МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 4 • 2014
УДК 532.546:519.6
© 2014 г. А. В. ТРОФИМОВА, В. Г. ЦИБУЛИН
ФИЛЬТРАЦИОННАЯ КОНВЕКЦИЯ В КОЛЬЦЕВОЙ ОБЛАСТИ И ОТВЕТВЛЕНИЕ СЕМЕЙСТВА СТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ
Рассматривается плоская задача конвекции несжимаемой жидкости, насыщающей пористую кольцевую область. На основе модели Дарси и конечно-разностного метода, сохраняющего ко-симметрию исходной задачи, исследуется ответвление семейства стационарных режимов от механического равновесия. Изучена эволюция конвективных движений с ростом числа Рэлея и проанализировано возникновение неустойчивости на семействе стационарных режимов. Для узких кольцевых областей обнаружен косимметричный эффект затягивания ответвления вторичного автоколебательного режима от семейства, а для колец умеренной толщины и секторов характерна монотонная неустойчивость.
Ключевые слова: фильтрационная конвекция, кольцевая область, семейство стационарных режимов, косимметрия.
Конвекция жидкости в пористых средах обладает рядом особенностей, отличающих ее от задачи свободной конвекции [1, 2]. Для плоской задачи фильтрационной конвекции Дарси открытое Д.В. Любимовым ответвление семейства стационарных решений [3] было подтверждено в натурном эксперименте в [4, 5]. Данная нетривиальная бифуркация ответвления семейства стационарных режимов от состояния механического равновесия была объяснена В.И. Юдовичем на основе теории косиммет-рии [6]. Наличие нетривиальной косимметрии говорит о недоопределенности системы и выявляет существование скрытого параметра, вследствие чего становится возможным возникновение семейства стационарных режимов. Существенное отличие косимметричных динамических систем от задач с непрерывной группой симметрии заключается в изменчивости спектра устойчивости равновесий на семействе [7—9]. Как следствие, становится возможной неодновременная потеря устойчивости режимами из семейства. Анализ косимметричных семейств стационарных режимов фильтрационной конвекции при больших надкритичностях возможен только с помощью численных методов. Исследования однопараметрических семейств стационарных режимов плоской задачи Дарси для прямоугольников выполнены в [10, 11] на основе метода Галеркина, в [12] — методом сеток, в [13, 14] — спектрально-разностным методом.
Фильтрационная конвекция в круговых и кольцевых областях изучена в меньшей мере [2, 15—19]. В [15] установлено существование одно- и многовихревых режимов конвекции в кольцевых цилиндрических областях, исследованы условия перехода к колебательным и нестационарным режимам течения. В пористых горизонтальных цилиндрических слоях при малых надкритичностях формируются симметричные конвективные структуры [16], а с ростом числа Рэлея происходит бифуркация потери симметрии и появляются устойчивые асимметричные движения [17]. В [16, 17] рассматривались изотермические условия на внешней и внутренней границах кольцевых областей, причем нагрев задавался с внешней границы, а в [15] изучалась трехмерная задача с нагревом изнутри.
Фиг. 1. Кольцевой сектор
В данной работе исследуются режимы фильтрационной конвекции для кольцевых областей с линейным распределением температуры по высоте. В этом случае воспроизводятся условия, выполнение которых приводит к ответвлению семейства стационарных конвективных режимов при условиях, описанных в работах [3, 6]. На основе метода конечных разностей [18, 19], сохраняющего косимметрию уравнений Дарси в полярных координатах, исследуется ответвление семейства стационарных режимов и возникновение неустойчивости на нем.
1. Постановка задачи. Система уравнений плоской задачи конвекции несжимаемой жидкости в пористом кольце на основе модели Дарси в безразмерных переменных имеет вид
д tT + ud rT + и д T = AT, А = д 2 + r ~1д r + r ~2д £ r
u = -drp + X T cos ф, и = - - д ap-X T sin ф (1.1)
r
д r (ru) + d vv = 0 (1.2)
Здесь t — время, (r, ф) — полярные координаты, T — температура, u, и — радиальная и азимутальная компоненты скорости, p — давление, отсчитываемое от гидростатического. Фильтрационное число Рэлея определяется формулой X = gP12S T/k%, где g — ускорение свободного падения, Р — коэффициент теплового расширения, k = v/K — отношение коэффициента вязкости жидкости к проницаемости, l — масштаб длины, X — коэффициент температуропроводности, 5 T — градиент температуры по высоте, в уравнениях движения (1.1) инерция не учитывается.
Задача рассматривается в области D = [R-, ' [Ф-, Ф2], кольцу соответствует случай ф- = 0, Ф2 = 2п, а кольцевому сектору — ф- > 0 (Ф2 < 2п) (фиг. 1). На границе области D задается условие непротекания и линейное распределение температуры по высоте
u\8D = 0
T|SD = T\r, ф) - T- - R2 Ф (T- - T2), (r, ф) e D
где T- > T2 — значения температуры в нижней и верхней точках кольца соответственно (фиг. 1).
