ФОКУСИРОВКА ФОНОНОВ И ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ КРЕМНИЕВЫХ НАНОПЛЕНОК
И. И. Кулеев* С. М. Бахарев, И. Г. Кулеев, В. В. Устинов
Институт физики металлов Уральского отделения Российской академии наук 620990, Екатеринбург, Россия
Поступила в редакцию 2 сентября 2014 г.
Исследовано влияние фокусировки фононов на анизотропию и температурные зависимости теплопроводности кремниевых нанопленок в трехмодовой модели Каллавея. Определены ориентации плоскостей пленок и направления потока тепла, обеспечивающие максимальный или минимальный теплоотвод от элементов кремниевых микросхем как при низких, так и при комнатных температурах. Показано, что при диффузном отражении фононов от границ наименьшей рассеивающей способностью (и максимальной теплопроводностью) обладает плоскость с ориентацией {100}, а максимальной рассеивающей способностью (и минимальной теплопроводностью) — плоскость с ориентацией {111}. В достаточно широких пленках величины теплопроводности в значительной степени определяются ориентацией плоскости пленки, тогда как для нанопроводов с квадратным сечением они зависят, главным образом, от направления теплового потока. Проанализировано влияние анизотропии упругой энергии на зависимости теплопроводности от геометрических параметров пленок. Определены температуры перехода от граничного рассеяния к объемным механизмам релаксации.
001: 10.7868/80044451015040084 1. ВВЕДЕНИЕ
В связи с развитием тохполопш и широким использованием нанопленок и нанопроводов в микроэлектронике значительно возрос интерес к исследованию их теплопроводящих свойств [1 6]. Длины свободного пробега фононов для наноструктур в широком температурном интервале оказываются больше или сравнимы с их характерными размерами. Поэтому рассеяние фононов на границах играет важную роль в их теплосопротивлении в интервале температур от гелиевых до комнатных [7]. В работе [7] исследовано влияние фокусировки тепловых фононов на анизотропию и температурные зависимости теплопроводности кремниевых нанопроводов с круглым сечением в трехмодовой модели Каллавея. Показано, что температурные зависимости теплопроводности нанопроводов с диаметрами более 50 им могут быть описаны в рамках стандартного релаксационного метода. Использование вычисленных на-
E-mail: kuleev'öimp.uran.ru
ми времен релаксации фононов на границах [8,9] в рамках метода Казимира МакКарди [10,11], а также параметров ангармонического рассеяния, найденных для объемных кристаллов Si [12], позволило адекватно описать экспериментальные данные теплопроводности нанопроводов [4] в интервале температур от 20 до 300 К. Показано, что при комнатной температуре вклад граничного рассеяния в теп-лосопротивление нанопроводов с диаметрами 115 и 56 нм составляет соответственно 40 и 60 % [7]. Ранее для этих параметров и времен релаксации фононов [8,9] нам удалось согласовать результаты расчета температурных зависимостей теплопроводности объемных кристаллов Si [12] с экспериментальными данными [11] для различных направлений градиента температуры и ориентаций боковых граней образцов.
В настоящей работе воспользуемся результатами работ [7 9,12] и проанализируем температурные зависимости теплопроводности кремниевых нанопленок в температурном интервале от 17 до 350 К. Рассмотрим особенности фононного транспорта, обусловленные анизотропией упругой энергии. Извест-
но [13 15], что анизотропия упругой энергии кубических кристаллов приводит к неколлинеарности фазовой и групповой скоростей фононов и их фокусировке. Экспериментальные исследования [11] показали, что при достаточно низких температурах, когда длина свободного пробега фононов превышает поперечный размер образца, фокусировка фононов приводит к зависимости теплопроводности объемных кристаллов и СаГ-2 от направления теплового потока и ориентации боковых граней образца. Поэтому, как показано в работе [12], для корректного учета фокусировки фононов при описании анизотропии теплопроводности к (Г) и длин свободного пробега Л в монокристаллических наноструктурах следует ввести два ориентационных параметра. Они учитывают зависимости кинетических характеристик фононной системы от ориентации боковых граней образца и направления [1(■*/')] теплового потока, где угол ^ определяет его направление относительно осей кристалла в плоскости {.7}. Для пленок в качестве {.7} выбирается ориентация плоскости пленки, для объемных материалов [12] с прямоугольным сечением ориентация широкой грани образца. Поэтому, в отличие от изотропной среды, кинетические характеристики монокристаллических наноструктур зависят от двух ориентационных параметров:
«СГ) (Г) и
Предложенный метод является актуальным, поскольку в значительном числе публикаций, посвященных исследованию фононного транспорта в пленках и нанопроводах, эффекты, обусловленные фокусировкой фононов, не учитывались. Так, например, в работах [16,17] для граничного рассеяния в наноструктурах на основе кремния и алмаза использовалась теория Казимира [11], справедливая только для модели изотропной среды. А при изложении экспериментальных результатов в обзорах [1 3] не указывались направления теплового потока и ориентации плоскостей пленок относительно кристаллографических осей. Нами показано, что изменение ориентации кремниевой пленки может приводить к изменению значений теплопроводности более, чем в два раза. Далее будет видно, что отсутствие такой информации создает определенные трудности при интерпретации результатов эксперимента.
