Письма в ЖЭТФ, том 90, вып. 1, с. 75-79
© 2009 г. 10 июля
Флуктуации квантовой запутанности
Э. Б. Фельдман1), М. А. Юрищев1 >
Институт проблем химической физики РАН, 142432 Черноголовка, Московская обл., Россия
Поступила в редакцию 30 апреля 2009 г.
Обращаем внимание на то, что квантовая запутанность (сцепленность), определяемая с помощью оператора энтропии фон Неймана, является стохастической величиной и вследствие этого может флуктуировать. Найдены среднеквадратичные флуктуации энтропии запутанности двухкубитных систем как в чистом, так и в смешанном состояниях. Установлено, что в максимально запутанных состояниях флуктуации запутанности отсутствуют. Обнаружено, что существуют области, в которых флуктуации запутанности превосходят значение самой запутанности (области сильных флуктуаций). Обнаружено также, что при подходе к точкам перехода систем из запутанного в сепарабельное (разделимое) состояние величина относительных флуктуаций запутанности расходится. Наконец показано, что в сепарабельных состояниях флуктуации запутанности обращаются в нуль.
PACS: 03.65.Ud, 03.67.Mn, 05.30.^d, 05.40.-а
В последнее время квантовомеханическая запутанность (Е) стала объектом интенсивных теоретических и экспериментальных исследований [1-4]. При этом одной из наиболее плодотворных и глубоких по смыслу мер степени запутанности оказалась энтропия состояния с редуцированной (частичной) матрицей плотности. Такая энтропия была рассмотрена в 1986 г. (в проблеме черных дыр) [5]. Сейчас энтропия редуцированного состояния широко используется в различных областях, включая квантовую теорию поля, физику твердого тела и, конечно, квантовую информатику (см., например, [6] и имеющиеся там ссылки).
Физический (информационный) смысл запутанности, определяемой через энтропию, трактуется как относительное число максимально запутанных пар то, которые можно извлечь из большого числа п копий исходных систем с помощью протокола очищения, включающего только локальные операции и классическую коммуникацию (ЛОКК): Е —^ те/п, n —t оо [7, 8]. Однако это лишь средняя величина (математическое ожидание) запутанности.
Связывая квантовую запутанность с энтропией, которая, как известно (см. [9], п.112), может флуктуировать, мы должны учитывать возможность флуктуаций и для запутанности. Разумеется, для большой совокупности статистически независимых подсистем усредненные по объему относительные флуктуации физических характеристик пренебрежимо малы, поскольку убывают по закону "1 /у/п" ([9], п.2). Но для одиночных составных систем флуктуа-
^ e-mail: efeldmaneicp.ac.ru; yur©itp.ac.ru
ции запутанности, как увидим, могут быть существенны и даже достигать сколь угодно больших значений. Наша работа посвящена расчету и обсуждению особенностей поведения таких флуктуаций энтропии запутанности.
Чистые состояния. Согласно [8], мерой запутанности системы, находящейся в чистом состоянии |ф) и состоящей из двух подсистем А и В, может служить энтропия фон Неймана любой из подсистем:
E=S(pA) = S(pB). (1)
В этих равенствах рА = Тгв\Ф)(Ф\ и рв = Т^а\Ф)(Ф\ являются редуцированными матрицами плотности, S = TrpS, где S = ^log2p есть оператор энтропии; Р € {Ра,РВ}•
В квантовой механике физическим величинам соответствуют операторы. Оператор квантовой запутанности Е мы отождествляем с оператором энтропии: Е = S. Оператор Е эквивалентен "гамильтониану запутанности" [10, 11].
Энтропия подсистем, как сказано, подвержена флуктуациям, поэтому a priori они не должны исключаться и для запутанности. В соответствии с общим определением среднеквадратичных флуктуаций случайной переменной ([9], п.2), их величина равна
АЕ = [S2 - (S)2]1/2, (2)
где моменты S и S2 взяты для одной из подсистем, А или В.
Рассмотрим поведение квантовых флуктуаций запутанности в двухкубитной модели. Для нее волно-
76
Э. Б. Фельдман, М. А. Юрищев
вая функция наиболее общего вида в стандартном базисе имеет форму
\ф) = a |00) + Ъ |01) + с |10) + d |11),
|2 , Ш2 _L Ы2
(3)
Р=\Ф)(Ф\ =
d\2 = 1. Отсюда
\а\2 аЬ* ас* ad*
а*Ь |Ь|2 Ьс* bd*
а* с Ь*с. |с|2 c.d*
a*d ЬЧ с*(1 \d\2 )
(4)
Одно собственное значение этой матрицы равно |а|2 + + |Ь|2 + \с\2 + Щ2 (= 1), ему отвечает собственный вектор |ф). Три других собственных значения равны нулю. Из (4) для редуцированных матриц плотности следует
РА =
Рв =
|а|2 + |Ь|2 ас* а* с + b*d |с|2
|а| • а*Ь ■
■ |с|2 ab* c*d \b\2
bd*
И2
c.d* |d|2
(5)
С учетом нормировки (ф\ф) = 1, собственные значения каждой из этих матриц равны
где
Al,2 = -(1± Vl^C2),
С = 2\ad — bc\.
(6) (7)
Для момента &-го порядка оператора энтропии подсистемы (кубита А или В) простые вычисления дают
Sk = (-1)*
2
л/1 - С2
VT^, к -log2
VI - с2 4
loga
л/1 - С2
(8)
Таким образом, все характеристики запутанности двухкубитной системы сконцентрированы всего только в одной величине — согласованности С.
Для запутанности (момента первого порядка энтропии) из (8) получаем
Е = Н((1 + Vi ~ С2 )/2),
О)
где Н(х) = —х \og2X — (1 — ж)1с^2(1 — ж) есть функция Шеннона. В окрестностях граничных точек имеем
1
Е(С) = { 2
1 - (1 -С)/1п2
C2log2[C7(2V¿)], С^О
(10)
с-и.
Используя равенства (2) и (8), находим интересующую нас величину флуктуаций квантовой запутанности двухкубитной системы:
-(i + VT^c2)
АЕ = С\оё2
Из этого выражения следует
-С1ое2(С/2), С^О
у/2/ 1п 2)(1 — С)1/2, С-И.
А Е(С) =
(П)
(12)
Соотношения (9) и (11) в параметрическом виде дают зависимость АЕ(Е), которая может служить для косвенных измерений АЕ по Е.
На рис.1 показано изменение квантовой запутанности и величины ее флуктуаций при изменении С
bq
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
С
Рис.1. Поведение Е и ДЕ в двухкубитной системе в чистом состоянии. Удлиненная риска по оси абсцисс соответствует значению С/ = 0.82724 ...
в обсуждаемой системе. В точке исчезновения запутанности (С = 0) величина абсолютных флуктуаций равна нулю: АЕ = 0. Вблизи этой точки функция (11) содержит логарифмическую особенность (см. (12)). Когда С = 1 (максимально запутанное состояние), флуктуации запутанности тоже отсутствуют. Однако по мере отклонения согласованности от 1 в системе происходит нарастание этих флуктуаций (см. рис.1). Флуктуации достигают величины запутанности (АЕ = Е) при С = С/, где С/ является корнем трансцендентного уравнения
(13)
Численное значение корня равно С/ и 0.82724. При 0 < С < С/ система находится в области сильных флуктуаций, в которой АЕ > Е.
С уменьшением С от единицы до нуля величина относительных флуктуаций квантовой запутанности, 5Е = АЕ/Е, монотонно возрастает от нуля до бесконечности (см. рис.2). Вблизи границ облас-
10
8E
8 -
4 -
0.4 0.6
C
Рис.2. Относительная флуктуация в зависимости от С для двухкубитной системы в чистом состоянии (сплошная кривая). Пунктирная линия отвечает уровню 6Е = 1
ти изменения С относительные флуктуации запутанности ведут себя как
5Е(С 0)
2
С
2ЩС/2)
2 С~
(14)
(15)
Таким образом, в граничной точке С = 1 функция 5Е(С) имеет бесконечную крутизну. Здесь флуктуации запутанности очень чувствительны к вариациям параметров системы. В то же время, при приближении к точке С = 0, в которой система из запутанного состояния переходит в сепарабельное состояние, относительные флуктуации запутанности стремятся к бесконечности. Это хорошо видно из рис.2.
Смешанные состояния. Запутанность формирования (создания) в системе, находящейся в состоянии с матрицей плотности
Р = ^2Рг\Фг){Фг\
(16)
(веса pi > 0, Pi = 1), по определению равна [12]
£ = (17)
£ z—'
Здесь 3(ф{) означает запутанность чистого состояния \ф{) (способ ее расчета в случае двухсоставной
системы изложен выше). Минимум в (17) должен быть найден среди всех ансамблей £ = {Рг,Фг} ПРИ условии сохранения состояния р.
Для набора из одинаковых пар 1/2-спиновых систем запутанность формирования определяется минимальным числом максимально запутанных пар, которые необходимы для создания с помощью ЛОКК заданного состояния р [12].
Обозначив через £0 = {р°,Ф°} минимизирующий (оптимальный) ансамбль, можно переписать выражение для запутанности (17) в виде
E=(S(tl>i))e0 = 1£ip?S(tl>?).
(18)
В качестве меры флуктуаций запутанности смешанного состояния мы будем брать среднеквадратичное отклонение запутанности в ансамбле £„:
А Е =
(smi.]1/2-
(19)
Обратимся к двухкубитным системам. В работах [12-14] было показано, что в ансамбле £„ все состояния |ф°) имеют равные между собой согласованности (запутанности). Благодаря такому свойству оптимального ансамбля, равными между собой будут и все моменты (8). В частности, вместо (19) здесь мы в действительности имеем
(20)
В результате приходим к выводу, что величина флуктуаций запутанности в смешанном состоянии двухкубитной системы по-прежнему определяется выражением (11). Задача расчета флуктуаций запутанности в двухкубитной модели сводится, таким образом, к нахождению согласованности.
Согласованность для произвольной двухкубитной системы можно рассчитать по формуле Хилла-Вуттерса [13, 14] (см. также [15, 16]):
С = max{0, s/Xi - учХг - уАз - '
Здесь А,- - собственные значения (Ai > А4 > 0) матрицы
= р(&у ® сгу)Р*{сгу ®
> А,
(21)
> А3 >
(22)
где cry — матрица Паули. Поскольку произведение двух некоммутирующих эрмитовых матриц дает неэрмитову матрицу ([17], п.4), то матрица R, вообще говоря, неэрмитова. Однако при det р ф 0 с помощью преобразования подобия Д-матрицу можно привести к эрмитовому виду
В! = p^^Rp1'2 = yfp{av ® ay)p*(ay ® ay)^p . (23)
6
2
0
78
Э. Б. Фельдман, М. А. Юрищев
Нетрудно убедиться, что для чистого состояния с матрицей плотности (4) соответствующая Д-матрица имеет только одно ненулевое собственное значение. Оно равно 4|ой — 6с|2, и формула Хилла-Вуттерса (21) дает (7).
Другой случай соответствует состоянию, матрица плотности которого является произвольной смесью состояний Белла:
р = р1|Ф+)(Ф+| + р2|Ф")(Ф~ + р3|Ф+)(Ф+| + р4|Ф_)(Ф~
(24)
где IФ^) и 1Ф1*1) представляют собой функции Белла
|Ф±) = (|01) ± |10», |Ф±) = (100) ± |11)).
(25)
Матрица плотности (24) имеет структуру
Р =
Рз + Ра Рз Ра
Pi +Р2 Pi- Р2
Pi ^ Рг Pi + Р2 \ Рз
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.