МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2014
УДК 539.377
© 2014 г. А. А. БУРЕНИН, Е. П. ДАЦ, Е. В. МУРАШКИН
ФОРМИРОВАНИЕ ПОЛЯ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ЛОКАЛЬНОГО ТЕПЛОВОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ
В рамках классической теории упругопластических деформаций рассчитывается одномерный процесс деформирования материала вследствие локального нагрева и последующего охлаждения. Решена задача о формировании остаточных напряжений в тонкой пластине из упругопластического материала при заданном тепловом воздействии. Построены графики полей остаточных напряжений и перемещений.
Ключевые слова: упругость, пластичность, температурные напряжения, остаточные деформации, остаточные напряжения, теплопроводность.
1. Введение. Поле остаточных напряжений формируется в процессе упругопласти-ческого деформирования при последующей разгрузки таким образом продеформиро-ванного материала. Известно возникновение остаточных напряжений вследствие локального теплового воздействия, например, в окрестности сварных швов [1]. Очевидно, что в этом случае процесс упругопластического деформирования инициируется быстрым нагревом материала по линии сварки. Известны инженерные методы расчета уровня остаточных напряжений в зоне термического влияния сварного шва [2]. Здесь приводится точное решение задачи формирования остаточных напряжений в предположении, что связанностью процессов теплопроводности и деформирования в условиях интенсивного теплового воздействия можно пренебречь, то есть провести расчеты в рамках теории температурных напряжений [3, 4], учитывая при этом зависимость предела текучести от температуры.
2. Основные модельные зависимости. Пусть до момента времени t = 0 пластина находится в свободном состоянии при комнатной температуре T0. Материал пластины считаем упругопластическим, подчиняющимся математической модели типа Прандт-ля—Рейса [5, 6], в которой деформации eу полагаются малыми и складываются из
упругих ej и пластических ej составляющих деформаций
etj = eij + efj = 0.5(u;- p + Upp) (2.1)
Уровень и распределение упругих деформаций и температуры по пластине задают напряжения в ней, определяемые согласно закону Дюамеля—Неймана
оp = (Xejk + 3аK9)5p + 2^ej, 9 = T(r, t) - To (2.2)
Здесь X, ц — параметры Ламе, K — модуль всестороннего сжатия материала (3K = 3Х + 2ц), а — коэффициент линейного температурного расширения материала, T(r, t) — текущая температура. Начало процесса пластического течения в материале пластины свяжем с выполнением условия пластичности в форме Треска [7]
f(oip) = max |о;- - оp| - 2k(0) = 0 (2.3)
где ai — главные напряжения, k(9) — предел текучести материала при заданной температуре. Далее в расчетах для k(9) принимается простейшая линейная зависимость k(9) = k0 - ß9, в которой k0 — предел текучести материала при комнатной температуре, ß — теплофизическая постоянная материала, задающая степень падения предела текучести с повышением температуры. В условиях принимаемого принципа максимума Мизеса [7] поверхность (2.3) становится пластическим потенциалом, следствием которого является ассоциированный закон пластического течения
sP , ^ = [f f "/2 (2.4)
ootj \pomn da„m)
Если к соотношениям (2.1)—(2.4) добавить локальные следствия законов сохранения (уравнение движения и уравнение баланса внутренней энергии) и постулировать закон теплопроводности, например, в форме Фурье, то получим замкнутую математическую модель деформирования.
3. Постановка задачи. Упругое деформирование. Пусть бесконечная пластина нагревается так, что температура на ее линии, являющейся окружностью радиуса R, растет пропорционально времени. Данное воздействие приведет к росту деформаций и напряжений в материале пластины. Считая толщину пластины достаточно малой, полагаем, что пластина находится в условиях плоского напряженного состояния так, что в цилиндрической системе координат r, ф, z нормальные напряжения azz на площадках, ортогональных пластине, равны нулю:
иzz = (к + 2^)ezz + k(err + ефф) - 3аК9 = 0
e e e (3.1)
err = err = ur,r, ezz = ezz = uz, z, = = ur/r
Для других отличных от нуля компонент тензора напряжений в таком случае, согласно (2.2), имеем
^ _ 4ц(Х + ц) u + 2Хц ur 6ацК g
°rr _ (X + 2ц) Ur,r + (Х+ад7 " (X+2^) (32)
4ц(Х + ц) ur 2Хц 6а цК „
СТФФ _---1--urr--0
ФФ (Х + 2ц) r (Х + 2ц) r' r (Х + 2ц)
Подстановка значений компонент напряжений из (3.2) в уравнения равновесия, записанные в цилиндрической системе координат, приводит к уравнению для единственной отличной от нуля компоненты вектора перемещений
urrr + U77-Ц r (3.3)
r,rr r r2 2(Х + ц) ,r v 7
Если в уравнении баланса внутренней энергии (локальной формулировке закона сохранения энергии) пренебречь источником тепла, вызванного деформированием (связанностью процессов деформирования и теплопередачи) и принять простейшую линейную зависимость теплового потока от градиента температуры, то для нестационарного распределения температуры по пластине будем иметь классическое уравнение теплопроводности [8, 9]. Его решение в рассматриваемом случае и для принятых начальных и краевых условий известно [9]. Имеется возможность им воспользоваться (оно не выписывается из-за его громоздкости) или воспользоваться известными пакетами программ, которые также позволяют получить распределение температуры по пластине, нагреваемой с момента времени t = 0 по линии r = R до температуры Tk на данной линии. С целью получения наиболее простого решения полагалось, что температура на линии r = R растет пропорционально времени от комнатной T0 до конечной температуры нагрева Tk. Последняя может быть любой, включая температуру плавле-
ния материала пластины. При столь высоких температурах следовало бы учитывать зависимость коэффициента теплопроводности от температуры, от градиента температуры, от скорости изменения температуры. Однако здесь с целью получения точного решения такими зависимостями будем пренебрегать, считая коэффициент теплопроводности постоянным. При повышенном температурном уровне за счет температурных напряжений могут происходить твердотельные фазовые переходы, существенно меняющие структуру материала пластины. Последние приводят к необратимым деформациям, которые далее учтем в качестве пластических, и к изменениям в параметрах Ламе X и ц для зоны термического влияния (зона фазового перехода). С той же целью (получения точного решения) такие изменения учитываться не будут, то есть X и ц полагаем постоянными.
