МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <1 • 2009
УДК 539.3
© 2009 г. Л.В. КОВТАНЮК, Е.В. МУРАШКИН
ФОРМИРОВАНИЕ ПОЛЕЙ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ У ОДИНОЧНЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ВКЛЮЧЕНИЙ В ИДЕАЛЬНОЙ УПРОУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЕ
При расчетах остаточных напряжений в деформируемых телах необходимо использовать теорию упругопластического тела, так как итоговый уровень и распределение остаточных напряжений определяется именно накопленными обратимыми деформациями. Вычисление же упругих деформаций приводит к необходимости определения поля перемещений. Проблема определения перемещений в статически определимых задачах теории идеального упругопластического тела впервые была рассмотрена в [1, 2]. Следуя предложенным им приемам, была решена задача об определении остаточных напряжений у цилиндрической полости в идеальной упругопластической среде [3]. Было показано, что в процессах разгрузки возможно возникновение повторного пластического течения [4], которое существенно перераспределяет итоговые остаточные напряжения. В настоящей статье рассмотрены задачи о нагрузке и разгрузке шара с жестким и упругим сферическими включениями. Исследовано возникновение повторного пластического течения при разгрузке и вычислены остаточные напряжения. Таким образом моделируется возникновение поля остаточных напряжений в окрестности более жесткой неоднородности. Случай, когда такая неоднородность более мягкая, можно считать рассмотренным в [3], где изучен случай формирования поля остаточных напряжений у дефекта сплошности.
1. Жесткое включение. Исходные модельные зависимости. Воспользуемся классической моделью упругопластического тела Прандтля-Рейса. Будем полагать, что
полные деформации е^ состоят из обратимой (упругой) е^ и необратимой (пластической) еРц составляющих
В (1.1) иг - компоненты вектора перемещений. Напряжения в теле определяются
где X, ц - параметры Ламе.
В качестве функции нагружения будем использовать условие пластичности максимального октаэдрического напряжения (условие Мизеса):
вг] = 1/2(] + и], г) = 4 + ер
(1.1)
упругими деформациями ев согласно закону Гука = Хе 1к5ц + 2Це в
(1.2)
/ = л = 8/3 к , тiJ = - 1/3 акк5
2
(1.3)
Здесь к - предел текучести материала. Принимаются условия принципа максимума Мизеса, следствием которых является ассоциированный закон пластического течения
ер; = у^ у > 0 при / = 2к и ^^ > 0 4 За/ да/ дI
(1.4)
Г / = 2к д/ Эа;; у = 0 при \ и =-/--::-:/ < 0
[/ < 2к да,/ д?
1.1. Постановка задачи. Упругое решение. Рассмотрим шар радиуса Я0 с жестким сферическим включением в центре шара радиуса г0 ^ Я0. Считаем, что шар находится в условиях равновесия при выполнении граничных условий
агг|г = я0 = -Рс и1г = г0 = 0 (1.5)
В (1.5) и = иг и агг - радиальные компоненты вектора перемещений и напряжений в сферической системе координат г, ф, 0. Пусть уровень внешнего давления р < р0 не приводит к пластическому течению. Впервые условие пластичности (1.3), которое в сферической системе координат запишется в форме
(агг - а00)2 + (а00 - афф)2 + (афф - агг)2 = 4к (1.6)
выполнится в точках поверхности г = г0 при достижении давлением значения р = р0. Это состояние является начальным для последующего процесса пластического течения. Рассчитаем его.
Компоненты напряжений найдутся согласно (1.2). Учитывая, что в рассматриваемом случае упругого равновесия е/ = в/ = ди/дг = и, г, ефф = е00 = ефф = е00 = иг/г, найдем, что
агг = (Х + 2М0 и,г + 2Х Г' афф = а00 = Х и,г +2 (Х + МО и (1.7)
Подстановка компонент напряжений (1.7) в уравнение равновесия
агг, г + 2(агг - афф)/г = 0 (1.8)
приводит к уравнению для перемещений
и,гг + 2и,г/г - 2и/г2 = 0 (1.9)
Решением уравнения (1.9) является функция
и = е1/3г2 + с2 г (1.10)
Следовательно, напряжения (1.7) будут вычисляться зависимостями
агг = -4|М С:/3г3 + (3 X + 2|м) С2, афф = 21^/3^ + (3 X + 2|М)С2 (1.11)
Постоянные С и С2 определим из второго условия (1.5) и условия пластичности (1.6), выполняющегося на границе включения г = г0 и принимающего для данного случая форму
(агг - афф)| г = г = -2к (1.12)
3
Таким способом получаем С1 = к/ц г0, С2 = -к/3ц. Следовательно, окончательно зависимости имеют вид
33
А
3 ц
--г чг /
-к( (Го)3 + 3Х+2ц) 311 г J ц J (1.13)
о,„,„ = к г2г г01
фф 3 (( г) ц
Давление р0, при котором справедливо напряженно-деформированное состояние (1.13), найдем из первого условия (1.5):
Ро = 3 М й 3 + ) (1.14)
1.2. Необратимое деформирование. При увеличении внешнего давления с его значения р0 в окрестности жесткого включения развивается зона пластического течения г0 < г < г у, где гх - поверхность, отделяющая область упругого деформирования гх < г < Я0 от области пластического течения. Уравнение равновесия (1.8) (квазистатическое приближение) теперь необходимо проинтегрировать отдельно в области пластического течения при граничных условиях
Ъгг|г = Ко = -Р1, «1г = Го = 0 (Огг - °ее)| г0 < Г< г1 = -2к (1.15)
Здесь р1 - нагружающее давление, которое считаем изменяющимся достаточно медленно так, чтобы пренебречь силами инерции (квазистатическое приближение). В таком случае изменяться со временем будут другие параметры деформирования и размеры зоны пластического течения, то есть гх = г^). Для них, после интегрирования уравнений равновесия, можно получить соотношения
в упругой области:
3
= ±.1 г (4к (£0) 3-и 3 цг2 + 3 X + 2ц( 3 (л0) Р1
= -¥ ((0-(^ - Р1, = 1 (2 (й3+(7)1 - р.,
(1.16)
в области необратимого деформирования:
огг = 4к 1п г + С3, офф = 4к 1п г + 2к + С3 (1.17)
С другой стороны, напряжения в области необратимого деформирования могут быть найдены согласно закону Гука (1.1):
Огг = (Х +2ц) С +2ХеФф. Офф = ХС + 2(Х + ц) ефф (1.18)
Сравнивая (1.17) и (1.18), для компонент упругих деформаций найдем
еегг = (1/( 3Х + 2 ц))( 4к 1п г + С3-2кХ / ц)
(1.19)
ефф = (1/( 3Х + 2ц))( 4к 1п г + С3 + к (X + 2 ц)/ц)
и
Из условия пластичности (1.6) и ассоциированного закона пластического течения (1.4) следует
ер + 2ер =0
С,ГГТ ^Сфф и
(1.20)
то есть при использовании условия пластичности Мизеса в случае сферической симметрии в необратимо деформируемом материале сохраняется объем (материал пластически несжимаем). Из (1.20) следует, что [1, 3]:
Э ерггШ = -2Эеф ф/Э*, ергг = -2 еф ф
(1.21)
Из (1.21) и зависимостей и, г = ергг + в, и/г = ефф + ефф следует уравнение
и „ + 2и/г = е„ + 2е
фф
(1.22)
Подстановка компонент упругих деформаций (1.19) в (1.22) приводит к уравнению для определения компоненты перемещения в области необратимого деформирования
и„ + 2-
1
-(4к 1п г + 3 С3 + 4к)
'г 3Х + 2|Г Решением уравнения (1.23) является функция
С4 . Г
м = 7 + ЗАт21( 4 к 1п г+сз)
(1.23)
(1.24)
Неизвестные постоянные С3 и С4 определяются из равенства напряжения огг (1.16) и (1.17) на границе г = г1 и из второго условия (1.15):
С3 = У ((й 3-11- Р1-4 к 1п г 1
С4 = Г4кЬ?-Р1 + 43((¿г) -1
(1.25)
3Х + 2 |Д
Подстановка найденных постоянных в зависимости для напряжений и перемещений позволяет получить окончательное решение для области необратимого деформирования
1
3 X + 2ц
4к
, г '0, '0 г 1п----1п —
2
1г
1
3
г0
+ г--
2
1 г ^
4 к ГГ г1
3
-1 - Р1
о.
