научная статья по теме ФЛАТТЕР ПЕРИОДИЧЕСКИ ПОДКРЕПЛЕННОЙ УПРУГОЙ ПОЛОСЫ В ПОТОКЕ ГАЗА С МАЛОЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ СКОРОСТЬЮ Механика

Текст научной статьи на тему «ФЛАТТЕР ПЕРИОДИЧЕСКИ ПОДКРЕПЛЕННОЙ УПРУГОЙ ПОЛОСЫ В ПОТОКЕ ГАЗА С МАЛОЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ СКОРОСТЬЮ»

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 3 • 2015

УДК 533.6.013.42

© 2015 г. В. В. ВЕДЕНЕЕВ, С. В. ШИТОВ

ФЛАТТЕР ПЕРИОДИЧЕСКИ ПОДКРЕПЛЕННОЙ УПРУГОЙ ПОЛОСЫ В ПОТОКЕ ГАЗА С МАЛОЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ СКОРОСТЬЮ

Во всех классических исследованиях панельного флаттера принимается, что нестационарное давление потока газа может быть вычислено по поршневой теории. Однако, поршневая теория верна лишь при больших числах Маха и не покрывает область 1 < М < 2. Недавно было доказано, что в этом диапазоне чисел Маха существует область панельного флаттера, названного одномодовым, который отличен от "классического" флаттера связанного типа. В настоящей работе численно изучается одномодовый флаттер пластины в форме полосы, имеющей периодическое подкрепление. Построены границы устойчивости и проанализировано влияние ширины полосы и расстояния между подкреплениями.

Ключевые слова: панельный флаттер, флаттер пластины, одномодовый флаттер, флаттер с одной степенью свободы.

1. Введение. Панельный флаттер — явление самовозбуждающихся вибраций панелей обшивки летательных аппаратов, движущихся с большой скоростью. Обычно он не вызывает мгновенное разрушение панелей (как флаттер крыла), но приводит к быстрому накоплению усталостных повреждений и резко снижает срок службы панелей. Хотя панельный флаттер наблюдался на сверхзвуковых ракетах еще во время войны, первые содержательные теоретические исследования появились спустя десятилетие [1, 2]. В этих работах использовалась модель Кирхгофа—Лява движения пластины и закон плоских сечений нестационарного движения газа, приводящий к формуле поршневой теории для давления газа на пластину [3]. После работ Мовчана задача панельного флаттера была изучена во множестве усложненных постановок [4—10]. В подавляющем большинстве работ усложнению подвергалась "упругая" часть задачи: многослойные и композитные пластины, неплоские оболочки, нелинейный модели пластины и материала, в том числе вязкоупругие материалы, материалы с памятью формы или пьезоэлектрическими свойствами [11 — 13]. "Аэродинамическая" часть задачи оставалась неизменной: использовалась поршневая теория.

Линеаризованное нестационарное давление невязкого газа, действующее на колеблющуюся пластину, полученное из газовой динамики, имеет вид интегрального оператора от комбинации прогиба и его производной, с ядром из специальных функций (см. постановку задачи ниже). В пределе при М^ да оно дает формулу поршневой теории, однако при числах Маха, близких к 1, ничего общего с поршневой теорией нет. Подстановка точного выражения в уравнение движения пластины приводит к инте-гродифференциальному уравнению на собственные значения, которое ввиду сложности математической задачи исследовалось лишь в отдельных работах. В [14] было аналитически получено общее решение этого интегродифференциального уравнения, что сводит задачу на собственные значения к алгебраической, однако последняя оказалась столь сложна, что попыток решать ее напрямую не предпринималось. В [7, 15, 16] интегродифференциальное уравнение решалось численными методами Бубнова—

Галеркина и конечных элементов при некоторых конкретных параметрах задачи. Было отмечено, что наряду со связанным типом флаттера, который возникает при решении задачи с помощью поршневой теории, в расчетах при 1 < М < 2 возникал также другой — одномодовый тип флаттера. Однако он объяснялся численными погрешностями и считался некоторыми авторами нефизичным.

Позже задача изучения панельного флаттера с помощью нелинейных аэродинамических моделей решалась численно в ряде работ. В [17, 18] исследовался флаттер при трансзвуковых скоростях (решались уравнения Эйлера), а в [19—22] исследовался флаттер в вязком газе (решались уравнения Навье—Стокса). В этих работах прямо исследовалась задача движения пластины во времени и разделения неустойчивого состояния на одномодовый и связанный флаттер не делалось.

В [23] исследование панельного флаттера проводилось для пластины в форме полосы больших размеров (двумерная задача) асимптотическим методом [24]. Было строго доказано, что одномодовый флаттер существует, был выяснен физический механизм усиления колебаний и доказано, что он не может быть обнаружен при исследовании задачи с помощью поршневой теории и вообще с помощью аэродинамических моделей, выражающих нестационарное давление на пластину через ее прогиб в виде любой дифференциальной связи. Позже [25] эта задача решалась численно, где были построены границы устойчивости шести первых собственных мод и показано, что область неустойчивости состоит из области флаттера связанного типа и областей одномодово-го флаттера по различным модам, причем одномодовый флаттер значительно расширяет область неустойчивости в сторону малых чисел Маха и коротких пластин. Было исследовано также влияние пограничного слоя [26], конструкционного демпфирования пластины [27], и проанализированы предельные циклы нелинейных флаттерных колебаний [28, 29]. Наконец, были проведены эксперименты [30], в которых впервые было зафиксировано возбуждение одномодового флаттера при числах Маха 1 < М < 1.3. Таким образом, одномодовый флаттер упругой полосы (двумерная постановка) в настоящее время в значительной мере исследован.