В работах [5,6] были измерены температурные зависимости теплопроводности кремниевых пленок различной толщины в интервале температур от 17 до 350 К. В низкотемпературной области 20 40 К теплопроводность пленок толщиной £) = 1.6, 0.83,
0.42 мкм в пределах погрешности эксперимента следовала зависимости к (Г) ос Т3, как и теплоемкость объемных образцов в теории Дебая. Поэтому при расчете теплопроводности пленок, как и при анализе теплопроводности нанопроводов [7], будет использован трехмерный спектр акустических фононов. Мы проанализируем влияние фокусировки фононов на анизотропию и температурные зависимости теплопроводности кремниевых пленок, экспериментально исследованных в работах [5,6]. Покажем, что использование времен релаксации фононов для рассеяния на границах образцов с учетом фокусировки фононов [8,9], а также параметров ангармонического рассеяния [7,12] позволяет удовлетворительно описать температурные зависимости теплопроводности пленок во всем температурном интервале. Рассмотрим зависимости теплопроводности от геометрических параметров, ориентаций плоскостей пленок и направлений теплового потока относительно осей кристалла. Решение этих проблем позволит определить ориентации плоскостей пленок и направления потока тепла, обеспечивающие максимальный или минимальный теплоотвод от элементов кремниевых микросхем. Эти проблемы являются актуальными для кремниевой микроэлектроники [1 6] и являются предметом изучения настоящей работы.
2. МЕХАНИЗМЫ РЕЛАКСАЦИИ ФОНОНОВ
И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ НАНОПЛЕНОК
Для анализа теплопроводности используется трехмодовая модель Каллавея [18 20]. В этой модели выделяются вклады резистивпых ¿'/¿[пг)]^ н нормальных процессов релаксации фононов
в полную скорость релаксации где с^
волновой вектор фонола. Резистивные процессы рассеяния приводят к релаксации импульса фононной системы. К ним относятся рассеяние фононов на фонолах в процессах переброса, на дефектах ь>}ЯО(д) и на границах образца, ^¿Щ^р поэтому
4{/(!.)] = ив\!и-)] + "¡»о(ч) + ри(ч)-
В нормальных процессах релаксации импульс фононной системы сохраняется. Эти процессы перераспределяют энергию и импульс между различными фононными модами и стремятся установить дрейфовое локально-равновесное распределение, которое описывается смещенной функцией Планка [7,18 20]. Если в этих процессах участвуют фонолы различных поляризаций, то они стремятся установить оди-
паковую скорость дрейфа для всех ветвей фонон-ного спектра. Мы рассматриваем этот вариант релаксации импульса в нормальных процессах рассеяния для кремниевых пленок аналогично тому, как это сделано ранее [7] для нанопроводов. В отличие работ [18 23] при анализе фононного транспорта мы учитываем фокусировку фононов и обусловленную ей зависимость теплопроводности от ориентации теплового потока.
Решеточную теплопроводность в трехмодовой модели Каллавея можно представить в виде адди-
тивной СуММЫ ДиффуЗИОННОГО «¿//[/(¡.)]
{•'} т>
вого вкладов. В отличие от нанопроводов с
круглым сечением, теплопроводность пленок зависит не только от направления потока тепла, но и от ориентации {.7} плоскости пленки:
и дрейфо-
xdi/{i(V)
1 2л
(ф2ф2
■ tlx.
X'dr[IiV)}
12(2тг)
(1)
соответственно на направление градиента температуры и на ось г, и>А частота фонона с поляризацией А при учете дисперсии тепловых фононов. Индексы «А» поляризации фононов выберем следующим образом: индекс «/» соответствует продольным фонолам, а «¿1» и «1-2» соответственно «быстрой» (верхней) и «медленной» (нижней) поперечным колебательным модам.
При расчете теплопроводности пленок, как и для нанопроводов [7], используется трехмерный спектр тепловых фононов в Бь определенный из данных по иеупругому рассеянию нейтронов [24]. Для симметричных направлений он аппроксимируется полиномом седьмой степени по приведенному волновому вектору х фонона, а при экстраполяции спектра на всю зону Бриллюэна используется разложение по кубическим гармоникам (см. подробнее [25]). Эта аппроксимация сохраняет кубическую симметрию и позволяет анализировать изменение фокусировки фононов при переходе от длинноволнового предела .г -С 1 к коротковолновому пределу х ~ 1. В пределе длинных волн х <С 1 она переходит в модель анизотропного континуума.
Важной характеристикой, определяющей фонон-ный транспорт, является групповая скорость. В системе координат, связанной с ребрами куба, она может быть представлена в виде [25]
где
фА{./} _ „
^ фа{/}
Л'Л[/( г:-)]
1 2 л
cos 9 d( cos 9) j dp j/4 x 1 о
x
Т/Л ,.3». A
'g- "Л
1 ZTX
*N$n,)] = j d(cos9) f dptfx
VNvR{I(V))
(2)
sh2 /2
dx,
-x —
y(T,9,p
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.