ГЕОМАГНЕТИЗМ И АЭРОНОМИЯ, 2014, том 54, № 5, с. 670-677
УДК 550.380
ФИЛЬТРАЦИЯ 1-СЕКУНДНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ ОТ ВЕКТОРНОГО И СКАЛЯРНОГО МАГНИТОМЕТРОВ НА ОСНОВЕ АППРОКСИМАЦИОННЫХ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ
© 2014 г. В. Г. Гетманов1, 2, Р. В. Сидоров1
Геофизический центр РАН, г. Москва 2Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ", г. Москва
e-mail: v.getmanov@gcras.ru Поступила в редакцию 06.05.2013 г. После доработки 19.05.2014 г.
Рассмотрена совместная фильтрация 1-секундных наблюдений на системе векторного и скалярного магнитометров, обеспечивающая снижение погрешностей в оценках компонент векторов напряженности геомагнитного поля. Предложена постановка задачи совместной фильтрации данных на основе использования аппроксимационных кусочно-линейных моделей; разработан алгоритм фильтрации с повышенным быстродействием. Представлены результаты совместной фильтрации 1-секундных наблюдений. Оценены погрешности предложенной фильтрации на основе статистического моделирования.
DOI: 10.7868/S0016794014050058
1. ВВЕДЕНИЕ
В статье рассматривается совместная фильтрация 1-секундных наблюдений геомагнитного поля (ГМП) на системе векторного и скалярного магнитометров. Реализуемая фильтрация предназначена для снижения погрешностей оценок компонент векторов напряженности ГМП (трех декартовых координат и модуля), возникающих из-за случайных шумовых погрешностей магнитометров.
Использование аппроксимационных кусочно-линейных моделей для раздельной фильтрации наблюдений компонент векторов напряженности ГМП, безусловно, позволяет снизить погрешности оценок компонент векторов напряженности ГМП. Подобная фильтрация может быть осуществлена, в частности, традиционными цифровыми фильтрами [Гадзиковский, 2007; Гетманов, 2010], в которых используются алгоритмы линейной обработки наблюдений. Однако, снижение погрешностей с помощью линейных алгоритмов, как известно, может быть достигнуто до определенных пределов. Дальнейшее снижение погрешностей здесь предлагается осуществлять с помощью аппроксимационных кусочно-линейных моделей и проведения на их основе совместной фильтрации наблюдений компонент векторов напряженности ГМП, сводящейся к использованию нелинейных алгоритмов.
Материалы статьи, в первую очередь, ориентированы для задач фильтрации 1-секундных ёейп-Шуе-наблюдений (в которых устранены система-
тические погрешности) от систем магнитометров сети обсерваторий ИНТЕРМАГНЕТ [International, 2013; St-Louis, 2011; Chulliat, 2009]. Предлагаемая фильтрация может быть применена для 1-секунд-ных наблюдений ГМП от спутников SWARM Европейского космического агентства [European, 2014], на которых установлены системы векторных и скалярных магнитометров.
Совместная фильтрация 1-секундных наблюдений от системы магнитометров может быть эффективно применена для современной техники геомагнитных наблюдений [Jankowsky, 1996; Mandea et al., 2011] и оказаться актуальной для многих приложений. Например, для задач: (1) анализа параметров пульсационных сигналов Рс1-Рс5, Pi"1-Pi"3 ГМП в УНЧ-диапазоне (ультранизкочастотных волн для частот ~0.5—0.001 Гц), существенным образом необходимо обеспечение снижения погрешностей в оценках компонент вектора напряженности ГМП, поскольку амплитуды пульсационных сигналов, принимающие значения от долей нТл до единиц (десятков) нТл, [Клейменова, 2007; Клейменова и др., 2012] оказываются, в ряде случаев, соизмеримыми с величинами случайных шумовых погрешностей векторных магнитометров; (2) изучения пространственных УНЧ-волн в ионосфере и магнитосфере [Pilipenko, 1990] для построения глобальных моделей ГМП.
