РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2008, том 53, № 8, с. 914-924
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ^^^^^^^^
И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 621.372.8
ФИЗИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В КИРАЛЬНЫХ ВОЛИОВЕДУЩИХ СИСТЕМАХ И ИХ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ © 2008 г. А. Н. Боголюбов, Н. А. Мосунова, Д. А. Петров
Поступила в редакцию 11.12.2007 г.
Рассмотрены методы математического моделирования киральных волноведущих систем. Впервые представлены результаты расчета прямоугольного кирального волновода методом смешанных конечных элементов. На основе аналитического решения проведен расчет при помощи метода конечных разностей и построены поля для плоскопараллельного волновода с киральным заполнением.
ВВЕДЕНИЕ
Развитие различных областей радиоэлектронной промышленности потребовало разработки принципиально новых материалов, сильно взаимодействующих с электромагнитными волнами. К таким средам относятся киральные среды, состоящие из молекул зеркально-симметричной (кираль-ной) формы или создаваемые на основе киральных элементов, размещенных в однородной маг-нитодиэлектрической среде. Киральные среды хорошо исследованы в оптике, включая кристаллооптику, где их называют активными или гиро-тропными. Однако оптическая активность естественных сред незначительная, исключением можно считать лишь жидкие кристаллы. Тем не менее, после того как были разработаны искусственные киральные материалы, киральность уже не является малой поправкой, причем свойства такой среды отличаются от свойств диэлектрика [1, 2].
Можно выделить множество направлений и научных проблем, исследуемых и решаемых в области электродинамики и оптики киральных сред, которые имеют теоретический интерес и широко применяются на практике, например в построении интегрированных оптических приборов и микросхем, волноведущих и волнопередающих систем, проектировании антенн и поглощающих покрытий с заданными электродинамическими свойствами, а также во многих других областях радиотехники и прикладной электродинамики.
Новые материалы в волноведущих системах имеют ряд преимуществ по сравнению с традиционно используемыми средами. В связи с этим для многих приложений требуются методы, которые позволили бы с высокой гарантированной точностью определять характеристики распространения и поля мод в волноведущих системах. Возникает необходимость использовать численные методы и компьютерное моделирование.
Цель данной работы - рассмотрение некоторых основных методов численного моделирования и демонстрация их применимости для математических задач, возникающих при использовании киральных материалов.
1. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В КИРАЛЬНЫХ СРЕДАХ
Поле в волноводе описывается системой уравнений Максвелла, которая при учете зависимости полей от времени ехр(-гю0 имеет вид
iffl^ i ffl">
rot H = -—D, rot E = — B,
c c
div B = 0, div D = 0,
(1)
Н, Е, В, В - напряженности магнитного и электрического полей, индукции электрического и магнитного полей, где с - скорость света в вакууме, ю - частота волны.
Для описания электромагнитных свойств ки-ральной среды недостаточно двух материальных параметров: диэлектрической £ и магнитной ц проницаемостей. Необходимо ввести третий параметр: %, называемый параметром киральности, который связывает электрическое и магнитное поля. Тогда материальные уравнения можно записать в симметричной форме, не содержащей явно производных:
D = £ E - i х H,
B = ц H + i х E. (2)
Будем полагать £, ц, % скалярными величинами, т.е. будем рассматривать изотропные киральные среды. Коэффициенты при вторых слагаемых в правых частях уравнений (2) должны быть сопряжены, иначе среда не будет обладать свойством взаимности.
Существует другая распространенная форма записи материальных уравнений:
Ъ = гсЕ + I £сВ, Н = I £сЕ + В / —с, (3)
где £с = £ - — , —с = —, £с = -%/— - параметр кираль-|
ности (£с иногда называют киральным адмитан-сом). В такой форме записи материальных уравнений величина £с зависит от параметра кираль-ности, и в случае его обращения в нуль переходит в диэлектрическую проницаемость для обычной диэлектрической среды.
Наиболее рациональный способ анализа электромагнитных полей в биизотропных, в частности киральных, средах основан на факторизации векторного волнового уравнения. При таком подходе в случае однородной среды система уравнений Максвелла распадается на две независимые подсистемы дифференциальных уравнений первого порядка [3]. Задача нахождения собственных волн в случае гармонической зависимости полей от времени для биизотропной среды сводится к решению двух несвязанных задач для двух обычных изотропных сред. Таким образом, собственные волны в безграничных однородных биизотропных средах оказываются циркулярно поляризованными (правоциркулярно поляризованная - ЯСР и левоциркулярно поляризованная -ЬСР) [4-8].
Если материальные уравнения имеют вид (3), волновые числа для ЯСР и ЬСР определяются следующими формулами:
k± = ±ю| £с + J ю2 |1С£С + (ю| £с )2.
(4)
но поставить для продольных компонент электромагнитного поля. Используя уравнения Максвелла (1) и материальные уравнения (3),
поперечные компоненты полей Е и Н выразим через их продольные компоненты:
[Ех, Ey, Нх, Ну] =
[ an]
д Ez д Ez дН z дНz
дх ' ду ' дх ' ду
, (5)
где [-]г - знак транспонирования, [йу] - матрица размерностью 4 х 4, элементы которой определяются материальными параметрами среды, частотой распространяющейся волны и постоянной
распространения, Н2 = (у2 + к+ )(у2 + к2).
