РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 5, с. 602-606
ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС В РАДИОФИЗИКЕ И ЭЛЕКТРОНИКЕ
УДК 517.9
ФОРМИРОВАНИЕ "БИСТАБИЛЬНЫХ" ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ С ПОМОЩЬЮ ЖДУЩЕГО ТРИГГЕРА
© 2004 г. Э. В. Кальянов
Поступила в редакцию 17.06.2003 г.
Рассмотрены две математические модели систем, в которых на основе ждущего триггера, находящегося под воздействием внешнего сигнала при определенных условиях автокоммутации формируются хаотические автоколебания с переключением движений между двумя бассейнами притяжения.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время проводятся широкие исследования хаотических колебаний в простых системах со сложной динамикой. Простые хаотические системы найдены в различных областях науки и техники: радиофизике, биологии , химии и др. [1-7]. Изучение таких систем позволило изменить некоторые представления в современной теории нелинейных колебаний, и исследования новых возможностей простых систем представляет несомненный интерес.
Одной из наиболее простых и интересных систем с хаотической динамикой является генератор Чуа [8, 9]. Этот генератор отличается от известной схемы ждущего триггера [10] лишь наличием емкости, шунтирующей индуктивность. Однако образующийся в триггере колебательный контур приводит к совершенно новому (хаотическому) поведению системы. Малое отличие генератора Чуа от схемы триггера не умаляет его значимости, а наглядно иллюстрирует тот факт, как малое изменение схемы может приводить к принципиально новым эффектам.
Представляется возможным возбуждение хаотических колебаний при использовании схемы ждущего триггера иным способом. Это исследуется в данной работе. На основе уравнений триггера рассматриваются системы с его "автокоммутацией". Приводятся результаты численного анализа хаотического поведения рассматриваемых систем.
1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ХАОТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
При построении математической модели формирования хаотических колебаний воспользуемся нормированными уравнениями триггера, приведенными в [11]
йх/йг = г + каг^(х), йг/йг = -5х - г(1 + р), (1) где к, 5, р - постоянные коэффициенты.
Эти уравнения можно получить также при нормировании уравнений триггера, приведенных в [10], если учесть в уравнениях этой работы потери в индуктивном элементе (параметр р), а характеристику аппроксимировать с помощью круговой функции.
Ждущий триггер, описываемый уравнениями (1), обладает при малых значениях параметра потерь двумя устойчивыми состояниями, автоколебания невозможны. Однако колебания могут быть возбуждены, причем хаотические, если ввести в уравнения (1) внешний сигнал с определенными условиями коммутации. Уравнения одного из возможных вариантов такой системы могут быть получены при использовании внешнего гармонического сигнала f(t), заданного определенными условиями коммутации. В этом случае будем иметь
dx/dt = z +к arctg (x), dz/dt = -5x - z(1 + р) + f(t), (2)
где
f (t) =
aф(x, t), если x > c, bф(x, t), если x < d,
(3)
При этом функция ф(х, г) (при заданных постоянных величинах а, Ь, с, й, у0, ю0) определяется соотношением
9(x, t) = y0x cos(ffl0 t),
(4)
Уравнения (2) совместно с условиями (3), (4) определяют математическую модель хаотической системы (первый вариант). В ней присутствует своеобразная обратная связь, так как вводимый сигнал /(г) зависит от значения сигнала х(г).
Второй вариант математической модели отличается от первого варианта записью выражения (4) в связи с использованием вместо внешнего гармонического сигнала реальных колебаний внешнего генератора, находящегося, в свою очередь, под воздействием колебаний с выхода триггера.
В качестве источника регулярных колебаний можно применять автоколебательные системы различного типа. В частности, для математической модели можно использовать систему уравнений Чуа, так как существуют относительно широкие значения параметров, при которых в цепи Чуа реализуются не хаотические, а регулярные колебания [12], причем значительно более интенсивные, чем хаотические. Более того, как показано в [13], из уравнений Чуа можно (при кубической аппроксимации нелинейности) получить уравнение Ван дер Поля, в связи с чем возможность регулярных колебаний в генераторе Чуа представляется вполне естественной.
Уравнения Чуа имеют вид [9] йы/йг = а^ - Н(ы)],
= ы - V + м, (5)
йм/йг = -в V,
где а, в - постоянные коэффициенты, к(ы) - нелинейная характеристика активного элемента, которая записывается, как правило, в виде кусочно-линейной зависимости.
При использовании генератора Чуа в качестве источника квазигармонических колебаний уравнения (5) удобно представить в форме [12], характерной для генератора с инерционностью. В этом случае, аппроксимируя нелинейность соотношением
к(ы) = ы - ц аг^ ы,
(6)
й2 V/йг2 + й v/dt + (в - а) V = - а к (ы) + г), йы/йг + а ы = а V + ац агс^ ы.
(7)
/ (г) =
ах, ы), если х > с,
(8)
240
х
320
400
480
560
640
где ц - постоянный коэффициент, можно, исключая переменную м(г), записать
Внешний сигнал у(г) представлен здесь в виде слагаемого в правой части, как это обычно делается при изучении неавтономной работы различных генераторов [14-17].
