научная статья по теме ФИЗИЧЕСКАЯ КАРТИНА ИЗЛУЧЕНИЯ ВОЛН В КЛИНОВИДНОЙ ОБЛАСТИ: ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА ПОПЕРЕЧНОЙ ДИФФУЗИИ Математика

Текст научной статьи на тему «ФИЗИЧЕСКАЯ КАРТИНА ИЗЛУЧЕНИЯ ВОЛН В КЛИНОВИДНОЙ ОБЛАСТИ: ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА ПОПЕРЕЧНОЙ ДИФФУЗИИ»

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 9, с. 1576-1590

УДК 519.634

ФИЗИЧЕСКАЯ КАРТИНА ИЗЛУЧЕНИЯ ВОЛН В КЛИНОВИДНОЙ ОБЛАСТИ: ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА ПОПЕРЕЧНОЙ ДИФФУЗИИ

© 2007 г. С. А. Запуниди, А. В. Попов

(142190 Троицк, М.о, ИЗМИРАН) e-mail: popov@izmiran.ru Поступила в редакцию 02.02.2007 г.

Анализ строгого решения задачи об излучении волн источниками, произвольно распределенными вдоль грани клина, позволяет предложить обобщение эвристического метода поперечной диффузии Малюжинца. Математически задача сводится к численному решению параболического уравнения в лучевых координатах с заданными разрывами на границах тени парциальных плоских волн или распределенной правой частью. Формулируется физическая концепция фазового синхронизма первичной и дифрагированной волны. Библ. 7. Фиг. 11.

Ключевые слова: теория дифракции, интеграл Зоммерфельда, параболическое уравнение, лучевые координаты, фазовый синхронизм, метод поперечной диффузии Малюжинца, численный метод решения параболического уравнения.

ВВЕДЕНИЕ

Одним из обобщений параболического уравнения Леонтовича-Фока является метод поперечной диффузии Малюжинца (см. [1]). Он состоит в представлении дифракционного поля в виде суперпозиции волн различного типа, каждая из которых описывается своим параболическим уравнением, записанным в лучевых координатах. Явление дифракции проявляется в диффузии волновой амплитуды вдоль криволинейных волновых фронтов через общие границы существования парциальных волн. Этот метод прекрасно согласуется с точным решением в ряде модельных задач (см. [2], [3]), давая асимптотику волнового поля не только в узкой окрестности границы тени, но и в глубокой тени. Однако в дальнейшем метод не получил широкого развития из-за нерешенности ряда принципиальных и вычислительных вопросов. А именно: неоднозначность разбиения полного волнового поля на парциальные составляющие и нехватка граничных условий на линиях их сопряжения для однозначного определения решения. Кроме того, коэффициенты параболического уравнения, записанного в криволинейных лучевых координатах, могут обладать особенностями, что требует специального исследования поведения его решений и создания специальных вычислительных схем.

В настоящей работе эти вопросы рассматриваются на примере классической задачи излучения неоднородных волн колеблющейся гранью клина. Точное решение этой задачи было дано (см. [4]) в форме интеграла Зоммерфельда. В силу своей вычислительной сложности оно малопригодно для непосредственных практических расчетов, однако его анализ позволяет ответить на упомянутые выше вопросы, не решенные в методе поперечной диффузии.

Поскольку в первоначальной формулировке метод поперечной диффузии оказывается неприменимым, мы отказываемся от описания первичной излученной волны с помощью параболического уравнения. Вместо этого мы конструируем первичную волну в виде суперпозиции неоднородных плоских волн, порождаемых отдельными составляющими комплексного преобразования Фурье заданной амплитуды колебаний грани клина. Для каждой такой компоненты вводится своя граница тени, определяемая из условия ее фазового синхронизма с дифракционной цилиндрической волной, расходящейся от ребра клина. В случае дискретного набора таких волн на каждой границе тени возникает скачок амплитуды первичной волны, который может быть скомпенсирован решением параболического уравнения, описывающим цилиндрическую дифракционную волну. Множественные скачки могут сливаться, образуя размазанную границу тени. В таком случае построенная нами первичная волна уже не удовлетворяет уравнению Гельм-гольца, но порождаемая ею невязка во всей области имеет фазу цилиндрической волны. Именно это позволяет нам построить асимптотическое решение задачи, добавляя некоторую дифракционную волну, удовлетворяющую неоднородному параболическому уравнению с правой частью, источником которой служит невязка первичной волны.