Функция тока у вводится с помощью замены u = r 1д, и = -дrу, позволяющей удовлетворить уравнение несжимаемости (1.2). Для односвязной области при исследовании конвективных течений удобно записать уравнения в возмущениях относительно состояния механического равновесия (у = 0, T = T0). С помощью замены
T = T0 +0 в случае кольцевого сектора получается начально-краевая задача для отклонения температуры 0 и функции тока у
дtе = де + - J(9,у) = Fice, у) (1.3)
J (9,V) = r (65 ^) -д р(0д r v)] r
0 = Ду - XG(0) = F2(0, у) (1.4)
G(0) = i[5 „(cos ф0) + д r (r sin ф0)] r
6|Sd = 0, VÍSD = 0 (1.5)
9|t=0 =60(г,Ф) (1.6)
В случае кольца (Ф = 0, Ф = 2п) для температуры и функции тока ставятся условия периодичности по азимутальной координате
9(t, r, ф) = 9(t, r, ф + 2п), r, ф) = y(í, r, ф + 2п)
Механическое равновесие 0 = у = 0 для системы (1.3)—(1.5) имеется при всех значениях фильтрационного числа Рэлея X. В [7] показано, что в случае плоской задачи конвекции Дарси первое критическое значение Xcr двукратно для произвольной одно-связной области, и при переходе параметра А через Xcr от состояния покоя ответвляется семейство стационарных режимов с переменным спектром. Возможность ответвления семейства стационарных движений для задачи (1.3)—(1.5) связана с наличием ко-симметрии вида L = (у,-0). Действительно, при умножении (1.3), (1.4) на L и интегрировании по области D получается
J [Fi(9, - F2(Q,y)Q]rdrdy = 0
Отметим, что в случае области, симметричной относительно вертикальной оси (ф2 = 2п — Ф^), задача (1.3)—(1.5) инвариантна относительно дискретной симметрии
Яф: {ф,0,ф| ^ {2я-ф,0,-ф} (1.7)
2. Метод решения. При численном исследовании косимметричных задач, характеризующихся сильной неединственностью решений, необходимо, чтобы разностная схема сохраняла свойства дискретной симметрии и косимметрии исходной задачи, а также обеспечивала исчезновение гироскопических членов в интегральном уравнении энергии. Для решения задачи (1.3)—(1.6) применялся метод конечных разностей второго порядка точности. Вводились равномерные сетки по радиальной и азимутальной координатам соответственно: гг = Я1 + гНг, г = 1 ...п; Нг = Я — Д)/(п +1) и фу- = Ф! + у = 1 ...т; Н^ = (Ф2 -Ф1)/от. При аппроксимации конвективных членов /(0, у) и силы всплытия С(9) использовались специальные формулы [18], сохраняющие косиммет-рию для системы разностных уравнений.
D
Полученная в результате дискретизации задачи (1.3)—(1.6) система обыкновенных дифференциальных уравнений может быть записана в векторной форме
0 = Л0 + ЕЧ - К(0,Ч), Х¥ = ХЛ-1В& (2.1)
©|(=о = ©0 = (е ф1), ..., е У„, ф„)) (2.2)
ЗДесь 0 = (611,812,... ДуД-у+ь - Дт) и ^ = (¥11, ¥12, - ,¥у ,¥ и+1, - ,¥ пт) - векторы температуры и функции тока в узлах сетки. Матрица A представляет аппроксимацию оператора Лапласа, матрица B отвечает оператору G. Аппроксимация конвективного слагаемого J (0, у) дается членом К(0, ¥).
Механическое равновесие 0 = ¥ = 0 для системы (2.1), (2.2) имеет место при всех значениях параметра X. Критическое значение фильтрационного числа Рэлея X сг находится из обобщенной спектральной задачи, следующей из (2.1)
Л© = -X ЕЛ _1Е ©
Для решения задачи Коши (2.1), (2.2) используется метод Рунге—Кутты 4-го порядка. Прямой расчет конвективных движений позволяет вычислять стационарные режимы методом установления. Для вычисления семейства конвективных режимов использовался алгоритм [12], основанный на работе [10] и включающий следующие этапы: для каждого стационарного решения матрица линеаризации находится численно, а ее ядро определяется методом 8"УВ-разложения. Для уточнения равновесия в окрестности семейства применяется метод Ньютона, и прогнозное значение для следующей точки на семействе вычисляется при помощи экстраполяционного метода Адамса. Спектр устойчивости а для стационарного решения находится из линеаризованной системы
аЖ = МЖ, М = Л + Х ЕЛ - 6(0*)
6(0*) = Г@(0*, ¥*) + X Гр(0*, ¥*)Л 1Е, *¥* = ХЛ ^Е0*
Здесь К&, Кр — производные от вектор-функции К по 0 и ¥ соответственно.
3. Ответвление семейства конвективных режимов. Ниже представлены результаты расчета задачи (1.3)—(1.6) для различных кольцевых областей. Во всех случаях состояние покоя глобально устойчиво при малых градиентах температуры (параметр Рэлея X < Xсг). При превышении критического значения возникают непрерывные семейства стационарных конвективных режимов. Вычислительный эксперимент состоял в нахождении семейств конвективных режимов и продолжении их по параметру Рэлея до возникновения неустойчивости.
Рассматривались области, симметричные относительно вертикальной линии ф = 0, внутренний радиус был фиксирован Д = 1, Ф2 = 2п — Ф^. В расчетах конвекции для кольцевых секторов был фиксирован внешний радиус ^ = 2, изменялась величина раствора фх, а при исследовании конвективных режимов для колец варьировалась величина внешнего радиуса. Рассчитанные семейства стационарных движений представлялись кривыми на плоскости параметров (Мыи, N4^)
Нын = IдгН=*/ф, = |д „е|^ ^, ф* = ф1-+ф
2
Ф
2
ф
Таблица 1
Область < n х m Kr
3n 3 m т х Т n х m 3n 3 m У х т
Кольцо, Й2 = 3 9.57 16 х 60 9.93 9.79 9.68
Кольцо, R2 = 2 38.7 12 х 60 41.7 40.6 39.7
Кольцо, R2 = 1.5 157.2 8 х 60 181.1 171.3 163.9
Сектор,Ф1 = я/12 39.7 12 х 56 42.3 41.1 40.3
Полукольцо, Ф1 = я/2 4
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.