При использовании для формирования квазигармонических колебаний уравнений (7) следует вместо условий (3), (4) использовать следующие соотношения:
Ьх, ы), если х < й,
где функция у(х, ы) определяется формулой
у(х, ы) = ух(г)ы(г). (9)
При этом дополнительная обратная связь, обеспечивающая самосогласование в системе, выполняется при условии
у(г) = Ох(г), (10)
где О - коэффициент связи.
Рис. 1. Реализации колебаний в различных интервалах времени при у0 = 1, ю0 = 3.2.
Уравнения (7) совместно с условиями (8)-(10) определяют математическую модель второго варианта формирования хаотических колебаний с помощью ждущего триггера.
Численный анализ математических моделей проводился методом Рунге-Кутта 4-го порядка при шаге интегрирования по времени г, равном 0.01. Начальные условия для переменных равны 0.1. Неизменяемые параметры выбраны следующим образом. Параметры к и 8 триггера при расчетах определены значениями к = 2, 8 = 1.62, а коэффициенты в условиях (3) и (8) - значениями а = = -2.4, Ь = 2.5, с = 1.6, й = -1.5. Постоянные коэффициенты в уравнениях (7) следующие: а =12, в = = 14.286, ц =1.6. При этом полагалось, что О = 1.
Поскольку в реальных ждущих триггерах присутствуют потери в индуктивном элементе, то зависимости, в которых параметр потерь имеет фиксированное значение, целесообразно строить при р Ф 0. При расчетах таких графиков выбрано значение р = 0.002, что соответствует реальным потерям в практических системах.
2. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА
На рис. 1-4 представлены зависимости, иллюстрирующие первый вариант формирования хао-
г
г
[х]
-6 дБ
ю
-3
. 1
'V--- ■ ■ 4 Н-
-г чл-; ^ . ■■ -■■.. ■". . ..
0.01
0.02
Рис. 2. Аттрактор в интервале времени г е [480, 720] (а) и спектр мощности (б) при У0 = 1, о>0 = 3.2.
тических колебаний с помощью триггера, а на рис. 5-7 - иллюстрирующие второй вариант.
На рис. 1 приведены фрагменты реализаций, полученные при у0 = 1, ю0 = 3.2. На рис. 2а, 26 показаны аттрактор в интервале времени г е [480, 720] и спектр мощности.
Как видно, реализации колебаний отображают хаос. При этом осцилляции, как и в цепи Чуа, переключаются между двумя "устойчивыми" состояниями - проявляется бистабильность. Однако, в отличие от генератора Чуа, осцилляции являются затухающими. Переключение колебаний хаотическое; оно происходит между значениями х1 и х2, которые соответствуют устойчивым состояниям триггера при заданных параметрах, определяемым решением уравнений (1). При выбранных величинах ц = 2, 5 = 1.62, р = 0.002 два устойчивых состояния триггера согласно уравнениям (1) определяются значениями х1 = 2.4, х2 = -2.4. Эти значения несколько возрастают по абсолютной величине с увеличением р. Если при р = 0 значения х1, 2 = ± 2.33, то при р = 0.2 х1, 2 = ± 3.
Хаотический аттрактор имеет структуру двойного завитка, но совершенно иную, чем в случае генератора Чуа. Он определяется переключением затухающих осцилляций между двумя бассейнами притяжения.
Спектр мощности является непрерывным и отображает хорошее перемешивание фазовых траек-
Рис. 3. Изменение максимальных значений колебательного процесса х(г) в зависимости от параметра потерь.
торий, хотя и проявляется резонансное повышение спектральной плотности мощности хаотических колебаний на частоте ю = 3.2.
На рис. 3 иллюстрируется влияние потерь в индуктивном элементе триггера. Бифуркационная диаграмма, представленная на рисунке, показывает изменение максимальных значений колебательного процесса х(г) (обозначенных [х]) в зависимости от параметра потерь. Характерно, что хаотический разброс точек сосредоточен в окрестности двух значений [х] (двух устойчивых состояний триггера), что свидетельствует о переключении колебаний между двумя бассейнами притяжения во всем интервале изменения параметра потерь, в котором возбуждаются хаотические колебания. Из диаграммы видно, что при выбранных параметрах возможны режимы самоорганизации и срывы колебательного процесса. Самоорганизация колебаний реализуется вблизи значения р - 0.01. В интервале р е [0.012, 0.014] происходит срыв колебаний. Хаотические колебания с переключением из одного бассейна притяжения в другой прекращаются при достижении параметром потерь значения р - 0.028, причем жестким образом.
Как выяснено, в системе возможно возбуждение хаотических колебаний при изменении частоты воздействующего сигнала. При этом, однако, для сохранения хаотического режима необходим подбор величины параметра у0. На рис. 4 представлены спектры мощности, рассчитанные при значениях ю0 = 3.6, 4 и 4.4. Соответствующие значения коэффициента у0 при этом равны 1.25, 1.35 и 1.4. Представленные на рис. 4 спектры мощности являются непрерывными и подобны по виду спектру, показанному на рис. 26. Основное отличие заключается в значении частоты, определяющей резонансный пик спектральной плотности мощности хаотических колебаний.
На рис. 5 показаны реализации хаотических колебаний на выходе триггера при втором вари-
3
0
0
х
0
р
0
5
д
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.