1576

По-видимому, описанная процедура и является корректным математическим выражением идеи поперечной диффузии, высказанной в ранних работах Малюжинца. Сравнение предлагаемого подхода с точным решением задачи излучения гранью клина на конкретных примерах показывает его хорошую точность и вычислительную эффективность.

1. ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ИЗЛУЧЕНИЯ И МЕТОД ПОПЕРЕЧНОЙ ДИФФУЗИИ

Рассмотрим монохроматическое волновое поле в клиновидной области г > 0, 0 < ф < Ф, удовлетворяющее уравнению Гельмгольца

АЕ + к2 Е = 0, (1)

краевым условиям

Е(р, 0) = ^(р), Е(р,Ф) = 0 (2)

и условию погашаемости (см. [1], [5])

Е(р, ф)<^ при 1тк > 0 (3)

(здесь р = кг - безразмерное расстояние от ребра клина). Для простоты ограничимся случаем Ф > л, когда нет прямого облучения пассивной грани клина ф = Ф источниками, заданными на полуплоскости ф = 0. Точное решение задачи было дано (см. [4]) в форме интеграла Зоммерфельда (см. [5]):

Е(Р'Ф) = 2л/1е 'РС°55(Ф + а) - 5(Ф - а)]^, (4)

Г+

где контур Г+ изображен на фиг. 1. В заштрихованных областях ядро Зоммерфельда ехр(-/р^ а) возрастает при 1т а —► Аналитическая функция 5(а), регулярная в полосе 0 < Re а < Ф + л,

Фиг. 1.

находится из системы линейных функциональных уравнений, следующих из граничных условий (2):

5 (а) - s(-а) = 2/(а), s(а + Ф) - s(-а + Ф) = 0, где /(а) определяется из преобразования Фурье заданного граничного значения F(p):

r. , i Sin а С iP cos а^, , 7

/(а) = -2—J ev F(p) dp. (6)

о

По построению, /(а) - нечетная 2п-периодическая функция. Ее особенности в комплексной плоскости а лежат в полуполосах 2Nn < Re а < (2N + 1)п, Im а > 0 и (2N - 1)п < Re а < 2Nn, Im а < 0. В силу уравнений (5), функция 5(а) имеет те же особенности в полуполосе -п < Re а < 0, Im а < 0 и по предположению не имеет других особенностей в полосе -п < Re а < Ф + п (физически это означает отсутствие других источников, кроме тех, что описываются граничным условием (2)). Решение уравнений (5) находится с помощью модифицированного преобразования Фурье (см. [6]):

5(а) =

+ i— Е + i— \

i

J + J

V. ^

г'юФ

2,Дп

S(a) = -_e- J /(а)e иаdа.

V2пsin(иФ) J

Е - г— Е - г — i—

S(^e гиаdи,

(7)

Это решение описывает волновое поле, создаваемое произвольным распределением источников вдоль грани клина ф = 0, однако в общем случае оно слишком сложно для вычислений, так как требует четырехкратного интегрального преобразования граничной функции ^(р):

^(р)^ /(а)^ Е(р, ф). (8)

В простейшем случае однородного распределения источников, т.е. при ^(р) = 1, решение находится методом (см. [6])

s (а) = г

Е + i — Е + i—\

J + J

-Е-i — Е-г-

C0S [(Ф --0М_ dи. (9)

sin (2 и ) sin (Фи)

