АКУСТИКА ОКЕАНА. ГИДРОАКУСТИКА
534.44
ФЛУКТУАЦИИ ЗВУКА, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ МОД НА ДВИЖУЩИХСЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ВНУТРЕННИХ ВОЛНАХ В МЕЛКОМ МОРЕ © 2014 г. В. А. Григорьев*, Б. Г. Кацнельсон**
*Воронежский государственный университет 394006Воронеж, Университетская пл., 1
E-mail: grig@box.vsi.ru **Leon Charney School of Marine Sciences Haifa University, Mount Carmel, Haifa, 31905, Israel E-mail: bkatsnels@univ.haifa.ac.il Поступила в редакцию 20.08.2013 г.
Проводится теоретический анализ и численное моделирование флуктуаций низкочастотных сигналов, распространяющихся в мелком море в присутствии нелинейных внутренних волн, движущихся примерно вдоль акустической трассы. Причиной флуктуаций считается взаимодействие мод. Показано, что в спектрах флуктуаций имеются характерные частоты, пропорциональные скорости движения солитонов вдоль трассы. Проведены расчеты звукового поля при использовании одномодо-вых и многомодовых источников, проанализирован частотно-модовый состав поля, ответственный за максимальные и минимальные флуктуации. Анализируется т.н. доминирующая частота флуктуаций, введенная авторами ранее и соответствующая флуктуациям с максимальной амплитудой в данном частотном диапазоне и для данного набора мод. Результаты расчетов сопоставлены с оценками, полученными авторами ранее в рамках лучевой теории.
Ключевые слова: акустика мелкого моря, нелинейные внутренние волны, взаимодействие мод, низкочастотные сигналы, флуктуации, доминирующая частота.
DOI: 10.7868/S0320791914030046
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 60, № 3, с. 262-271
УДК
ВВЕДЕНИЕ
Влияние нелинейных внутренних волн (НВВ) на звуковое поле в океане является предметом исследования достаточно долгое время, особенно начиная с работ [1, 2]. В частности, в работе [1] была высказана идея о заметном влиянии т.н. резонансного взаимодействия мод на спектры поглощения звуковых сигналов, причем зависящего от направления распространения внутренних волн. Эти идеи стимулировали как теоретические (см., например, анализ возможности резонансного взаимодействия в [3, 4]), так и, в некоторой степени, экспериментальные исследования: Shallow Water Acoustic in Random Media 1995 (SWARM'95) [5], Asian Seas International Acoustics Experiment (ASIAEX) [6] и Shallow Water 2006 (SW06) [7], посвященные влиянию НВВ на свойства звукового поля на шельфе. Одним из наблюдаемых эффектов для звукового поля являются пространственно-временные флуктуации, наблюдаемые при распространении звука в присутствии НВВ и обладающие различными свойствами в зависимости от механизмов взаимодействия (горизонталь-
ная рефракция, адиабатика, взаимодействие мод) [8-13].
В данной работе рассматриваются флуктуации звукового поля, обусловленные взаимодействием мод при распространении низкочастотного звука, пересекающего фронты НВВ, имеющих значительную амплитуду (~10 м) и движущихся с типичной скоростью (~1 м/с). Как будет показано, частоты флуктуаций звукового поля, вызванные движением НВВ, имеют значения р < 10 ц/ч, что близко к океанографическим значениям, например, частоте Вяйсяля.
В предыдущих работах авторов [11-13] теоретически и экспериментально (на основе эксперимента SW06) рассматривалась аналогичная задача взаимодействия звука и НВВ в рамках лучевого приближения. Было показано, что флуктуации носят квазипериодический характер с т.н. доминирующей частотой флуктуаций р* = VВ, где V — скорость НВВ вдоль трассы, Б — цикл луча (названный критическим), который испытывает максимальное взаимодействие с НВВ и дает максимальный вклад во флуктуации интенсивности.
R = vt R + L
i i
Нет ¡ Да ¡ Нет
Взаимодействие мод
cb, Ра
1 п
v±
а
и
г±
Рис. 1. Геометрия задачи и модель волновода в вертикальной и горизонтальной плоскостях.
Численное моделирование в данной работе будет проведено для случая локальной неоднородности, состоящей из одиночного солитона (модель Кортевега—де Вриза).
МОДОВАЯ ТЕОРИЯ ФЛУКТУАЦИЙ
Рассмотрим распространение звука в вертикальной плоскости, проходящей через источник и приемник (рис. 1). Начало координат выберем на верхней поверхности мелководного волновода над источником, ось г направим вертикально вниз, ось r — по горизонтали по направлению к приемнику.
В отсутствии НВВ волновод полагаем плоскослоистым, глубины H, с профилем скорости звука c0 (z). В присутствии НВВ профиль скорости звука имеет вид c (r, z, T), где зависимость от времени T появляется из-за движения НВВ. Будем считать, что НВВ движутся от источника к приемнику и в течение некоторого промежутка времени (~1 ч) их форма и скорость практически не меняются. Тогда c(r,z,T) = c0 (z) + Sc(r - vT,z), где 5c — возмущение профиля скорости звука, v — скорость НВВ вдоль акустической трассы. Величина R = vT характеризует положение заднего фронта НВВ на горизонтальной оси (рис. 1), если при T = 0 он находился над источником. Для удобства расчетов предполагаем НВВ локализованными в некоторой области R < r < R + L, где L — размер НВВ вдоль трассы.
Величины v и L зависят от угла а наклона фронта НВВ к трассе в горизонтальной плоскости: v = vjsin а, L = Ljsin a, где v± и Ll — скорость и горизонтальный размер НВВ перпендикулярно фронту.
Для дальнейших расчетов предположим, что дно является жидким однородным полупространством, характеризуемым плотностью pb и скоростью звука cb. Потерями в дне пренебрега-
ем, так как они не сказываются принципиально на рассматриваемых далее эффектах. При необходимости потери нетрудно учесть стандартными методами.
В силу медленности движения НВВ расчет звукового поля проводится для каждого фиксированного значения Т (приближение замороженной среды или "медленного" времени). Уравнение Гельмгольца для комплексной амплитуды поля Рю (г,z,T), формируемого в точке (г, z) тональным источником частоты ю, или для спектральной компоненты широкополосного сигнала на этой частоте имеет вид
{Ш+;г+к2(п2=0 «
где к = ю/с — волновое число для некоторой средней скорости звука с, п = с/с0 — показатель преломления среды в отсутствие НВВ, ц =
ц = с1 (с - с-2) ~ -2 8с/с — добавка к п2, вызванная наличием НВВ. В силу сказанного выше ц(г,z,T) = ц(г - уТ,z).
В отсутствие НВВ имеем ц = 0. При этом решение (1) не зависит от Т и может быть записано в виде [8]
P» (r, z) = ^ m (z)exp (iqmr),
(2)
rq
где у т (^) и дт — собственные функции и собственные значения задачи Штурма—Лиувилля
d ,,22 2 —2 + к n - qm dz
= о,
V miz=0 = 0,
V m +■
dV m
(3)
= 0.
z=H
р^йт^к2 dz
Здесь кь = ю/сь, р — плотность воды. Коэффициенты возбуждения мод С{)т в (2) зависят от вида источника. Для точечного изотропного источ-
r
0
г
0
т
ника мощностью расположенного на глубине г, имеем
СИ =л!рехр(г'я/4)ут (г,), (4)
где р , и с, — плотность воды и скорость звука на глубине
В присутствии НВВ, учитывая малость параметра ~ 0.01, решение (1) можно найти в рамках теории возмущений [8], если область, занимаемая возмущением, достаточно велика. Для этого ищем решение в виде, аналогичном (2):
Р (г, г,Т) = £СфТ± уm (г) ехр (г^г). (5)
После подстановки (5) в (1) и стандартных преобразований, пренебрегая второй производной й 2Ст! йг2, членами второго порядка малости, а также используя (3) и ортонормированность собственных функций, получаем систему дифференциальных уравнений
йСт = £ Ут„С„ ехр (-г Aqm„r), (6)
йг
1де ¥т„(г,Т) =
к2
2л/Я
Яп
ц (г - чТ, г ) т (г ) п (г )йг-
= wв,
йх
где B — столбец Вт, W — матрица элементов ^тп = 1Утп ехр (-г'АЯтпх). Если S - матрица фундаментальных решений [14]:
— = WS, 8 (0) = I,
йх
(9)
коэффициенты взаимодействия мод, Аятп = ят - яп.
Для отыскания модальных коэффициентов Ст (г,Т) на приемнике будем считать, что НВВ целиком располагаются на трассе. Тогда на оси г выделяются три области: 1) область до НВВ г < Я,
2) область, содержащая НВВ (область взаимодействия мод), Я < г < Я + Ь, 3) область после НВВ г > Я + Ь. Нетрудно видеть, что в областях 1) и
3) модальные коэффициенты не зависят от г и соответственно равны Ст и Ст (Я + Ь, Т). Следовательно, на приемнике, расположенном в области 3), значения модальных коэффициентов равны Ст (г,Т) = Ст (Я + Ь,Т), и для их нахождения необходимо проинтегрировать систему (6) по области 2) с начальным условием на левой границе, равным Ст.
Сделаем в (6) замену переменных г - vT = х (г - Я = х), тогда интервал интегрирования в (6) будет 0 < х < Ь. Получаем
^ = ''£ УтпВп ехр (-г'АЯтпх), (7)
ах
п
где Вт (х) = Ст ехр (¿ЯтЯ) при условии на границе
Вт (0) = Ст ехр (¿ЯтЯ).
Систему (7) можно представить в матричном виде:
где I — единичная матрица, то решение (8) в точке х = Ь равно В (Ь) = 8(Ь) В (0).
Переходя к модальным коэффициентам, получаем
Ст (г,Т) = Ст (Я + Ь,Т) = = £ Smn (Ь) С„0 ехр (-гАдтпЯ). (10)
п
Подставляя (10) в (5), получаем искомое решение для комплексной амплитуды в присутствии НВВ:
Рт (г,г,Т) = £Ртп ехр(-'АqmnvT), (П)
т,п
с0
Ртп(г, г) = S тп (Ь)У т (г )ехр ('Ятг ). (12)
1Ятг
Из формулы (11) видно, что величина Рш (г, г,Т) меняется с течением времени в соответствии с набором гармоник ехр (-АятгуТ), т.е. содержит характерные частоты
П тп = V\АЯтп\. (13)
Если говорить о численных значениях характерных частот, то, вспомнив, что масштабы интерференционных биений Л тп = 2тс/|Дятп| имеют для типичных условий порядок 600—800 м, получаем характерные
частоты Ртп = (2п)-1 О тп = V Л тп ~ 4—6 ц/ч
Отметим, что, как видно из формулы (12), в общем случае |Ртп| Ф |Рпт|. Указанным амплитудам соответствуют частоты 0.тп и Опт = -Отп, поэтому для полного анализа спектра флуктуаций комплексной амплитуды (11) необходимо использовать области как положительных, так и отрицательных значений частот флуктуаций.
В реальных условиях наблюдение ограничивается некоторым временным интервалом Т0 < Т < Т0 + А Т. Амплитудный спектр флуктуаций (11) по конечному интервалу времени найдется в виде
0Р (О, ю) =
т +лт
[ (г, г, Т) - Рш (г, г)] ехр ((ОТ) йТ
I
(14)
(8)
где ^ — текущая частота флуктуаций, Рш (г, г) =
1 Т0 +АТ
= ^ Рш (г, г,Т)йТ — среднее значение комплексной амплитуды. Учитывая, что Рш (г, г) ~ « £тРтт, получаем
т
п
GP (Q, ш) =
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.