4к ГГ £ 3-1> -
Р1, = 4к 1п П + УМй3+1)- Р1
(1.26)
Значение переменной, определяющей положение границы пластической области по заданному значению ръ находится из условия непрерывности перемещений (1.16) и (1.26) при г = г у. Если, наоборот, задать положение границы пластической области г = ^(0, то по значению гх вычисляется нагружающее давлениер^О:
Р-- г (-И ГГ й Чго
(1.27)
е
и
4 Механика твердого тела, № 1
97
Деформации находятся соотношениями в упругой области:
e 2k (гл3 1 (4k ( ri )3
e- = - -3ц(7J +3IT2-llтkJ-pi
e k (r1)3 1 (4k ( r1 )3 eee = eee = 3Д7J + ^X+^lУ UJ - p1
в области необратимого деформирования:
e- = 4' ^ ((R) 3-1) - P1-f)
ei- -3)^(4»lnrr + 4k((R0)'"0-P.+ ^ <1.28)
ep - -2 ep - 2 k ( X + 2 ц )(1- (>V3
err 2 ^ (3 x + 2 ц )(1 ( r
1.3. Разгрузочное состояние. Разгрузим тело, сняв внешнее нагружающее давление. В области обратимого деформирования rx < r < R0 перемещения и напряжения будут вычисляться зависимостями <1.10) и <1.11). В области с накопленными необратимыми деформациями r0 < r < rx при разгрузке пластические деформации не изменяются. Учитывая, что eerr = u r - epr, e-L = u/r + 1/2 epr, из <1.18) получим
, r rr ' фф
orr - (X + 2ц)ur + 2Xu/r -2ц^
<1.29)
°ФФ - °ee - Xu,r + 2 (X + ц) u/r + цepr
Уравнение равновесия, записанное с использованием <1.29) и <1.28), приводит к соотношению для вычисления компоненты перемещения в данной области
urr + 2u,r/r - 2u/r2 - 12k/(r(3X + 2ц)) <1.30)
Решением уравнения <1.30) при втором граничном условии <1.15) является функция
4k , r C5 (r 1) п ,1Ч
u - -,, . -,.. rln— + — l-T--- <1.31)
3 Х + 2ц го 3 (г0 г2) Постоянную С2 из (1.11) исключим, используя условие
Огг|г = йо = о (1.32)
Из него следует
С2 = 4ц С./(3 (3 X + 2ц))
Оставшиеся неизвестные постоянные С и С5 найдем из условий непрерывности перемещений и напряжений при г = гх:
„ (п 4k 3 C5 - -3X + 2ц(3lnr-0 + 3X +ц2ц(rJ +1)(r3 + 3X +12цR
<1.33)
Окончательные зависимости имеют вид в упругой области:
Ci(1 4ц U = -;;- -: + -~
3 (г2 3X + 2цR0
(1.34)
4цС ( 1 1 Л 2цCi ( 2 1
D3 3 J' ОФФ 1 + 3
Ro r ' 3 % r
области с накопленными необратимыми деформациями: r 4k ( X + 2 ц )( r Л3 С- ( 3X + 2ц 4_цЛ
= 4k ln r0 + "ИГгД 7 J +1-1 ^ + -3
0 (1.35)
Сфф = 4k in r -2kjX +?Ц )(r1j3 + 2 k + C- (^ -2ЦЛ
'rr r
r
ФФ " ......r„ 3 X + 2ц 1 rJ +2k + 3 I 3 3
Перемещения найдутся соотношением (1.31).
Деформации в упругой области вычисляются по найденному полю перемещений. В области с накопленными необратимыми деформациями пластические деформации вычисляются соотношением (1.28), полные деформации по известному полю перемещений (1.31), упругие деформации по известным полным и пластическим.
1.4. Повторное пластическое течение. При значительном уровне накопленных необратимых деформаций напряженное состояние в процессе разгрузки снова может достигать поверхности нагружения. В рассматриваемом случае это связано с выполнением равенства (orr - оее) = 2k при r = r0. Начиная с момента выпо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.