ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2015, том 78, № 3-4, с. 226-239
ЯДРА
ФОРМФАКТОР ДВУХЧАСТИЧНОЙ СИСТЕМЫ В РЕЛЯТИВИСТСКОМ КВАЗИПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОДХОДЕ: СЛУЧАЙ ПРОИЗВОЛЬНЫХ
МАСС И ВЕКТОРНОГО ТОКА
© 2015 г. Ю. Д. Черниченко*
Гомельский государственный технический университет им. П.О. Сухого, Республика Беларусь
Поступила в редакцию 12.05.2014 г.
Получен новый релятивистский формфактор двухчастичной связанной системы для случая векторного тока. Рассмотрение проводится в рамках релятивистского квазипотенциального подхода, основанного на ковариантной гамильтоновой формулировке квантовой теории поля, путем перехода к трехмерному релятивистскому конфигурационному представлению для случая взаимодействия двух релятивистских бесспиновых частиц произвольных масс.
DOI: 10.7868/80044002715010043
1. ВВЕДЕНИЕ
Исследование поведения упругих адронных формфакторов в области больших переданных импульсов позволило выявить закономерность их поведения [1]. Для описания поведения формфакторов широко используются различные полюсные модели векторной доминантности (VDM). Эти модели успешно воспроизводят поведение пионного формфактора как в пространственноподобной, так и во времениподобной областях [2], а также поведение нуклонного формфактора в пространственноподобной области [3]. Однако экспериментально наблюдаемое при больших значениях квадрата переданного 4-импульса Q2 = —t быстрое убывание электромагнитного протонного формфактора во времениподобной области по закону диполя (~t-2) не нашло своего объяснения в рамках VDM-моделей. Это обстоятельство связано с тем, что VDM-модели предполагают, что налетающий на нуклон виртуальный фотон "видит" только векторные мезоны (связанные состояния кварка и антикварка), в то время как структура нуклона исследуется на малых расстояниях, где переданные 4-импульсы достаточно велики, а кварки движутся квазисвободно (обладают асимптотической свободой).
Иной подход для описания поведения барион-ного и нуклонного электромагнитных формфакто-ров во времениподобной области вблизи их порога был предложен в работах [4—6]. Этот подход
E-mail: chern@gstu.by;chyud@mail.ru
основан на представлении барионного (нуклонного) электромагнитного формфактора во времениподобной области вблизи ББ(М1Ч)-порога в виде произведения фактора, соответствующего сингулярности амплитуды перехода, лежащей вдали от БВ(НЙ)-порога, и фактора, отвечающего за сильное конечное состояние взаимодействия. Этот последний фактор дает зависимость формфактора от энергии.
Однако задача ковариантного описания форм-факторов во всей, а не только асимптотической, области энергий в рамках релятивистской квар-ковой модели, учитывающей различие их масс, остается актуальной и в настоящее время. Для решения этой задачи необходимо более детально знать динамику взаимодействующих кварков, в частности, знать ковариантные волновые функции их относительного движения.
Для нахождения ковариантных волновых функций относительного движения в квантовой теории поля широко используются релятивистские ковариантные двухчастичные квазипотенциальные уравнения Логунова—'Тавхелидзе [7] и Кадышев-ского [8, 9]. Описание формфакторов составных систем, основанное на применении трехмерного релятивистского квазипотенциального (РКП) уравнения Логунова—Тавхелидзе, было выполнено в работах [10—14]. Поскольку формфактор выражался через волновую функцию в импульсном представлении, то такой подход не позволил авторам исследовать поведение формфактора в широком интервале значений квадрата переданного 4-импульса. В работе [15] был предложен иной подход для инвариантного описания структуры частиц, который позволяет учитывать вклад в формфактор
протона как векторных мезонов, так и вклад от центральной части протона, радиус которой равен его комптоновской длине волны. В основе этого подхода лежит возможность инвариантного описания структуры частиц путем перехода в релятивистское конфигурационное пространство, введенное в работе [16] для случая взаимодействия двух релятивистских бесспиновых частиц равных масс т. Этот же метод перехода к релятивистскому конфигурационному представлению для случая взаимодействия двух релятивистских бесспиновых частиц равных масс [16] был использован в [17] для построения трехмерного ковариантного формализма описания двухчастичных релятивистских систем. В рамках этого формализма были получены выражения для формфакторов релятивистских двухчастичных систем [18, 19].
В настоящей работе в рамках РКП-подхода, основанного на гамильтоновой формулировке квантовой теории поля [8, 9], путем перехода к релятивистскому конфигурационному представлению для случая взаимодействия двух релятивистских бесспиновых частиц произвольных масс т1,т2 [20, 21] найдено выражение для упругого формфактора релятивистской двухчастичной связанной системы в случае векторного тока.
2. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ
Для ковариантного описания двухчастичной системы в квантовой теории поля широко используется четырехмерное уравнение Бете—Солпитера. Однако в четырехмерном подходе Бете—Солпитера волновая функция двухчастичной связанной системы с массой М, спином или моментом 1 и полным 4-импульсом К, определяемая как матричный элемент
^Bs(xi,x2 ; K) = = {0\T{<pi(xi)<fi2(x2)}\M,J, K),
xi — (x0; xi), i — 1,2,
где х = х\ - х2; д = (91 - 9г)/2; Ад = О./л/О? — 4-вектор скорости составной частицы (Q = 91 + + 92), а
^Qp(q) = ! Л(А)х ехр(1дх)5^х)Ъв8(х-, К) (3)
является волновой функцией относительного движения. Здесь была учтена трансляционная инвариантность, которая позволяет выделить из выражения (1) движение центра инерции двухчастичной системы:
^Bs(xi,x2; K) = exp -i
XX
2
^bs(x; K), (4)
(1)
^bs(x; K) = {0\T(x/2)<p2(—x/2)}\M,J, K), X = xi + x2.
