидание
Е(Л xt)| ) = Е(/(х()|у ),
Институт проблем механики Российской Академии наук, Москва
I(u) = jj(j|ul2+ 2-1 c(x)|2jdt - <c(x), dy>J
.(3)
^ min,
ёу - дифференциал наблюденной траектории, а на управление и е R/ не наложено никаких ограничений, кроме сходимости интеграла || и|2ё,. Эта
задача детерминированная, хотя ее данные зависят от случайной наблюденной траектории.
Как будет видно из дальнейшего (см. (18)), смысл этой задачи состоит в том, чтобы найти наиболее вероятную траекторию, совместимую с наблюдением у.
Согласно принципу максимума, оптимальные траектории задачи (3) удовлетворяют гамильтоновой системе с гамильтонианом
H(х, p)dt = max< (p, u I
1 2
adt + budt) - 2|u| d
1 2 I 1 2
- 2\c\ dt + (c, dy) > = 2 Ь *p| dt + (p, adt) -
Определим множество П управлений и: [5, г] ^ Rи таких, что соответствующие траектории системы (3) соединяют точки х и у,
5, х; г, у) = { и: х(5) = х, х(г) = у}. (9)
"Явная" формула Фейнмана для ядра К имеет вид
12
— I c dt + < c, dy), где b* - транспонированная к b матрица.
(4)
^ = Жу,
7 Э t Y
(5)
h дк h aj„
"ТГ = -H| х, -j" к,
7 д s | 7 д xj
hдк „( hav 7a7 = H(y Tidy JK •
(8)
K(s, x; t, y) = J e
Q( s, x; t, y)
h-1 (u)
dk(u),
(10)
3. КВАНТОВАНИЕ: ОСНОВНЫЕ ПОДХОДЫ
Процедура квантования классической системы - это эвристический принцип, который позволяет определить по гамильтонову (как в (4)) или лагранжеву (как в (3)) описанию классической системы некоторую квантовую систему. Имеется несколько классических рецептов того, как это делать, которые мы вкратце обрисуем.
3.1. Картина Шредингера. Квантовый аналог классического вектора состояния - волновая функция у е £2^и), эволюция которой описывается уравнением Шредингера
I(u) - классическое действие для пути x(t), а dk -"мера Лебега" ,
dk(u) = П
1
те [ s, t ]
(2 п)
112
du (т) •
(11)
Формула Фейнмана (10) не имеет строгого математического смысла. Фильтрационный аналог (10) строгий и получается из теоремы Гирсанова.
3.3. Картина Гейзенберга. Квантовый аналог классических наблюдаемых величин - линейные самосопряженные операторы © = ©(г). Их эволюция описывается уравнением Гейзенберга
© = 7 [ Ж, © ] • h
(12)
где й - постоянная Планка, а оператор Гамильтона Ж формально получается из функции Гамильтона Н(х, р) подстановкой оператора умножения
на х и дифференцирования вместо х и р:
7 д х
Ж = Ор(Н) = Н(Ор(х), Ор(р)),
йЭш (6)
(Ор( х )у)( х) = ху( х), (Ор (р )у)( х) = т^-х (х).
Это описание процедуры квантования неоднозначное, поскольку операторы Ор(х) и Ор(р) не коммутируют. В задаче фильтрации эта неоднозначность соответствует неоднозначности выбора схемы стохастического интегрирования, например по Ито или по Стратоновичу [3, 4].
3.2. Картина Фейнмана. Рассмотрим ядро К(5, х; г, у) оператора эволюции
|К(5, х; г, у)у(5, х)ёх = у(г, у). (7)
Для него выполнено прямое и обратное уравнения:
Связь между картинами Шредингера и Гейзенберга состоит в том, что эволюция по Гейзенбер-гу (12) переводит аннулятор
Anny(s) = {©; ©у(s) = 0}
волновой функции в момент s в аннулятор Anny(t) волновой функции в момент t.
4. ФИЛЬТРАЦИЯ В СРАВНЕНИИ С КВАНТОВАНИЕМ
Одно из основных достижений в теории фильтрации принадлежит М. Закаю [7], который обнаружил, что разумнее изучать ненормированную условную плотность р(г, х), чем условную плотность р(г, х). Плотность р(г, х) определяется соотношением
Jf (х)р(t, х)dx
= E
f (х (t)) exp
1J |c|2da + J<c, dy)
(13)
где с = с(с, х(о)). Математическое ожидание Ех в (13) берется относительно ненаблюдаемой компоненты процесса (1), наблюденная траектория уг
734
ОВСЕЕВИЧ
считается параметром. Плотности р и р различаются только множителем, зависящим от времени:
р(г, х) = р(г, х)
|р( г, У) ёу
-1
(14)
1 = »(х-1
(15)
ин-
4.2. Картина Фейнмана-Гирсанова. Аналог ядра квантовой эволюции (7) - плотность р(я, х; г, у), которая удовлетворяет формальным уравнениям Закая
Формулу (14) естественно назвать формулой Еир-санова [3], поскольку она немедленно получается из теоремы Еирсанова о связи между мерами, отвечающими процессам у и Ж. Важнейшая функция р(я, х; г, у) соответствует ситуации, когда начальный вектор х0 - детерминированный вектор х. Это вероятностный аналог ядра К(я, х; г, у).
