М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 5 • 2014
УДК 532.546
ФИЛЬТРАЦИОННАЯ КОНСОЛИДАЦИЯ УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА ПОД ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ НАГРУЗКОЙ
© 2014 г. А. В. КОСТЕРИН, Э. В. СКВОРЦОВ
Казанский федеральный университет, Казань e-mail: eduard.scvortsov@rambler.ru
Поступила в редакцию 16.09.2013 г.
Исследуется процесс фильтрационной консолидации упругого насыщенного полупространства под действием нормальной нагрузки на его поверхность при предположениях о несжимаемости жидкости и зерен скелета, а также независимости суммарных напряжений скелета от времени. При нагружении полупространства сосредоточенной силой найдены аналитические представления для давления жидкости и осадки поверхности полупространства. Найдена также максимальная осадка при равномерном нагружении поверхности по площади круга.
Ключевые слова: консолидация, упругое полупространство, нагрузка, давление, осадка.
Становление и развитие теории фильтрационной консолидации связано с работами [1—4] и других. Общая математическая модель консолидации и аналитические методы ее исследования были предложены М. Био [5, 6], оригинальный метод решения задач консолидации принадлежит Мак Нами и Гибсону [7]. Тестовые двумерные задачи консолидации были рассмотрены в работах [7—9]. Осадка поверхности упругого насыщенного полупространства, деформированного осесимметричной нагрузкой, на основании модели М. Био исследована В.З. Партоном при условии, что коэффициент Пуассона v равен нулю [10]. Анализ уравнений, описывающих процесс консолидации, и их решений проведен в [11].
В данной работе величина v произвольна. Сжимаемостью жидкости и зерен скелета полупространства пренебрегается и полагается, что объемные деформации скелета связаны с переупаковкой зерен. При постановке задачи используется гипотеза Терца-ги, согласно которой суммарные напряжения не зависят от времени [1]. В рамках этих предположений при определенном типе приложения нагрузки определяются давление и осадка поверхности полупространства при его нагружении нормальной сосредоточенной силой, а также осадка центра круга в случае равномерно распределенной по кругу нормальной нагрузки. При этом в случае v = 0 полученные формулы для осадки совпадают с точными решениями задачи, соответствующими модели М. Био [10].
1. Основные соотношения. Рассматривается процесс фильтрационной консолидации насыщенного жидкостью упругого полупространства под действием мгновенно приложенной вертикальной нагрузки на часть его поверхности. Пусть xt, i = 1 + 3 — декартовы координаты точки полупространства x3 > 0, t — время, оц, О22, °33 — компоненты суммарных напряжений, p = p(xh x2, x3, t) — давление жидкости. Суммарные напряжения в скелете полупространства представляются соотношением
Gy =a{j - pSij (Ь1)
где ay — эффективные напряжения [1, 11], 5y — символ Кронекера.
Считается, что сжимаемостью зерен скелета и жидкости можно пренебречь и что объемные деформации скелета связаны с переупаковкой зерен.
Математическая модель консолидации включает в себя суммарное уравнение движения фаз, уравнения неразрывности (баланса масс), закон фильтрации, реологическое соотношение для пористого скелета, граничные и начальные условия.
В результате выделения из суммарного уравнения движения фаз [12] его статической компоненты и учета того, что в процессе консолидации пористость среды изменяется незначительно, это уравнение принимает вид
= 0 (1.2)
dxj dxj
до. dp
Условие неразрывности процесса консолидации выглядит следующим образом [12]:
divq = 0 (1.3)
dt У ;
где q = m(v - du/dt) — скорость фильтрации, 9 = divu — объемная деформация скелета, v и du/dt — среднефазовые макроскорости жидкой и твердой фазы соответственно, u — смещения скелета.
Закон фильтрации полагается линейным
q = -k Vp (1.4)
Ц о
где k = const — проницаемость скелета, ц 0 — вязкость жидкости.
Реологическое соотношение для пористого скелета связано только с эффективными напряжениями (закон упругости) [13]
с(- = XQ8ij + 2цЕу (1.5)
где
£у = (1/2) (дщ /dxj + dUj / dxi)
есть тензор макродеформаций, А, ^ — коэффициенты Ламе упругой пористой матрицы. Модель (1.2)—(1.5) замкнута.