В современной практике скалярные магнитометры используются для устранения в векторных магнитометрах медленно меняющихся во време-
ни систематических погрешностей ^-Ьошз, 2011], возникающих из-за температурных дрейфов, процессов старения, медленных деформационных смещений опор и ряда других причин. Возможен второй вариант применения скалярных магнитометров, который заключается в том, что наблюдения от них могут быть использованы для мониторинга состояний векторных магнитометров, например, для обнаружения аппаратурных сбоев. Третий вариант использования скалярных магнитометров, являющийся предметом данной статьи, состоит в решении задачи совместной фильтрации наблюдений от системы векторного и скалярного магнитометров, обеспечивающей снижение погрешностей в оценках компонент векторов напряженности ГМП.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СОВМЕСТНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ 1-СЕКУНДНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ ОТ ВЕКТОРНОГО И СКАЛЯРНОГО МАГНИТОМЕТРОВ
НА ОСНОВЕ АППРОКСИМАЦИОННЫХ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ
Предположим, что произведены последовательности ёейпШуе-наблюдений Н1 = Н1(Ш), Н2 = Н2(Ш), Н3 = Н3(Тг) координат вектора напряженности векторного магнитометра и Н0 = Н0(Тг) — модуля вектора напряженности ГМП, I = 0,1,...,^ -1, 7-шаг дискретизации. Как правило, из-за случайных шумовых погрешностей магнитометров выполняется соотношение Н^(Т1) + Н^фг) + + Н2{Т1) Ф Н2(Т),1 = 0,1,...,N - 1.
Требуется, по наблюдениям Н1(Ш), Н2(Т),
Н3(Л) и Н0(Тг) найти оценки Н°(Т(), Н°(Л),
Н0(Т1), I = 0,1,...,N - 1, которые были бы наилучшим образом близки исходным значениям функций координат вектора напряженности. Указанные оценки будем принимать в качестве результатов фильтрации.
Воспользуемся математическим аппаратом локальных аппроксимационных моделей [Гетманов, 2011] для задачи совместной фильтрации в общем виде. Пусть, на локальном интервале функциям координат вектора напряженности ставятся в соответствие локальные аппроксима-ционные модельные функции известного вида НМ1(е1,Т(), НМ2(е2,Т(), НМ3(с3,Тг), зависящие от векторов параметров сп размерности т0,
СТп = (Сп1,Сп2,...,Спщ), п = 1,2,3. Иногда, эти функции могут быть кусочно-постоянными, кусочно-линейными и т.д. Вполне можно допустить, что для локального интервала вектор с подвержен ограничению: с е С0, в частном случае, С0 — 6-ти
мерный параллелепипед. Сформируем модели наблюдений, I = 0,1,...,N - 1
Н0(Т1) =
= {Н2ш(съТ1) + Н2ш(с2, Т1) + Н2Мз(сз,Т1) + Wo(Ti), Нп(Т1) = Нмп(СпЛ) + Ж„(П), п = 1,2,3.
Будем полагать, что ^0(Ш), Ш„(Ш) — некоррелированные нормально распределенные числа с нулевым математическим ожиданием и заданными дисперсиями моделируют случайные шумовые погрешности магнитометров. Подобное модельное представление является в значительной степени общим и описывает высокочастотные шумовые погрешности. Задача получения оценок параметров моделей реализуется на основе использования математического аппарата функций правдоподобия [Крамер, 1975]. Благодаря принятым моделям случайных погрешностей магнитометров эта задача сводится к минимизации локального функционала ¿\-меры близости наблюдений и моделей, который записывается в виде суммы составляющих £п, S12
>Ыс, Нь Н ъ Нз) = £
5=1
N-1
£ (Нв(Т) - Нш(св,Щ)2
Л=0
n-1
Бп(с, Н0) = £
Н0(Т) -
£ НМп(сп,Т)
п=1
(1)
51(с, X, Н) = 5п(с, Н1, Н2, Н3) + X 5п(с, Н0),
где НТ = (Н0, НъН2,Н3), сТ = (сТ, сТ,сТ) — блочный вектор параметров и ^-регулирующий множитель. Нахождение оптимальных параметров с°(Х) для задачи фильтрации в общем виде реализуется следующим образом:
с°(Х) = ащ {шт 51(с, X, Н)},
, сеС0
(2)
с° (X) = (с° (X),с° (X),с° (X)).
