КОЛЛОИДНЫЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 77, № 2, с. 244-257
УДК 537.2+544.77.022.52
ФЛУКТУАЦИОННЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПОЛЯ В ЭЛЕКТРЕТНЫХ ГАЗОВЫХ ФИЛЬТРАХ © 2015 г. А. Л. Черняков
НИЦ "Курчатовский институт" 123182 Москва, пл. Курчатова, 1
E-mail: achern@front.ru Поступила в редакцию 23.09.2014 г.
Вычислены функции распределения флуктуационных электрических полей вблизи заряженных волокон в предположении случайного распределения зарядов на их поверхности. Показано, что на расстоянии нескольких радиусов от оси цилиндрического волокна функция распределения компонент электрического поля является гауссовой. При приближении к поверхности волокна дисперсия электрических полей расходится, а функция распределения отклоняется от нормального закона. В распределении плотности вероятности возникают слабо убывающие хвосты при больших значениях полей. Показано, что на поверхности волокна плотность вероятности компоненты электрического поля, направленной вдоль оси, описывается распределением Коши. Исследовано распределение полей от системы случайно расположенных и случайно ориентированных заряженных или нейтральных волокон с распределением вдоль них дипольных моментов. Показано, что флуктуирующие электрические поля могут увеличивать эффективность фильтрации в электретных фильтрах.
Б01: 10.7868/80023291215020056
1. ВВЕДЕНИЕ
В двадцатых годах прошлого века были открыты изоляторы, длительно сохраняющие поляризацию, возникшую после охлаждения расплава в сильном электрическом поле. Такие вещества были названы термоэлектретами [1]. В дальнейшем были исследованы различные способы получения долгоживущих поляризованных состояний диэлектриков [2, 3]. Помимо поляризации эти материалы могли сохранять и полученный при изготовлении ненулевой электрический заряд. Электреты нашли применение в различных областях техники [2, 3]. Они используются в электроакустических и электромеханических преобразователях. Процессы создания и нейтрализации электретно-го состояния используются в ксерографии. Одним из удачных применений электретов оказалась возможность использовать электретные волокна для создания воздушных фильтров с малым гидродинамическим сопротивлением [4]. Отметим, что полимерные фильтры Петрянова, производство которых началось еще в сороковых годах прошлого века, также можно отнести к электретам, так как электрические заряды на волокнах, полученные в процессе их формирования, сохраняются достаточно долго [5].
Волокнистые фильтры для тонкой очистки газов от аэрозольных частиц обычно представляют собой материалы, образованные случайно расположенными и случайно ориентированными в
плоскости фильтра волокнами. Волокна, изготовленные из полимерных материалов, могут обладать электретными свойствами и долго сохранять заряды и поляризацию, полученные в процессе изготовления. Исследование эффективности очистки газов электретными фильтрами от аэрозольных частиц и ее временной динамики в процессе эксплуатации привлекают внимание многих исследователей [6]. В большинстве работ рассматривается влияние на эффективность фильтрации усредненного заряда или дипольного момента на ближайшем к аэрозольной частице волокне [7, 8]. Однако точное расположение волокон и распределение на них зарядов не известно. Поэтому необходимо исследовать статистические характеристики распределения электрических полей в такой сложной случайной системе, которую представляют полимерные волокнистые фильтры. Распределение случайных электрических полей системы независимых точечных зарядов впервые исследовалось в работе Хольцмарка [9] в связи с уширени-ем спектральных линий в плазме [10]. Аналогичная задача определения функции распределения гравитационных полей в галактике исследовалась в работах Чандрасекара и фон Неймана [11]. Мы применим технику вычисления функции распределения случайных полей, развитую в этих работах, к электретным фильтрам.
Реальные фильтры трудно рассчитать даже на современных компьютерах, поэтому при вычис-
лении электрических полей мы рассмотрим некоторые упрощенные модели их структуры, часто используемые в теории фильтрации.
2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ ОТ АНСАМБЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ЗАРЯДОВ НА ОТДЕЛЬНОМ ВОЛОКНЕ
Мы начнем с исследования вероятности распределения электрических полей вблизи заряженных волокон. Диэлектрическую проницаемость волокон будем предполагать близкой к единице.
Пусть заряды случайно и независимо распределены на поверхности цилиндрического волокна длины I и радиуса а. Тогда компоненты электрического поля для длинных волокон с I >а на расстоянии г < I от оси волокна равны
E = V qi(r - a cos ф '-
E V- 2 2 2 _ ,3/2'
i [r + a + z¡ - 2ra cos ф;-J
E = V_—_
z 2 2 2 3/2
i [r + a + zi - 2 ra cos ф;- J
(i)
q¡a sin ф;-
<Er) = npa < q) J,dzdф —-2( r ^ C 0sф -
[ r + a + z - 2 ra cos ф] 4 nnpa < q)
3/2
(2)
где np = N/2 nal — плотность распределения зарядов на поверхности, а угловые скобки обозначают усреднение по ансамблю.
Для большого числа зарядов N >1 средний квадрат радиальной компоненты поля равен
< El) = < £ EriEr) = X < Eri)( Ej + £ < E2) =
ij ij i
= Пр < E2) + < Er)2
Дисперсии компонент электрического поля равны:
< E) - < Er)2 = np < q2) a Jdzdф x
(r - acosф)
2 2 2 2
[r + a + z - 2ra cosф]
, 2х3яa г, (r - a cos ф)
= nP<q)-8- |,ф- —5/2' (3)
8 [r + a - 2racosф]
< E) = np < q 2)y \d ф
1
2 2 3/2
[ r + a - 2 ra cos ф]
E2 = np < q2) ^ ф
2
sin ф
2 2 5/2
[ r + a - 2 ra cos ф]
На расстоянии от волокна, большом по сравнению с радиусом, получим явные выражения для дисперсий
/ гА / \ 3я2а 2 т-т23тс2й = <Ег) - <Ег> = пр <9 > —- = Прй Ео--,
4г 4 г
2 3
2 я a
=< E2) = np < q2)^ = npa2E0—-, 4 r 4 r
2 3 0 2 5
z ,-^x /2,3 я a 2 ,-,2 3 я a % = <E^> = np <q )-5- = npa eq-5-,
8 r 8 r
2 / 0 X 2 3
л ,n2 .. / 2, я a i , ,3a \ 2т2 я a
(4)
— r 2 2 2 - T 3/2
j [ r + a + Zj - 2 га cos ф;- J
Ось z в этих формулах выбрана вдоль волокна, z,, Ф,- и qt — координаты и величина заряда с номером i соответственно, как показано на рис. 1.
Среднее поле при случайном расположении N зарядов вдали от концов волокна направлено по радиусу
<E2) - <E)2 = np<q2) ü-3-1 1 + --ÍL 1« npaAE0—,
32 r 8 r
где мы ввели характерное поле E0 = . Отсюда
■2 = <q)
следует
< E2) - < E) 2 _ < q2)
< E2 4npa<q)2 r
(5)
Флуктуации радиальной компоненты поля Ег важны на расстояниях от оси волокна
r < Ш
a <q)2npa2
(6)
Оценим величину параметра пра2. Для оценки примем плотность поверхностных зарядов равной пре ~ 10-8 Кл/см2, характерной для электретов [3]. Элементарный электрический заряд е = 1.6 х х 10-19 Кл. Для тонких волокон с радиусом а ~ ~ 10"5 см получим пра2 ~ 6.
При г ^ а, как видно из (3), дисперсия электрических полей возрастает степенным образом
<Е2> - <Е>2 - <Е2> - <Е2> - п/е\(г - а)-2. (7)
Дисперсия компонент электрического поля в зависимости от расстояния до оси волокна показана на рис. 2.
Даже при нулевом полном заряде волокна, когда отсутствует среднее электрическое поле, на нейтральную сферическую частицу радиуса г0 с
x
a
4----
✓ ф,
-яо
Егп
г Е„
Рис. 1. Схема случайного расположения положительных и отрицательных зарядов на поверхности цилиндрического волокна.
диэлектрической проницаемостью е при г > а будет действовать средняя сила притяжения [7, 8]
< Р)
2 3
1 6 - 1 з„/172, /2,3п аг0 б - 1 ,оч -Г0у<Е ) = ир<д ) — , (8)
2 6 + 2
6 + 2
что увеличит эффективность фильтрации. Интересно сравнить силу притяжения из-за флуктуации электрических полей с силой Ван-дер-Вааль-са. При условии а > г — а > г0 сила Ван-дер-Вааль-
са порядка
агз
ж
ж
Аа
Аа
Я,
4 г Е20а2(г - а) „
Постоянная Гамакера обычно составляет величину порядка А ~ 1013—1012 эрг, и при плотности
зарядов пра2 ~ 10—100 на волокне радиуса а ~ 10-5 см р
получим оценку — ~ 0.04—4. Приведенная оцен-
Рг
ка показывает, что сила притяжения из-за флуктуирующих полей может быть сравнима и даже превышать силу притяжения Ван-дер-Ваальса.
Теперь вычислим плотность функции распределения компонент электрических полей Р(Еа) от
2 2, ч 2 2
пра е (г - а) пра е
2
СТ/Е0
40
30 -
20
10
Рис. 2. Зависимости дисперсии компонент электрического поля от расстояния до оси для безразмерного параметра пра2
1: 1 - а г, 2 - а^ 3 - стф.
случайных источников в зависимости от расстояния до оси волокна. Так как электрическое поле от случайных зарядов равно сумме независимых одинаково распределенных случайных величин, то можно сразу утверждать, что на больших расстояниях от волокна, где дисперсия конечна, согласно центральной предельной теореме теории вероятностей, функция распределения при пра2 > 1 будет гауссовой
Р( Еа ) =
( 2п< Е2а))1/2
ехр
( ( Еа - < Еа) ) ^
2 <Е-)
(9)
где А - постоянная
( Г - а ) 4
Гамакера. Отношение силы ван-дер-Ваальса к поляризационной силе (8) при использовании оценки (7) равно
Вблизи волокна дисперсия расходится, и функция распределения будет отклоняться от гауссовой. Для определения зависимости от расстояния до оси волокна плотность вероятности распределения компонент электрического поля запишем в виде [11]
(10)
Р(Еа) = |8[Еа - ^Еа) П ^ =
I I
= 2П |еХР ('РЕа - Р X Еа1(Г)) П ^^.
В этой формуле усреднение ведется по случайным независимым положениям N частиц на поверхности волокна в области с площадью S. Так как усреднение проводится независимо по положениям каждой частицы, то мы можем это выражение переписать в виде
N
(11)
N
Р(Еа) = 2я \йР СХР('РЕа^ 1СХР (~1РЕа(Г)) ^ =
= 2П \аРехР(1рЕа)(1 - |( 1 - ехр(-1рЕа(г))) = 2П рРехр(1рЕа}(\ - ^|[1 - ехр(-1рЕа(г))]л) = = 2П \йРехР(':рЕа - Ха(Р)),
где функция ха(Р) определяется интегралом
Ха(Р) = Пр|[ 1 - ехр (-РЕ*(г))] йг/(д)¿д, (12) N
а пр = — — плотность заряженных частиц на поверхности волокна. В формуле (12) мы дополнительно усреднили по функции распределения зарядов на частицах /(д). Как видно из (11), функция ехр(—ха(р)) является преобразованием Фурье плотности вероятности Р(Еа) и называется характеристической функцией, а сама функция ха(р), с точностью до знака, равна логарифму характеристической функции.
Рассмотрим вначале функцию хг(р) для компоненты поля вдоль волокна
ж £
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.