В момент времени t = 0 при мгновенном приложении к границе полупространства вертикальной нагрузки Щ^, л^) эффективные напряжения равны нулю, скелет абсолютно несжимаем, и вся нагрузка воспринимается жидкостью [2, 4]
P0(xi, x2,0, 0) = n(xi, x2) (1.6)
При t = 0 фильтрационная консолидация не развита, и объемные деформации скелета сохраняются [12]
9(xi, 0) = 0 (1.7)
С учетом условия (1.7) уравнения начального импульса принимают вид
М = 0 af. = 2це.. d-UL = 0
Я Я ' J J я
ox. dxi dxi
Отсюда вытекает связь смещений скелета и давления жидкости [14]
^Au - Vp0 = 0
Взятие оператора дивергенции от этого уравнения с учетом несжимаемости скелета дает
Ар, = 0
Таким образом, давление в полупространстве в момент времени ? = 0 описывается решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
Поскольку при ? = 0 сумма эффективных напряжений равна нулю, из формулы (1.1) следует, что давление выражается через суммарные напряжения
р(хь Х2, Х3, 0) = Ро(*1, X2, Хз) = -1(011 + О22 + О33) (1.8)
Пусть теперь ( > 0. Из соотношений (1.3)—(1.5) вытекает, что
д6= ± Ар дг ц о
д(Рп + ^22 + Р;3з) = (3Х + 2ц)к Ар (19)
дг цо
Далее принимается гипотеза Терцаги, по которой тензор суммарных напряжений не зависит от времени [1]. Согласно ей и формуле (1.1)
^-15» =0 <"0)
Из соотношений (1.9), (1.10) вытекает следующее уравнение:
др = к • Ар (1.11)
дг
где к = (3Х + 2ц) к/(3ц 0). Итак, использование гипотезы Терцаги приводит к определению давления, в процессе консолидации подчиняющегося уравнению теплопроводности.
Приложение нагрузки на границе х3 = 0 принимается по типу "высокопроницаемый поршень" [13]
р(х1, х2,0, г) = 0 (1.12)
Таким образом, давление подчиняется уравнению (1.11) в полупространстве х3 > 0 при граничном условии (1.12) и начальном условии (1.8). Представление давления в виде
р(Х1, Х2, Х3, г) = Р0(Х1, Х2, Х3) - Р1(Х1, Х2, Х3, г) (1.13)
с учетом формулы (1.6) сводит задачу к определению функции р1 = р1(Х1, х2, х3, г). Она удовлетворяет уравнению
др- = к • Ар1 (1.14)
дг у ;
с граничным и начальным условиями
р(Х1, Х2,0, г) = П(Х1, Х2), Р1(Х1, Х2, Х3,0) = 0 (1.15)
Помимо определения давления представляет интерес нахождение осадки упругого полупространства в процессе его консолидации. Далее удобнее перейти к обозначениям = X, Х2 = У ,х3 = г, О11 = СXX, о22 = Оуу, С33 = О^.
Напряжения связаны с деформациями согласно закону Гука [15], а при консолидации соответствующую деформацию порождают эффективные напряжения, так что
ди
~дг Е
г = (г Хх + 0Уу)]
(1.16)
Здесь иг = иг (х, у, г, г) — нормальное смещение полупространства, E — модуль Юнга. Пусть функция Г = Т(х, у, г) такова, что
ТГ = 1 гг -У(°хх + °уу)] дг Е
Из равенств (1.1) и (1.16) следует, что
диг = д£ + 1 - 2v р
дг дг Е
С течением времени давление жидкости рассеивается
Нш р(х, у, г, г) = 0
г
Поэтому
дТ = д [иг (х, у, г,«)]
дг дг
Формула (1.17) приобретает вид
V [иг(х, у, г, г) - иг (х, у, г, <»)] =р(х, у, г, г) дг Е
(1.17)
(1.18)
Пусть и,(г) = иг(х, у, г, г) - иг (х, у, г, 0) — осадка полупространства при его консолидации. Так как и,(х, у, да, г) = 0, из соотношения (1.18) вытекает, что
и, (х, у, 0, г) = |[[(х, у,0) - р(х, у,г)] й£,
(1.19)
2. Сосредоточенная нормальная нагрузка. Пусть на полупространство в точке х = у = г = 0 действует нормальная сосредоточенная сила П0.