Заметим, что аргумент ¿-функции Xqx имеет смысл относительного времени двух частиц и в с.ц.и. xo = Xqx = x° — x2 = 0(Q = 0), а значит, в выражении (3) ковариантным образом исключена зависимость от относительного времени двух частиц. Таким образом, описание составной системы ведется в терминах одной временной переменной — собственного времени системы tq = XqX. Кроме того, РКП-подход для случая взаимодействия двух релятивистских частиц произвольных масс mi и m2, развитый в работах [20, 21], позволил ввести концепцию эффективной релятивистской частицы массы m' = ^/rriim2, выступающей в качестве двухчастичной связанной системы. Тем самым двухчастичная задача сводится к одноча-стичной, описание которой ведется на языке волновой РКП-функции ФMq(Ар',т'\а) эффективной релятивистской частицы, удовлетворяющей полностью ковариантному РКП-уравнению Кадышев-ского в пространстве моментов с вектором 4-скорости Xq = (Xq; Xq)
(2Д° ,m'\Q — 2A<0',m'\Q №mq (Ap',m' Xq ) = (5)
не имеет ясного физического смысла, так как она зависит от относительного времени двух частиц хо = х0 — х2. Исключение этой зависимости достигается в рамках РКП-подхода Логунова— Тавхелидзе [7] и Кадышевского [8, 9]. Ковариант-ная процедура перехода к одновременной (квазипотенциальной) волновой функции может быть осуществлена следующим образом [14, 17, 18]:
Фдр(91,92; К) = ! й(4)х1^(4)х2 х (2) х ехр^х + iq2X2)5(XQх)Фвб(Х1 ,х2; К) = = (2п)45(4) (а — К)Фо^р (9),
2ц 1
Ш7(2тг)3
х V(Д р',т'Х, , Дк',т'\Q ; ^о' ,т'Х,")Ф М, (
Здесь ц = т1т2/(т1 + т2) — обычная приведенная масса двух частиц произвольных масс,
а т', = т'аДк',т'Х,/^к',т'Х, ~ реляти-
вистский трехмерный элемент объема в пространстве Лобачевского, причем теперь все 4-импульсы принадлежат верхней поле массового гиперболоида
Д °2 А 2 = m/2
^h',m'XQ — Ak',m'XQ = m ,
(6)
'-Мы будем всюду использовать систему единиц, в которой положено К = с = 1.
X
которая погружена в 4-мерное импульсное пространство и служит моделью релятивистского неевклидова пространства импульсов. На поверхности массового гиперболоида(6) группа Лоренца является его группой движений. Если выбрать чистое преобразование Лоренца ("буст") Л-0, соответствующее 4-скорости составной частицы Ад: 2 = (Ыд; 0), то для компонент 4-вектора Ак',т'\а из пространства Лобачевского получим
А'
к',т'\а = (Л-0к')0 = к0Ад - к' • хд =
Д
к',т'Хо
т'2 + ДЬ,т'Ха ,
ЛД1 к' = к'(-)т'Хд =
к' - \д[ к'0 -
к' X
д
1 + А0
д
и
А0
т'2 + Д
2
д',т'Хо'
=2,
1 +
'вд - (т\ + т2)2
у вд - (т\ - т2)2
вд - (Ш1 + т2)2 «д - (ГП1 ~ ГП2)2
-1
В частности, если зависимость между кинетической энергией относительного движения и релятивистской относительной скоростью V взаимодействующих частиц дается выражением [20, 21]
Ч'2
1
1
(10)
(7)
Уравнение (5) можно рассматривать как непосредственное релятивистское обобщение уравнения Шредингера в духе геометрии Лобачевского, реализующейся на верхней поле массового гиперболоида (6). Это уравнение описывает рассеяние на
квазипотенциале V(Др',т'\о, Дк',т'хо ;А0' т'Хо) эффективной релятивистской частицы, которая выступает в качестве двухчастичной системы, имеет массу т', относительный 3-импульс Дд',т'ха и несет полную энергию двух свободных релятивистских частиц произвольных масс =
= Ыд, пропорциональную энергии т'Хо одной эффективной релятивистской частицы массы т':
(8)
Отметим, что уравнение (5) отличается от квазипотенциального уравнения, рассмотренного в работе [22], вследствие введения в него релятивистской приведенной массы. Однако, как было показано в [22], можно использовать различные выражения для релятивистской приведенной массы путем выбора функциональной связи между относительным импульсом q и релятивистской относительной скоростью V взаимодействующих частиц, связанной с их полной энергией хорошо известным соотношением
(9)
то вместе с соотношением (9) это приводит к выражению (8)2). Такой выбор функциональной связи позволил ввести концепцию эффективной релятивистской частицы, выступающей в качестве двухчастичной системы [20, 21].
Собственно преобразования Лоренца означают трансляцию в пространстве Лобачевского, реализующегося на верхней поле массового гиперболоида (6). Роль плоских волн, соответствующих этим трансляциям, играют релятивистские "плоские" волны [20, 21]
С(Др',т'Хо, Г)= (11)
_ - Др',т'Хо • п
р' ,т'Х о
-1-гг/Х'
т'
где А
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.