МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 • 2014
УДК 532.517
© 2014 г. Е. И. БОРЗЕНКО, О. Ю. ФРОЛОВ, Г. Р. ШРАГЕР
ФОНТАНИРУЮЩЕЕ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
ПРИ ЗАПОЛНЕНИИ КАНАЛА С УЧЕТОМ ДИССИПАТИВНОГО РАЗОГРЕВА
Исследуется фонтанирующее течение вязкой жидкости, реализующееся при заполнении плоского канала. Конечно-разностный численный метод используется для решения задачи о нестационарном, неизотермическом течении с учетом диссипации механической энергии, зависимости вязкости от температуры и наличия свободной границы. Приводятся результаты параметрических исследований кинематических характеристик потока в зависимости от определяющих безразмерных критериев.
Ключевые слова: заполнение, фонтанирующие течение, диссипативный разогрев, метод расчета, кинематика.
Процесс заполнения емкостей жидкостью широко реализуется в технологических процессах различных отраслей промышленности, в частности, в производстве изделий из полимерных композиций методом литья под давлением осуществляется заполнение пресс-форм полимерной жидкостью. Фонтанирующим течением принято называть движение среды в окрестности поверхности раздела двух несмешивающихся потоков, когда одна жидкость вытесняет другую [1]. Микроструктура изделия, его механические и теплофизические свойства существенно зависят от кинематических, динамических и тепловых характеристик течения, реализуемого при заполнении [2, 3]. В общем случае течение полимерной жидкости при заполнении характеризуется сложным реологическим поведением, неизотермичностью, химическим превращением, наличием свободной поверхности. Учет перечисленных факторов в математической модели для количественного описания заполнения усложняет задачу не только с точки зрения получения её решения, но и при формулировке и анализе критериальных зависимостей с целью прогнозирования и оптимизации процесса. В этой связи для детального исследования эффектов того или иного фактора в рассматриваемом процессе целесообразно в математической модели ограничиться учетом выбранного фактора.
За последние десятилетия предпринято множество попыток качественного и количественного описания процесса заполнения, реализуемого при переработке полимерных композиций методом литья под давлением. При этом в большинстве случаев математические модели не учитывают все перечисленные особенности процесса.
В работах [4, 5] проведен анализ экспериментальных и теоретических исследований течения при заполнении в плоском и осесимметричном приближениях. При математическом моделировании используются приближенные и численные методы решения сформулированных задач. Отмечаемо, что при заполнении канала можно выделить две области: зоны одномерного течения на достаточном удалении от свободной поверхности и фонтанирующего течения в окрестности свободной поверхности [4, 6].
Современный уровень исследования эволюции свободной поверхности и характеристик фонтанирующего течения обсуждается в работе [7]. Отмечается, что к настоящему времени существуют эффективные численные методы расчета течений жидкости со свободной поверхностью: ЛЬБ-метод [8], УОБ-метод [9], методы функции
Фиг. 1. Область решения и картина фонтанирующего течения
уровня [10] и конечных элементов. Использование современных численных методов позволяет реализовывать адекватные математические модели и более точно предсказывать эволюцию свободной поверхности и детали фонтанирующего течения. В статье исследуется влияние инерции, гравитации, сжимаемости, поверхностного натяжения и условий скольжения на стенке на форму свободной поверхности, картину течения при заполнении плоского канала и круглой трубы.
Неизотермичность процесса заполнения емкостей полимерной жидкостью обуславливается диссипацией энергии в потоке, химическими превращениями, условиями теплообмена на границах. Интенсивность вязкой диссипации как механического источника тепла определяется вязкостью среды и значениями составляющих тензора скоростей деформаций. Соответствующее изменение температуры приводит к изменению вязкости и, следовательно, влияет на кинематические и динамические характеристики потока. В большинстве исследований влияние диссипативного разогрева на температуру жидкости при заполнении емкостей оценивается рассмотрением течений без учета свободной поверхности. Обзор подобных работ представлен в [11, 12].
Имеются работы, в которых исследования проводятся с учетом свободной границы [13—15]. В [15] численно рассмотрено неизотермическое заполнение канала реологически сложной жидкостью, в том числе с учетом диссипативного разогрева и наличия свободной границы с использованием метода конечных элементов и технологии ЛЬБ-метода для расчета динамики свободной поверхности. Демонстрируются поля температуры, скорости и проводится сравнение с экспериментальными результатами для полиэтилена низкой плотности.
Цель данной работы — исследование влияния диссипативного разогрева на форму свободной поверхности и кинематику фонтанирующего течения при заполнении канала с использованием оригинального численного метода, позволяющего аппроксимировать естественные граничные условия на явно выделенной свободной границе.
1. Постановка задачи. Рассматривается заполнение вертикального плоского канала несжимаемой жидкостью в поле силы тяжести с учетом диссипативного разогрева, зависимости вязкости от температуры и наличия свободной поверхности. Линии тока, характеризующие типичную картину такого течения, в неподвижной системе координат представлены на фиг. 1, а в системе координат, движущейся со среднерасходной скоростью, — на фиг. 1, б.
Течение описывается уравнениями движения, неразрывности и энергии, которые в безразмерных переменных принимают вид
Ке^ = -Vр + V • (2ВЕ) + W Л
V ■ V = 0
Ре ^ = А0 + С12В12 йг 1 2
Зависимость вязкости от температуры описывается выражением, являющимся безразмерным аналогом уравнения Рейнольдса [16]
В = е ~С0 (1.1)
Здесь V — вектор скорости; р — давление; t — время; W = {0, 9 = (Т - Т0)/Т0 — температура; T, T0 — размерная температура жидкости в потоке и на твердой стенке, соответственно; 12 = е^е^ — второй инвариант тензора скоростей деформаций E;
Ке = р иь/ц — число Рейнольдса; W =рgL /ц и — параметр, характеризующий отношение гравитационных и вязких сил; Ре = ср иь/X — число Пекле; С1 = р. и /X Т0 — параметр, характеризующий соотношение диссипативного разогрева и кондуктивного переноса тепла; С2 = аТ0 — параметр экспоненциальной зависимости вязкости от температуры; р — плотность; ^ — вязкость при температуре Т0; g — ускорение силы тяжести; а — константа; c — теплоемкость; X — коэффициент теплопроводности.
В качестве масштабов обезразмеривания выбраны следующие величины: длины — полуширина канала Ь; скорости — среднерасходная скорость во входном сечении и; давления — величина ц и / Ь, вязкости — вязкость ^.
На свободной поверхности Г1 (фиг. 1) в качестве граничных условий используются отсутствие касательного напряжения и равенство нормального внешнему давлению, которое без ограничения общности можно считать равным нулю. Кроме того, свободная граница подчиняется кинематическому условию. На входной границе Г2 задаются распределения скорости и температуры в соответствии с используемой физической постановкой. На твердой стенке Г3 выполняется условие прилипания, а температура совпадает с температурой стенки. На линии симметрии Г4 выполняются условия симметрии. Силы поверхностного натяжения не учитываются.
Таким образом, граничные условия записываются в виде
Г1: до* + = 0, р = 2 в '—И, 56 = 0
д. дп дп дп (1.2)
Г2: их = 0, иу = /(х), 9 = ф(х)
Г3: их = 0, иу = 0, 9 = 0
Г4: их = 0, ^ = 0, др = 0, д9 = 0 (1.3)
дх дх дх
Условия (1.2) записаны в локальной декартовой системе координат, нормально связанной со свободной поверхностью. Движение свободной границы Г: осуществляется в соответствии с кинематическим условием, которое в лагранжевом представлении записывается в виде
Т, = их, | - иу (14)
Фиг. 2. Профили скорости (а) и температуры (б) в выходном сечении при Re = 0.001, Pe = 1000, C1 = 2, С2 = 1.33: 1, 2 — шаг сетки 1/10, 1/20; 3 — полуаналитическое решение
В начальный момент времени канал частично заполнен жидкостью, и свободная поверхность расположена на достаточном удалении от входной границы Г2, чтобы исключить ее влияние на характер течения в окрестности последней. Начальное поле скорости и температуры соответствует физической постановке задачи.
2. Метод решения. Для численного решения сформулированной задачи применяется конечно-разностный метод [17]. Метод базируется на использовании метода инвариантов для расчета характеристик течения на свободной поверхности [18] и методе SIMPLE для расчета искомых переменных во внутренних узлах разнесенной сетки [19]. При этом значения скоростей и температуры вычисляются с применением экспоненциальной и противопоточной схем соответственно. Согласно [18], первое из условий (1.2) записывается совместно с уравнением неразрывности, что позволяет использовать схемы бегущего счета для вычисления составляющих скорости частиц — маркеров на свободной границе. Соответствующие значения давления и температуры вычисляются из разностных аналогов второго и третьего условий из (1.2) соответственно. Эволюция свободной поверхности определяется из разностных аналогов условия (1.4) с использованием схемы Эйлера.
Тестирование методики расчета проводилось на задаче течения жидкости в плоском канале с заданным расходом и учетом диссипативного разогрева и экспоненциальной зависимости вязкости от температуры (1.1). На входе в канал задавались параболический профиль для скорости и нулевая температура, а на выходе — мягкие граничные условия. На твердой стенке выполнялись условия (1.3). При этом длина канала выбирается достаточной для установления стационарного течения в выходном сечении. Результаты расчетов сравнивались с полуаналитическим решением эквивалентной одномерной задачи [20]. На фиг. 2 представлено сравнение распределений скорости и температуры на выходе из канала, полученных численным методом, с решением одномерной задачи. Хорошее согласование подтверждает достоверность методи
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.