Система дифференциальных уравнений для продольных компонент, в каждом из которых участвует как Ег, так и Нг, имеет вид
+
д х д у" ± 2 i ю2| £,
Н
+1 Y +
|cHZ
22 k+ + k_
(£с + ^ |) Ez
Н
= 0.
±
(6)
Это позволяет использовать киральные структуры для изменения поляризации падающего электромагнитного излучения. Например, периодическая система правовинтовых спиралей, расположенных в одной плоскости, позволяет преобразовывать ЯСР-и ЬСР-волны в линейно поляризованные и наоборот, а также сохранять циркулярную поляризацию поступающего излучения.
В многослойных кирально-диэлектрических структурах удается получить окна непрозрачности для ЯСР- и ЬСР-волн, причем в непрерывающихся частотных диапазонах. Таким образом, полученные системы демонстрируют поляризационно-избирательные свойства, и их можно рассматривать в качестве поляризационных фильтров [2].
2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО КИРАЛЬНОГО ВОЛНОВОДА
Задачу нахождения мод и постоянных распространения у для цилиндрического волновода мож-
Решение таких систем уравнений, называемых смешанными, является достаточно сложным.
Отличительная особенность киральных волноводов заключается в том, что поля Ez и Hz внутри волновода могут тождественно обращаться в нуль только одновременно, что в свою очередь приводит к полному исчезновению поля. Другими словами, все распространяющиеся моды в ки-ральном волноводе являются гибридными, т.е. не поддерживаются TEM-моды, поэтому наименьшая частота отсечки отлична от нуля.
В качестве примера рассмотрим плоскопараллельный киральный волновод [9], состоящий из двух параллельных идеально проводящих плоскостей, находящихся на расстоянии a друг от друга, бесконечных в направлениях х и z, область между которыми заполнена изотропным киральным веществом. В этом случае задачу удается решить аналитически и полностью определить поля внутри волновода и постоянные распространения.
На дисперсионной ю - в диаграмме (диаграмме Бриллюена) выделяют три области для постоянной распространения в (у = 'в) (рис. 1):
а) область быстро-быстрых волн (Fast-Fast-Wave region), где в < k- < k+;
б) область быстро-медленных волн (Fast-Slow-Wave region), где k- < в < k+;
в) область медленно-медленных волн (Slow-Slow-Wave region), где k- < k+ < в.
2
T
Е, отн. ед.
0.4 -
0.3 у
0.2 - /
¿У
0.1 -
УгуГ У
У' 0
У/3 У
/ / -0.1 -1
II/ '1 / -0.2 -
-0.3 -
I -0.4 |
ю, отн. ед. 400 г
350 300
250
¿2 200
150
¿1 100
50
0 50 100 150 200 250 300 350 400
в, отн. ед.
Рис. 1. Дисперсионная диаграмма для плоского волновода при Е,с = 0.2; I - область медленно-медленных волн, II - область быстро-медленных волн, III - область быстро-быстрых волн. Моды кирального волновода изображены сплошными кривыми, моды диэлектрического волновода - штриховыми кривыми. Кривые 1 и 2 - постоянные распространения к+ и к_ для кирального волновода, кривая 3 - постоянная распространения к для диэлектрического волновода.
Названия областей связаны с тем, что фазовая скорость волны, распространяющейся в волноводе, определяется как г = ю/в, а для мод в неограниченной киральной среде v+ = ю/к+, v- = ю/к-. Очевидно, что из неравенств для волновых чисел, приведенных ранее, следуют неравенства и для фазовых скоростей.
Частотой отсечки юс называется такая частота, при которой постоянная распространения в обращается в нуль. Эти частоты определяются из дисперсионного соотношения и для плоского волновода имеют вид
0.с = юсалЩ£ =
п п
ц ^
(7)
-0.02
-0.01
0.01
0.02 У, см
где 0,с - безразмерная частота отсечки, п = 1, 2, 3, ... Они обозначены на диаграмме точками Аъ А2, А3. Отметим, что в киральном волноводе частоты отсечки находятся ближе друг к другу, чем частоты в обычном волноводе без кирального заполнения.
Рис. 2. Компоненты электрического поля Ех (кривая 1) и Еу (кривая 2) в плоском волноводе для случая, когда Ег - четная функция.
В области быстро-медленных волн ЬСР плоские волны распространяются вдоль оси г с постоянной распространения, большей к-, поэтому эти волны считаются медленными волнами. В волноводе с обычным изотропным заполнением они не удовлетворяют граничным условиям. В киральном же волноводе существует как ЬСР-волна, так и ЯСР. В результате комбинации этих типов волн появляется физическое решение, удовлетворяющее граничным условиям. Это еще одна особенность киральных волноводов.
Оказывается, что в плоскопараллельном киральном волноводе не существует мод, отвечающих области медленно-медленных волн. Это означает, что невозможна такая ситуация, при которой оба типа волн (ЯСР и ЬСР) распространяются как медленные волны вдоль оси г [10].
На ди
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.