В силу нечетности подынтегрального выражения в формуле (4) и легко проверяемого соотношения

. (п sln — а п чФ

5 (а - п) - 5 (а + п) = г-=----, (10)

2Ф п2 (п Л 0OS—- - 00^ — а 2 Ф ЧФ )

путь интегрирования в интеграле Зоммерфельда может быть преобразован к перевальному контуру а = /у - п - а1гат(Шу) (см. фиг. 1). При этом пересекается полюс а = -п/2 - ф функции 5(ф + а), вычет в котором соответствует первичной плоской волне, распространяющейся нормально к излучающей грани клина в секторе 0 < ф < п/2 (см. фиг. 2, где изображена картина дифракции плоской волны, излученной однородным распределением источников вдоль грани клина ф = 0). Вклад седловой точки а = -п находится стандартным способом и имеет вид цилиндрической дифрагированной волны, как бы расходящейся от ребра клина. В результате получаем асимптотическое представление

г, \ г /р sinф^ , ехр [/(р + п/4)] . ....

Е(р, ф) ~ {е }о<ф<п/2+ ' I-—--л(ф), (11)

р^~ 72пр

Фиг. 2.

где диаграмма рассеяния А(ф) = 5(ф - п) - 5(ф + п) находится явно по формуле (10). Из-за сингулярности функции 5(а) это представление теряет смысл на границе тени ф = п/2, являющейся в действительности источником "краевой" волны (см. [1]).

Равномерная асимптотика решения имеет вид (см. [2])

Е(р, ф)

г гр sin ф, i ртт, ч

{ ev }о <ф<п/2 + evU (р,ф),

(12)

где медленно меняющаяся волновая амплитуда и(р, ф) удовлетворяет параболическому уравнению в лучевых координатах (р, ф):

тЭ^ U

2i т— + i — -

Эр р

1 д2 U

22 р дф

= 0.

(13)

Формула (12) выводится из точного решения (4) переходом к контуру наибыстрейшего спуска

(см. фиг. 1) и заменой ядра Зоммерфельда exp(ip cos а) приближением exp справедливым в окрестности седловой точки а = п при р —»-

i р(1-

(а + п)2

1

и(р,ф) = J" Jexp

-i р

(а + п)

2

[5(ф + а) - 5(ф - а)]dа.

(14)

Итак, первичная плоская волна Eg = {егр Я1Пф}0 < ф < п/2 возникает как вычет в полюсе подынтегральной функции, пересекаемый при деформации контура интегрирования, а дифрагированная волна Ed = и(р, ф)ехр(гр) распространяется от границы тени посредством диффузии вдоль цилиндрических фронтов r = const.

Этот результат является частным случаем эвристического принципа поперечной диффузии, предложенного Малюжинцем для решения широкого класса задач дифракции (см. [1]). Согласно этой концепции, высокочастотная (к —► <») асимптотика волнового поля является суперпозицией волн различной природы (падающей, отраженной и дифрагированной), распространяющихся вдоль лучей обобщенной геометрической оптики и описывающихся параболическим уравнением, записанным в соответствующей системе лучевых координат.

S

Первичная волна

Фиг. 3.

Применительно к данной задаче, в общем случае неравномерного распределения источников концепция Малюжинца (см. [1]) предполагает построение лучей и фронтов излученной волны и решение параболического уравнения поперечной диффузии

в лучевых координатах п) совместно с уравнениями вида (13) для двух цилиндрических "краевых" волн, существующих по обе стороны от границы тени (см. фиг. 3, где дана картина дифракции в случае неравномерного распределения источников). Однако при попытке численной реализации этой программы возникает ряд трудностей. Во-первых, такой подход годится только для достаточно гладкой функции ^(р). Далее, данное распределение источников может порождать несколько или даже бесконечное число лучевых конгруэнций со своими границами тени. Наконец, простой подсчет необходимых граничных условий показывает, что очевидного требо

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком