УДК 523.98
ФОРМА И КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 11-ЛЕТНИХ СОЛНЕЧНЫХ ЦИКЛОВ © 2014 г. Е. М. Рощина, А. П. Сарычев
Государственный астрономический институт имени П.К. Штернберга Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, Москва, Россия
e-mail: stella_ro@mail.ru Поступила в редакцию 16.12.2013 г.
Предлагается аппроксимировать 11-летние солнечные циклы функцией с пятью параметрами. Три параметра определяются индивидуально для каждого цикла. Значения этих параметров соответствуют дате начала цикла, его амплитуде и продолжительности ветви роста активности. Одинаковая для всех циклов комбинация двух других параметров выбирается заранее. Варьируя значения этих безразмерных параметров, можно добиться хорошего качества аппроксимации. Предлагаемую аппроксимацию можно использовать для оценки количественных характеристик цикла.
DOI: 10.7868/S0320930X14060085
ВВЕДЕНИЕ
Основными количественными характеристиками 11-летнего солнечного цикла являются: (1) — дата начала цикла (стартовое время); (2) Т — продолжительность роста сглаженного индекса активности от момента ?0 до даты максимума ?м; 3) Ям — амплитуда цикла, т.е. значение сглаженного индекса активности в момент его максимума. Можно ли, определив значения трех параметров ?0, Т, Ям, описать плавные изменения индекса активности на протяжении всего цикла? Иначе говоря, можно ли построить функцию, аппроксимирующую цикл с помощью трех перечисленных параметров? Решение такой задачи предлагается во втором разделе настоящей работы. В третьем разделе будут получены формулы для вычисления некоторых характеристик цикла. В следующем разделе будут рассмотрены эмпирические связи между параметрами Т и Ям одного и того же цикла и между датами начала ?0 двух последовательных циклов. Полученные результаты обсуждаются в заключительном разделе статьи.
ВЫБОР АППРОКСИМИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ
Выбор вида функции для аппроксимации 11-летних циклов относится к классическим задачам исследования солнечной активности. Часто используется функция, предложенная 75 лет назад Stewart, Panofsky (1938). Некоторые функции, рекомендованные разными авторами, рассмотрены в книге Витинского, Копецкого и Куклина (1986). Другие функции и ссылки на ра-
боты по этой теме приводятся в статьях Hathaway и др. (1994), Кононовича (2005), Volobuev (2009), Рощиной и Сарычева (2011). В последней статье анализируется функция (de Meyer, 1981)
Щ) = и(( - ?о)Дм ехр
\ Т / ^ V / у
свободные параметры ?0, Т, Ям которой имеют смысл, указанный в начале статьи. Здесь и(х) — единичная ступенчатая функция: и(х) = 0 при х < 0 и и(х) = 1 при х > 0 (в дальнейшем множитель и(? — — ?0) будет подразумеваться, но не записываться).
Функция (1) является частным случаем для р = = q = 2 такой аппроксимирующей функции
1-
t -t T
2\
(1)
R() = R
M
t -tc T
exp
f f Р
q
i-
t —tt T
(2)
Другой частный случай для q = 1 рассматривали Stewart, Panofsky (1938). Очевидно, что форма функции (2) зависит от выбранной комбинации коэффициентов p, q (выбор не ограничен целыми числами). Комбинируя значения p, q, можно повлиять на качество аппроксимации. Свободные параметры t0, T, RM функции (2) имеют такой же смысл, как аналогичные параметры функции (1). В этом легко убедиться, вычислив производную функции (2) по времени:
Р
dR = R (t) dt t -1
1 -
t -1 с T
(3)
Производная равна нулю, когда ? = ?0 + Т = ?м. Следовательно, функция (2) достигает максимума в момент ?м, причем величина этого максиму-
Годы от максимума цикла Годы от максимума цикла
Рис. 1. Оценка пригодности аппроксимирующих функций. Сплошной линией показана функция (4), полученная при наложении друг на друга функций вида (2), аппроксимирующих циклы №№ 8—23. На рис. 1а представлен вариант для р = q = 2 и Тх = 4.6 года, а на рис. 1б — дляр = 4, q = 1 и Тх = 4.3 года. Точки соответствуют среднемесячным значениям числа Вольфа, преобразованным так же, как функции (2).
ма равна Я(1м) = Ям. Вообще говоря, аппроксимацию изменений индекса активности функцией (2) можно рассматривать как способ определения основных количественных характеристик 10, Т, Ям цикла.
Аппроксимирующие функции (2) для нескольких циклов можно наложить друг на друга путем их сдвига вдоль оси времени и растяжения или сжатия раздельно по осям времени I и индекса активности Я. Величина сдвига и растяжения— сжатия для каждого цикла определяются значениями его параметров |0, Т, Ям. Требуемый сдвиг можно осуществить, используя вместо реального времени I условное время т, равное
т = I — 10 — Т.
Функция Я(т) для каждого цикла достигает своего максимума, равного Ям, при т = 0. Для уравнивания циклов по амплитуде достаточно разделить все функции Я(т) на соответствующие значения Ям:
г(т) = Л(т>/Ям = (Т + 1
ехр
Я
Р\\-(^ + 1
Т
(4)
Функции (2) для всех циклов, преобразованные к виду (4), будут иметь одинаковую единичную амплитуду. Совпадая в точке максимума, функции (4) не совпадут в других точках из-за разной продолжительности Т ветви роста активности. Искусственным приемом, сжимая или растягивая функцию (4) по оси условного времени т, можно значения Т для всех циклов сделать равными заранее заданной величине Тх. Для этого аргумент каждой функции (4) нужно изменить так, чтобы выполнялось соотношение т/Т = тх/Тх. Иначе го-
воря, все значения г(т) функции (4) следует относить не к аргументу т, а к аргументу т х = т (Тх/Т), т.е. аргумент умножить на (Тх/Т). С помощью описанной выше процедуры все функции вида (2), аппроксимирующие разные циклы, преобразуются в функцию г(тх) вида (4) при Т = Тх, т.е. накладываются друг на друга. Применив такую же процедуру для наблюдаемых значений индекса активности в каждом цикле, получим совокупность точек, характеризующих форму цикла единичной амплитуды с длительностью ветви роста Т = Тх. Таким способом можно объединить результаты наблюдений разных циклов. Если Тх приравнять среднему значению параметра Т для анализируемых циклов, то функция г(тх) будет иллюстрировать форму "среднего" цикла с амплитудой, принятой за единицу. График функции г(тх) можно построить вместе с точками, полученными при объединении наблюдаемых значений индекса активности для всех рассматриваемых циклов. Соответствие между точками и функцией г(тх) вида (4) наглядно покажет, насколько удачным был выбор параметров р, q аппроксимирующей функции (2).
Примером такого анализа пригодности аппроксимирующих функций служат рис. 1а, 1б. Здесь сплошными линиями показаны аппроксимирующие функции вида (4) для р = q = 2 и Тх = = 4.6 года (рис. 1а) и для р = 4, q = 1 и Тх = 4.3 года (рис. 1б).
В обоих случаях средние значения Тх продолжительности ветви роста найдены для цюрихских циклов №№ 8—23 с помощью аппроксимации (2). Использовались среднемесячные значения отно-
ФОРМА И КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 11-ЛЕТНИХ СОЛНЕЧНЫХ ЦИКЛОВ
497
сительного числа пятен R(t) (числа Вольфа). Участки заметного перекрытия соседних циклов исключались из обработки, как в нашей предыдущей работе (Рощина, Сарычев, 2011). Однако, в отличие от этой работы, учитывались сглаженные значения индекса активности в общепринятые моменты минимума активности R(tmin). Предполагалось, что вклады смежных циклов в величину R(tmin) одинаковы. Использование данных о минимуме активности должно уточнить вычисление даты начала цикла t0, которая определяется путем экстраполяции функции (2) к нулевому уровню активности. При этом значение t0 будет зависеть от конкретного вида функции (2), т.е. от комбинации параметров p, q.
На рис. 1а, 1б две функции вида (4), описывающие найденную форму "среднего" цикла, показаны на фоне точек, послуживших основой для их вычисления. Хорошо заметно, что функция (4) при p = q = 2 плохо описывает рост активности в начале цикла, а при p = 4, q = 1 такая функция не соответствует спаду активности в конце цикла. В то же время, функция (4) при p = 4, q = 1 хорошо аппроксимирует рост активности от начала до максимума цикла и значительный участок спада после максимума. Судя по рис. 1б, в этом варианте эмпирические параметры t0, T, RMфункции (2) достаточно надежно характеризуют соответственно дату начала, продолжительность ветви роста и амплитуду цикла. Полученные путем аппроксимации (2) при p = 4, q = 1 основные количественные характеристики циклов №№ 8—23 приведены в таблице.
Чтобы по этим данным достоверно воспроизвести изменение индекса активности на протяжении всего цикла, предлагается функцию (2) использовать при следующем условии:
p = 4, q = 1 при t< tM иp = 2.5, q = 1.5 при t > tM. (5)
Функция (4) при условии (5), фактически состоящая из двух функций вида (4), показана на рис. 2 сплошной линией.
Очевидно, что в точке максимума обе функции равны по величине (г(тм) = 1) и имеют одинаковую производную (dr/dx = 0). Поэтому стыковка функций выглядит "плавной". Фоном для составной функции являются точки, вычисленные для рис. 1б. На рис. 2 видно, что составная функция надежно аппроксимирует объединенные данные о 16 последних завершившихся циклах. Таким образом, функцию (4) при условии (5) и Т = Тх = 4.3 года можно рассматривать как форму "среднего" 11-летнего цикла, приведенного к единичной амплитуде.
В нашей таблице содержатся основные количественные характеристики 16 циклов, найденные путем аппроксимации (app). Сравним эти данные с их международными (int) значениями,
Значения эмпирических параметров Т, Ям аппроксимирующей функции (2) при р = 4, q = 1, найденные способом наименьших квадратов (MATLAB, функция кдсигуей^. Дата начала цикла (стартовое время) ^ и продолжительность ветви роста Т выражены в годах, а максимальное значение сглаженного индекса активности Ям — в шкале чисел Вольфа
№ цикла ?0 Т R M
8 1833.19 4.06 133.9
9 1843.69 4.83 110.6
10 1855.54 4.83 92.0
11 1867.37 3.59 130.7
12 1878.93 4.17 69.7
13 1889.28 4.34 84.4
14 1901.44 4.84 64.0
15 1913.53 4.02 89.3
16 1923.27 4.21 78.5
17 1933.70 4.26 113.6
18 1944.21 3.91 153.6
19 1954.23 3.72 202.5
20 1963.92 5.11 111.4
21 1976.17 4.12 163.6
22 1986.36 3.74 165.1
23 1996.23 4.44 120.3
полученными при стандартном сглаживании 13-месячным с
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.