Трехмерная задача одномодового панельного флаттера прямоугольных пластин больших размеров была исследована в [31, 32] с помощью модифицированного асимптотического метода [33]. Постановка задачи численного исследования прямоугольных пластин без дополнительного предположения о ее размерах еще более усложняется по сравнению с двумерной, поскольку в интегродифференциальном выражении для нестационарного давления, действующего на пластину, область интегрирования становится двумерной в форме треугольника [34]. Однако, этот двумерный интеграл может быть сведен к одномерному в одном частном случае — бесконечной серии прямоугольных пластин, шарнирно связанных друг с другом, или, что то же самое, в случае периодически подкрепленной упругой полосы. Такую постановку можно рассматривать как первое приближение к исследованию флаттера изолированной прямоугольной пластины. В настоящей работе эта задача решается численно модифицированным методом [25].

2. Постановка задачи. В линейном приближении исследуется устойчивость тонкой упругой бесконечной полосы, которая вмонтирована в абсолютно жесткую плоскую поверхность. Полоса обтекается с одной стороны сверхзвуковым потоком газа, с другой стороны задано постоянное давление, которое уравновешивает полосу в плоском невозмущенном состоянии. Полоса имеет периодическое шарнирное подкрепление вдоль бесконечного направления; передняя и задняя кромки также шарнирно оперты (фиг. 1, 2). В силу периодичности либо все пролеты одновременно устойчивы, либо все одновременно неустойчивы, поэтому далее будем рассматривать устойчивость отдельного пролета, как элемента полосы, непосредственно взаимодействующего с соседними пролетами. Сам же отдельный пролет будем называть пластиной.

Ц0

- х

Фиг. 1

г

х

Ь

Фиг. 2

Поместим систему координат Охуг в плоскость невозмущенной полосы так, чтобы рассматриваемая отдельная пластина занимала область 0 < х < Ь^, 0 < у < Ьумп г = 0. Ось г направим перпендикулярно плоскости пластины, чтобы система координат образовывала правую тройку.

Пластина рассматривается без мембранного напряжения, но обладает изгибной жесткостью Вмп которая вместе с толщиной Н и плотностью материала рт считается постоянной. Колебания пластины малы (т.е. прогиб пластины считается малой величиной по сравнению с толщиной) и описываются уравнением движения Кирхгофа— Лява. Массовые силы не учитываются.

Газ считается невязким и совершенным, с плотностью р0 и скоростью звука а0 в невозмущенном состоянии. Газа поступательно течет в области г > 0 с постоянной сверхзвуковой скоростью и0, направленной вдоль оси х. Течение считается адиабатическим, пограничный слой не учитывается.

Пусть в начальный момент на пластину налагается малое возмущение. Докажем, что если набегающий из бесконечности поток газа не содержит возмущений, а сами возмущения инициируются пластиной, то возмущенное движение газа является потенциальным. Действительно, невозмущенное течение газа является потенциальным,

а действие пластины на газ эквивалентно приложению поверхностных сил, которые в силу теоремы Томсона могут вызывать только потенциальное течение. Следовательно, возмущения газа, вызванные пластиной, всегда являются потенциальными.

Пусть теперь поток также локально возмущен, и возмущение содержит вихревую часть. Согласно теореме Томсона, эта часть вморожена в частицы газа и действует на пластину как статическая нагрузка в течение конечного промежутка времени, а следовательно, не может привести к неустойчивости. Таким образом, для исследования устойчивости достаточно рассматривать только потенциальные возмущения газа.

Уравнение движения Кирхгофа—Лява тонкой упругой пластины в потоке газа и граничное условие шарнирного опирания на кромках пластины записывается следующим образом:

ртН г1 + Д,АХyw + р = 0, 0 < х < Ьхц,

V = Э2 V / Эх2 = 0, х = 0, Ьхц, (2.1)

V = Э2 V/Эу2 = 0, у = 0, ЬуК

где Аху — двумерный оператор Лапласа, ^(х, у, 0 — прогиб пластины. Из линеаризованной теории движения газа разница давлений р(х, у, 0, действующая на пластину, выражается через потенциал движения газа ф(х, у, г, ():

р(Х, у, г) = -Р0О + Ц£) Ф(х, у, 0, г) (2.2)

Система линеаризованных уравнений и граничных условий, описывающая развитие малых возмущений газа, имеет вид:

^ Э , ТТ Э)2 2Э2Ф 2Э2Ф 2Э2Ф п ~

^ н; + )Ф - О)--; - О)—* - «0—7 = 0, г > 0

КЭг Эх) Эх2 Эу2 Э г

[^,,^^ ^ 0 при г ^ +» вдоль луча г = х х° (2.3)

^Эх Эу Э гу ^ м - 1

ТТ = Э7 + и°Т> г = 0, х е [0; Э? = 0, г = 0, х *[0;

Эг Эг Эх Эг

Первое уравнение системы является волновым уравнением, где а0 — скорость звука в газе. Второе условие, стремление §гаёф к нулю при г ^ вдоль характеристики

г = (х — х0)/л/М2 - 1 при фиксированном t и у, верно только для растущих со временем возмущений, порожденных вблизи пластины. Действительно, если мы зафиксируем координаты у и t и будем увеличивать г вдоль характер

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком