Теория и методика обучения и воспитания
Евдокимова Л.В., соискатель Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова
ФОРМИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННОГО СПОСОБА РЕШЕНИЯ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ
С 2006 года, согласно постановлению Министерства образования Российской Федерации (от 23.09.2003), планируется обязательное введение в программу общеобразовательной школы по математике таких разделов, как комбинаторика, статистика и теория вероятностей.
Как известно, попытки включения в школьный курс математики основ комбинаторики в нашей стране уже предпринимались, но не вели к успеху. Психологический анализ трудностей усвоения комбинаторных представлений, возникающих у школьников при традиционном обучении математики показал значительную недостаточность условий формирования базовых комбинаторных понятий. Даже освоив навыки систематического перебора, учащиеся при перечислении комбинаторных соединений часто указывали «лишние» варианты в ситуациях, когда порядок элементов был не важен, или, наоборот, пропускали часть вариантов в тех случаях, когда последовательность элементов в соединении имела значение. Часто ошибки возникали и по другой причине: дети не учитывали, можно ли в данной ситуации повторять элементы в соединении или нет. Кроме того, сочетания, размещения и перестановки воспринимались школьниками как совершенно не связанные, изолированные друг от друга типы соединений, что неизбежно приводило к их путанице при решении задач. Между тем, предварительный анализ комбинаторных задач показал возможность составления единой схемы ориентировки во всех трех основных типах комбинаторных соединений. Благодаря такой схеме основы комбинаторики предполагалось представить детям в целостной форме.
Особенности полной ориентировочной основы состояли в четком выделении детьми четырех условий: 1) свойств исходного множества элементов (качественный состав и число элементов); 2) свойств образуемых соединений (качественный состав и число элементов); 3) возможности повторения элементов в соединении; 4) значения порядка следования элементов в соединении. Осознанная ориентировка на четыре названных характеристики (обычно она не дается в явном виде, а предполагается «по умолчанию») естественным образом позволила объединить все три разных типа комбинаторных соединений в общей схеме ориентировочной основы действия (схема ООД, рис. 1), где отчетливо предстали как сходные, так и отличительные черты этих соединений. Используя данную схему, учащиеся могли самостоятельно анализировать комбинаторные задания, выделять существенные условия для их решения, усваивая, таким образом, обобщенный способ решения задач на разные типы комбинаторных соединений.
Методика обучения была разработана в традициях метода планомерно-поэтапного формирования умственных действий и понятий П.Я. Гальперина1 и опробована на учащихся 4-х и 8-х классов. Такой выбор был обусловлен возрастными возможностями детей. Большое влияние, оказываемое комбинаторными задачами на развитие мышления, свидетельствует о необходимости ознакомления учащихся с основами комбинаторики уже в начальной школе, но математический аппарат младших школьников еще не готов к введению некоторых формул, например, содержащих дроби. Введение комбинаторных формул оказалось возможным в возрастной группе подростков. Представим этапы процесса формирования базовых комби-
1 Гальперин П.Я. Обучения и умственное развитие в детском возрасте. / Гальперин П.Я. Психология как объективная наука М.: Издательство «Институт практической психологии», Воронеж, 1998.
наторных понятий.
Основная задача этапа создания мотивационной основы действия состояла в возбуждении познавательного интереса учащихся к комбинаторным заданиям. Явления, известные детям из повседневной жизни (выборы старосты и заместителя, составление графика дежурства в классе, варианты кода и т.д.), мы попытались показать с непривычной стороны, а главное, наглядно продемонстрировать, что интуитивные оценки количества возможных вариантов ошибочны, а метод хаотического перебора часто не дает правильного результата. Сначала школьникам предоставлялась возможность выполнить предлагаемые комбинаторные задания так, как они могут. Затем происходили проверка и обсуждение ответов, а их несовпадение использовалось для новой постановки вопроса («так как же на самом деле?»). Возникающие при этом проблемные ситуации активизировали познавательный интерес учащихся. Изначально доминировавшая установка на угадывание количества вариантов постепенно сменилась желанием разобраться, как же должно быть на самом деле. Оказалось, что количество вариантов в каждом случае ограничено, а сами варианты можно систематизировать и подсчитать.
Главная задача второго этапа - составления ориентировочной основы действия — заключалась в выявлении школьниками общих оснований и существенных признаков перестановок, сочетаний, размещений, в организации ориентировки в свойствах базовых типов комбинаторных соединений. Для этого предлагались задания, составленные на небольшом количестве исходных элементов, но отражающие все основные типы комбинаторных соединений. Решение задач осуществлялось в материальном плане, для чего использовался наглядный материал - жетоны из цветного картона. Процесс построения занятия предусматривал сохранение наборов, составленных для каждой задачи, т.к. они были необходимы для дальнейшего их сравнения. Приведем условия некоторых задач: 1) Есть кружочки двух цветов - красные и синие. Первоклассники Олег, Боря, Витя, Дима, Гена решили заметить папки для уроков труда, наклеив на каждую по 2 кружочка. Хватит ли вариантов? А если наклеивать по 3 кружочка? 2) В картонной коробке 2 карандаша - красный и синий. Аня достает по 1 карандашу. Сколькими вариантами она может это сделать? 3) В магазине воздушные шары трех цветов - красные, зеленые и синие. Дима покупает 2 шара. Сколько существует вариантов такой покупки?
Правильное выполнение каждой задачи являлось результатом совместных действий всех участников группы. Во-первых, еще во время решения некоторые дети, рассуждая вслух, задавали уточняющие вопросы, что стимулировало размышления других учеников (например: «А одинаковые кружки можно наклеивать на папку?»). Во-вторых, в ходе проверки происходило обсуждение полученных результатов: понимая, что правильный ответ - один, дети выслушивали мнения друг друга и находили ошибки. После проверки и обсуждения полученных вариантов внимание детей фиксировалось на следующем: «Почему всегда получалось разное количество наборов? Чем отличаются наборы друг от друга?». «Проработка» отдельных признаков (число исходных элементов, число элементов в соединении, важность порядка элементов и возможность их повторения), позволила выявить последовательность действий при выполнении комбинаторных задач, которая и была представлена в виде схемы ориентировочная основа действия (рис. 1).
На этапах действия в материальной или материализованной форме и «громкой социализированной речи» усвоенная ранее последовательность шагов воспроизводилась на реальном материале. Для этого решение задач, как и на предыдущем этапе, осуществлялось в материальном плане с использованием наглядного материала (карточки с цифрами, буквами, жетоны из цветного картона). Задания были составлены на разные типы соединений с постепенным увеличением количества исходных элементов. У каждого ребенка перед глазами была схема ООД, поэтому, выполняя задание, он мог проговаривать всю последовательность
действий.
Сомнения у детей чаще всего возникали при ответе на вопрос: «Надо ли учитывать порядок элементов в соединении?». В отдельных случаях для правильного выбора у школьников оказывалось недостаточно жизненного опыта. Подобным ситуациям пришлось уделить дополнительное внимание, предлагая для сравнения множество самых разных примеров: варианты покупки в магазине черного и белого хлеба одним покупателем и двумя покупателями; варианты выбора 2-х участников кросса и 2-х участников эстафеты 200м на 400м и т. д. В дальнейшем, после предъявления одной ситуации, например, в которой не надо было учитывать порядок, предлагалось изменить условие задачи таким образом, чтобы порядок надо было учитывать.
Постепенно школьники перешли к решению задач в символической форме: составлению наборов из жетонов предпочли краткую запись вариантов в тетрадях. Повышение уровня сложности задач привело к необходимости использования средств организации перебора -графов. Большая часть учащихся достаточно быстро усвоила принцип построения графа для соединений, состоящих из двух элементов. При решении более сложных задач (соединения из 3-х или 4-х элементов) у младших школьников возникли трудности, связанные с недостаточно развитой графической культурой: верхние ветви графа изображались слишком близко, поэтому последующие «наезжали» друг на друга и возникала путаница. Для решения подобной проблемы было предложено сначала составить граф из спичек на столе (это позволяло легко отрегулировать нужное расстояние), а затем нарисовать его в тетради.
Уже после составления 3-4-х графов часть школьников самостоятельно сформулировала правило умножения для задач, когда порядок элементов в соединении надо учитывать, и правило сложения вариантов с учетом уменьшения, когда порядок элементов был не важен. После этого им достаточно было нарисовать всего лишь часть графа, чтобы сообразить, каким правилом можно воспользоваться для вычисления количества вариантов.
На этапе выполнения во внутренней речи последовательность действий проговаривалась только про себя. Задачи были подобраны с учетом варьирования материала и типов комбинаторных соединений; разного уровня трудности (разные количества исходных элементов, элементов в одном соединении). Для достижения обобщенной формы действий предлагались задачи с разным сочетанием существенных и несущественных признаков, в том числе: 1) с полным набором только необходимых для решения задачи условий; 2) с наличием всех необходимых и с добавлением лишних условий; 3) с отсутствием некоторых из необходимых условий; 4) с отсутствием некоторых необхо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.