4.1. Картина Шредингера-Закая. Фильтрационным аналогом уравнения Шредингера служит уравнение Закая
I = н (4
(17)
:Р •
Эти уравнения понимаются в смысле Стратоно-вича. Если нет наблюдений, то уравнения Закая представляют собой прямое и обратное уравнения Колмогорова. Аналог интегральной формулы Фейнмана (10) имеет вид
р(я, х; г,у) = |
-I (и)
ёк( и),
(18)
я, х; г, у)
где Н(х,р) - гамильтониан (4). Это описание неоднозначно, как и в (5), однако после фиксации метода стохастического интегрирования в основном уравнении (1) возникает рецепт точной интерпретации Ор(Н). Именно, гамильтониан, подлежащий квантованию, имеет вид
Н(х, р)ёг = (1|Ь *р\ 2+ <а, р) — 2| с|2(х+ + <с(х), ёу) •
Квантовый оператор ОрНёг определяется как сумма Жё + ОрНхёг, где Ж0 = Ор(2 |Ь*р|2 + <а,р)^ -финитезимальный оператор процесса х(г), Н^ёг = = -2- |с|2(х)ёг + <с(х), ёу) и соответствующий оператор есть естественный оператор умножения.
Хотя операторная дифференциальная форма
где интегрирование ведется по всем программным управлениям и = и(г) из (3), таким, что соответствующая траектория т ^ х(т) соединяет х и у, функционал 1(и) определен в (3) и мера ёк определена в (11). Математически строгая интерпретация (18) дается уравнением (13).
4.3. Уравнения Гейзенберга-Калмана. Рассмотрим задачу линейной фильтрации
ёх = Ахёг + Ейм!, х (я) = х0, ёу = Схёг + ёЖ, у (я) = 0,
(19)
Н (-, j ёг формально определена, еще нужно выбрать интерпретацию уравнения (15) как стохастического дифференциального уравнения: присутствие члена <с, ёу)р требует выбора правильной схемы стохастического интегрирования. Основной результат [7] состоит в том, что условное распределение р удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению Стратоновича в частных производных
ёр(г, х) = (Ж* — 1 |с(х)|2^р(г, х)ёг +
+ р(г, х)<с(х), ёу). (16)
Формально (16) совпадает с (15).
w, Ж - независимые винеровские процессы, начальный вектор х(0) имеет гауссовское распределение
р(х) = (пЯ)-1/2ехр(—1 <Я1 (х — т), х — т>|(20)
Соответствующий гамильтониан
Н(х, р) ёг =
= (2|В *р|2 + < Ах, р) — 1 Сх\2)ёг + < Сх, ёу)
квадратичен по х, р, оператор Ж = Ор(Н) определен однозначно, выбор схемы стохастического интегрирования в (19) не играет роли.
Для линейных функций/(х, р) = <р, + <х, п) + к операторы
Ор/ = ©&ц,к) = (Ч + <П, х) + к (21)
образуют алгебру Ли - алгебру Еейзенберга размерности 2п + 1
5 = {©^,П,к): Яп, ке Я}, (22)
Я
е
причем оператор Гамильтона Ж = Ор(Н) и сопряженный Ж* = Ор(Н)* нормализуют эту алгебру в том смысле, что [Ж, с ^ и аналогично [Ж*, с
Уравнение Гейзенберга-Закая © = [Ж*, ©] поэтому определяет поток автоморфизмов Фг: ©(^, П, к) ^ алгебры Ли который, как по-
казывают прямолинейные вычисления, задается дифференциальными уравнениями
V nty
A BB*
C*C -A* ,
dXt = -<t C*dy).
v nty
(23)
R = AR + RA* + BB* - RC*CR, dm = (A - RC* C)mdt + RC*dy.
(26)
X = AX + Bu, X( s) = x, X( t) = y,
t
I(s) = ul2 + 1-lCX dt - < CX, dy) ^ min.
(27)
Функция Беллмана (функционал действия) этой задачи определяется как
S(s, x; t, y) = min I(u). (28)
u e L2([s, t])
Если пара матриц (A, C) задает вполне наблюдаемую, а (A, B) - вполне управляемую систему, то ядро фильтрации (17) p(s, x; t, y) - гладкая функция при (s, x) ф (t, y) вида
p( s'x; t'y) = det (
i д2 e \-1/2
i о ° \ e-S(s>x;t> y) (29)
4.6. Формула Мелера. Из формулы (29) вытекает, например, формула Мелера для фундаментального решения 0(х, г) с полюсом в 0 оператора
Э2 , 1,
- у Л. + 1| Cx\2 + ^-. 2УЭх2 2 д
Она имеет вид
G(x, t) = detl
M
-11
2п sh (Mt))
exp i -2{mr)x'x
4.4. Фильтр Калмана. Аннулятор ©0 = Annp^) начального
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.