Суммарные напряжения ахх, оуу, агг при таком нагружении известны [15]
О хх = -
П 11 - 2v
2п | г П 0 |1 - 2v
2 2
К "
Р) Г
1 _ г I х - у + гу_
1 2 3
Оуу 2п 1 г2
а =- 3Па г!
и гг 5
\ 2 2 2' 1 - г I у - х + гх.
1 Р I 2 3 Р) г Р
3гх
' 5 Р
3гу
" 5 Р
2п
(2.1) (2.2) (2.3)
2 2 2 2 2 2 где г = х + у , р = г + г .
30
Согласно формулам (1.8), (2.1)—(2.3)
П сг
р(х, у, г, С + С) = рс(х, у, г) = ■
2пр
(2.4)
Для определения давления требуется решить уравнение (1.14) с начальным и граничным условиями (1.15), последнее из которых в данном случае таково
д(х, у, С, г) = П с8(х)8(у)
где 5 — символ дельта-функции.
Решение этой задачи в полупространстве г > С имеет вид [16]
А(х, у, г, г) = Пск|| 15©5(п) Здесь
С -да -а
д о(х, у, г, С, п, Ъ, г -т)
йпй ^й т
(2.5)
с=с
0(х, у, г, д, п, г) = ■
1
х ехр
8(пкг)
(у-п)2 +(х 4кг
3/2
ехр
( I г\2\
(г -О 4кг
■ ехр
' (£+)24 4кг
Правая часть формулы (2.5) сводится к однократному интегралу
Л(х, у, г, г) =
П Сг
8(пк)
3/2
1 (г -тУ
5/2
ехр
2
С
4к(г - т)
й т
Его значение известно [17], и функция р1 определяется выражением
4кг,
Р1(х, у, г, г) = "ог 2пр
егй—^^тН--ехр I ——
2(кг)1/2 (пкг)1/2
Окончательно решение исходной задачи нахождения давления с учетом формул (1.13), (2.4) приобретает вид
р(х, у, г, г) =
2пр
ег1
2(кг )1/2 (пкг )1/2
ехр
( 2 V
-Р- I
4кг I
(2.6)
Выражение (2.6) может быть записано в иной форме р(х, у, г, г) = --
Пс й
2п йг
1 егГ ——
Р 2( кг)1/2
Это позволяет вычислить следующий интеграл
ж
[р(х, у,
г 2пр 2(кг)1/2
Таким образом, согласно формуле (1.19) осадка поверхности полупространства описывается выражением
и(г, г) =
(1 - 2 V) Пс 2пЕг
ег1Ъ-
2(кг)
1/2
(2.7)
При V = С эта формула совпадает с результатом, полученным в работе [10].
г
г
3. Нормальная нагрузка, распределенная по кругу. Пусть нагрузка П0 распределена равномерно по кругу радиуса г = а. Используя представление (2.7), по принципу суперпозиции можно найти осадку поверхности полупространства в точке г = 0
щ (0, г) =
а
/ (г) = ]" р
0
(1 - 2V)П 0 2пЕ
/ (г)
2п 2п
1 т- 1 Р
2( кг)
1/2'
.0 ' 0
Введем безразмерные величины
\ 1/2
й р
2( кг )1
ич =
иЕ
а " П 0а
Тогда после вычисления интеграла искомая осадка описывается выражением и5 (0, Т) = (1 - 2у)/(Т)
1
/ (Т) = + -т/2
1 - ехр
При V = 0 эта формула также совпадает с результатом, полученным в работе [10]. Зависимость / = / (Т) изображена на фигуре.
Зависимость нормированной осадки поверхности полупространства (/) в точке г = 0 от автомодельной переменной Т.
Заключение. Показано, что в условиях гипотезы К. Терцаги и пренебре
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.