По известному распределению 9(r, t) перемещения могут быть найдены интегрированием уравнения (3.3) отдельно в областях r < R и r > R. Также по рассчитанному полю перемещений вычисляется распределение напряжений. Для области r < R получим
ur = b y(r, t) + qr, arr = - ^ v(r, t) + qci ^r r
= Ц(№, t) - r29) + qc\ (3.4)
r
b = , = + , t) = fap, t)pdp 2(Х + ц)' * (X + 2ц) ' ' oJ
В области r > R найдем
ur = b Ф(г, t) + C2, ürr =-2b Ф(г, t) - 2ц Ц цг r r2 r
r (3.5)
Ow = -Orr - 2b9, Ф(г, t) = J 9(p, t)pdp
R
Выполняя условия непрерывности перемещений и напряжений на границе r = R, найдем постоянные интегрирования cl и c2:
c1 = 0; c2 = by( R, t) (3.6)
Выписанные зависимости (3.4)—(3.6) решают поставленную задачу, но имеют, однако, ограничение, связанное с выходом напряженных состояний (3.4) и (3.5) на поверхность нагружения, вследствие чего в материале пластины начнется пластическое течение. Данное обстоятельство связано с ограничениями на скорость нагрева: она должна быть достаточно большой, чтобы вызвать соответствующий уровень температурных напряжений. Область пластического течения развивается от линии r = R в обе стороны и в некоторый текущий момент нагрева занимает область, расположенную между линиями r = r и r = r2 (г\ < R < r2). Вне данной области пластина продолжает деформироваться обратимо и квазистатические параметры подобных напряженно-деформированных состояний будут по-прежнему задаваться зависимостями (3.4)—(3.5) с тем только отличием, что постоянные интегрирования в них будут определяться значениями, отличными от (3.6):
ci(ri) = 2 q
í , \ 2
-4 V(ri, t) + b0i - ki , C2(r2) = ^(b92 - k2)
ri
0„ = 0(r„), kn = k(0n), n = i, 2
цУ~ ~2 "2/ (3.7)
В развивающейся области пластического течения напряженные состояния соответствуют точкам поверхности нагружения (2.3). В рассматриваемом случае это будут точки призмы Треска, лежащие в плоскости а = 0 пространства главных напряжений на прямой
о»» = - 2к(9)
(3.8)
Интегрируя уравнение равновесия при данном условии, найдем, что во всей области течения
= - 2 | к(9(р, Шр-
С3
(3.9)
Обратимые деформации в любой момент времени и в любой точке области пластического течения возможно теперь вычислить по (3.8) и (3.9), выразив их через зависимости (2.2), переписанные в цилиндрических координатах:
4 = 2^ (69- к(0))- £ г
Г Г \
| - |к(0(р, ()№
г )
\\
60 +
Сз
- } к(0(р, 1))йр
+ £к(0)
(3.10)
1 )) 5 = (X + ц)/|д(3Х + 2ц), £ = X/ц(3Х + 2ц)
Следствием ассоциированного закона пластического течения (2.4) будет равенство еГГ = игг - вегг = 0 (3.11)
Подставляя зависимость (3.10) в (3.11), приходим к уравнению для перемещений в области течения
(
иг г — 25
(
69 + -
| - |к(9(р, 1))йр
Г1
+ £к(9)
(3.12)
проинтегрировав которое, получим
иг = 25
( Г / \ Г р ^ г
619(р, + 11п ^Г) - |к(9(х, 1))йхйр + ^ |к(9(р, №р + С4
V 1 1 1! 1 ) 1
(3.13)
Неизвестные константы интегрирования c3, c4 и размеры области необратимого деформирования (г- < г < Г2) найдем из условий неразрывности полей перемещений и напряжений на упругопластических границах (г-, г2). В результате несложных преобразований можно получить
(
Сз(г-) = 2г-
601 - 26 ^(Г1, 0 - к г-
Л
С4(Г1) = ^ (01 - 6)) - 2 1 ± ¥(Г1, о д \ 6! д) Г1
(3.14)
Г
К К
Фиг. 1
0
-4 . ю-5 ----и----1-1-
0 0.3 0.6 г- 1 /-2 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 r/R
К К
Фиг. 2
и систему уравнении для определения границ зоны пластического течения
/2 /2 Р Г2
ь 19(р, г)ф - |Р|к(9(х, гшар - Iк(9(р, г)ур
+
р
+2Ь ¥(п, г) + [ 21п [ 11 +1
2/
( 2ь ЛЛ
Ь91 - 2ь у(гь г) - к
V V
2
Ь92Г2 - Г2к2 = |к(9(р, г))/р + 2ьу(гь г) + 2гк - Ь9/
1 1
1
2ь
= 0 (3.15)
Распределения полеИ перемещении и напряжении в конечны
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.