Оценки функций напряженностей ГМП
Н0°(Т1), Н°Т)^ = 0,1,...,N - 1,п = 1,2,3, близкие к исходным значениям координат в смысле минимума для (1), представляются на основе решения минимизационной задачи (2)
Н°„(Т) = Нмп(с°„(Х),Т1), п = 1,2,3, Н°(Т) = ^Н?(Т) + Н°\Ш) + Н°\Т).
Ввиду неквадратичности функционала (1), решение задачи минимизации (2) в общем случае может быть получено методом прямого поиска
[Сухарев, 2005]. Очевидно, что оценки Н°(Ш), п = 0,1,2,3, являющиеся результатами совместной
фильтрации, формируются на основе алгоритма с нелинейной обработкой наблюдений. Реализуемый при этом фильтр может считаться высокочастотным (устраняющим высокочастотные составляющие в наблюдениях); однако, следует иметь ввиду, что фильтр является нелинейным и ему не может быть поставлена в соответствие стандартная передаточная функция высокочастотного фильтра, понимаемая в обычном смысле. В публикациях [Гетманов, 2012; 2013] предложено аналитическое решение задачи (1, 2) для случая кусочно- постоянных моделей.
Рассмотрим далее постановку задачи совместной фильтрации 1-секундных наблюдений ГМП для аппроксимационных кусочно- линейных моделей и с учетом особенностей системы сбора. Для i = 0,1,...,N -1 модельные функции представим в виде
Hm(c,Ti) = Си + С12Д HM1(c,Ti) = С21 + С22Д
hm з(с,Д) = С31 + С13Т.
Вектор параметров системы моделей cT = = (c11,c12,...,c32) имеет размерность 3m0 = 6. Из-за особенностей системы сбора [Bureau, 2013], наблюдения от векторного магнитометра H1(Ti), H2(Ti), H3(Ti) производятся с секундной дискретизацией — T = 1c; наблюдения от скалярного магнитометра H0(T0s) осуществляются с 5-секундной дискретизацией, T0 = 5c, T0/T = Nc. Моменты дискретизации синхронизованы: наблюдению с индексом i = 0 соответствует наблюдение с индексом s = 0, индексу i = 5 соответствует индекс s = 1 и т.д.
Введем составляющие локальные функционалы s2b S22
S21(c, H1, H2, H3) = ^
'n-1
X (H„(Ti) - c„1 - cn2Ti)2
S22(c, H0) = X
seSr,
h0T0S)
л
3
X (cn1 + cn2t0s)
V n=1
(3)
где Б0 = {£ (0 < N,5 < N - 1)} — множество индексов ж. Основной локальный функционал Б2 для данной постановки совпадает по форме с функционалом (1)
Б2(с, X, Н) = Б21(е, Нь Н2, Н3) + X Б22(с, Но). (4)
Процедура нахождения параметров с°(Х) записывается стандартным образом
c°(X) = arg {min S2(c, X, H)
{ceC0
Результатом совместной фильтрации являются оценки модельных функций наблюдений от векторного и скалярного магнитометра
Н°(Т1) = с°(Х) + е°п2(Х)Т1,
Hо (T0 s) =
X (c„°1(X) + cn2(X)TQ s)2, n = 1,2,3,
n=1
(5)
которые наилучшим образом, в смысле критерия (4), аппроксимируют наблюдения Н1(Тг), Н2(Т/), Н3(Т() в точках 1 = 0,1,...,N -1 и наблюдения Н0(Т05) в точках 5 е Б0.
Решение задачи минимизации Б2 (4, 5) производится поисковым методом нулевого порядка путем прямого перебора во множестве С0. Количество вычислений, требуемых для нахождения оптимальн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.