АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2008, том 54, № 6, с. 981-989
АКУСТИКА ОКЕАНА, ГИДРОАКУСТИКА
УДК 534.221
ФОРМИРОВАНИЕ, РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ФОКУСИРОВКА АКУСТИЧЕСКИХ ПУЧКОВ В ОКЕАНИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДАХ.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ
© 2008 г. Ю. В. Петухов, А. А. Хилько
Институт прикладной физики РАН 603950 Нижний Новгород, ул. Ульянова 46 E-mail: petukhov@hydro.appl.sci-nnov.ru Поступила в редакцию 15.02.07 г.
Проведено обобщение разработанной в [1] квазиоптической теории для описания распространения и фокусировки многомодовых акустических пучков в плавно неоднородных по трассе океанических волноводах с использованием адиабатического приближения. В рамках простейшей модели однородного по трассе приповерхностного канала с линейной зависимостью квадрата показателя преломления от глубины выполнены аналитические расчеты и численное моделирование соответствующих процессов, результаты которых полностью подтвердили справедливость установленных в [1] закономерностей.
PACS: 92.10.Vz
ВВЕДЕНИЕ
В статье [1], где фактически продолжены начатые в [2-5] исследования по управлению полями в слоистых средах с использованием приближения ВКБ и предположения о достаточно узком пространственном спектре возбуждаемых вертикальной антенной мод, разработана квазиоптическая теория описания принципиальных закономерностей, проявляющихся при формировании, распространении и фокусировке многомодовых акустических пучков в однородных по трассе океанических волноводах. При этом, по аналогии с работой антенны в свободном пространстве, распределение коэффициента возбуждения источников по ее апертуре выбиралось таким образом, чтобы излучение антенны фокусировалось в точку однородной среды, удаленную на расстояние, равное радиусу кривизны фазового фронта этого распределения. Такой подход, основанный по существу на квазиоптическом приближении для метода обращения волнового фронта [2], позволил в [1] определить зависимости от параметров излучающей системы и волновода для горизонтальных расстояний, на которых формируются области рефракционной фокусировки пучков, а также - сформулировать условия, при выполнении которых в волноводах формируются пучки с минимальной расходимостью волнового фронта.
Настоящая работа посвящена, во-первых, обобщению разработанной в [1] квазиоптической теории, на плавно меняющиеся по трассе океанические волноводы, во-вторых, численному моде-
лированию процессов в приповерхностном звуковом канале с целью проверки установленных в [1] закономерностей.
МНОГОМОДОВЫЕ ПУЧКИ В ПЛАВНО МЕНЯЮЩИХСЯ ПО ТРАССЕ ВОЛНОВОДАХ
Начнем с обобщения приведенных в [1] выражений на плавно меняющиеся по трассе океанические волноводы. Эти выражения позволяют описывать соответствующие закономерности, проявляющиеся при управлении полем многомо-дового пучка, формируемого вертикальной антенной.
При решении поставленной задачи воспользуемся моделью океанического волновода в виде водного слоя толщины Н с абсолютно мягкой верхней и абсолютно жесткой нижней границами, в котором показатель преломления акустических волн п(г, г) является достаточно плавной функцией глубины г и, наряду с Н(г), достаточно медленно изменяется с горизонтальным расстоянием г. Предположим также, что источником тонального излучения с циклической частотой ю является линейная вертикальная антенна с апертурой Н, центр которой расположен на глубине га. Тогда, при выполнении условий применимости адиабатического приближения [6], пространственное распределение акустического поля давления Р,
создаваемое такой антенной в волноводе будет описываться выражением следующего вида:
P = po R
L '
]2ni^ A ^i (z r)e<jKidr
l = 1
(1)
Za + h/2
A = 1 j A(zi(Z' 0)dz
(2)
za - h/2
A(x) = exp\ -ík0(0)x x
(3)
XI sinXo + 5
xcos (Xo)j x2a2
2 r
f
Rf =
rf/scos (Xo)
(4)
котором:
z
9i(z, r) = Ko(r) j yi(z, r)dz +
Zi(z)
ziH( z)
Здесь р0 - амплитуда давления, создаваемого точечным источником на малом расстоянии Я0 в однородном пространстве, £ - время, Ь - число возбуждаемых мод,
D
(r) = 2Pi( r) j dz/Yi(z, r),
zi( r)
Yi(z, r) = Jn(z, r) - ei(r ■.
В (5), (6) значения лучевого параметра (г) = = К; (г)/Ко(г) для бриллюэновского луча с характерным пространственным периодом (г) находятся из соответствующего дисперсионного уравнения [6]:
- коэффициенты возбуждения мод антенной, (г, г) и к (г) соответственно ортонормирован-ные собственные функции и горизонтальные волновые числа мод для волновода сравнения [6]. Распределение коэффициента возбуждения источников по апертуре антенны А(г) в (2) выберем в следующем виде (см. [1]):
ziH( r)
K,
,(r) j Y i (z, r) dz = i - v),
(7)
zi( r)
котором (см. также (6)):
[ziB( r), 1 < i < Lr lo, Lr +1 < i < L,
zi(r) =
v=
1 < i < Lr
-, Lr +1 < i < L,
(8)
1
14'
которое позволяет фокусировать антенну в точку однородной среды, удаленную на расстояние
Ко(г) = ю/со(г), п(г, г) = Со(г)/с(г, г). Здесь г1В(т) и гН(г) - соответственно верхние и нижние горизонты поворота бриллюэновских лучей,
Lr (r) =
Ko (r)
Hr( r)
j Jn2(z, r) - n2(o, r)dz + 2-
(9)
от центра антенны по лучу, выходящему под углом Xo к ее акустической оси. В (3) параметры a > 0, rf > 0 и s = 0, s = ±1 при заданном угле компенсации X0 (X0 < 0 или x0 ^ 0) характеризуют процесс формирования пучка, который в однородной среде фокусируется для s = 1 и расфокусируется для s = = -1 при его выходе вниз x0 < 0 или вверх x0 < 0 соответственно x = z - za, Rf (4) - радиус кривизны фронта фазового распределения коэффициента возбуждения (3), к0(0) = ш/с0(0), где с0(0) минимальное значение скорости звука на оси канала, расположенного при r = 0 на глубине z0(0). Как и в [1], ниже остановимся на анализе поля многомо-довых пучков, не взаимодействующих с дном океанического волновода. Тогда с использованием ВКБ приближения для (x, r) получим следующее выражение [6]:
z, r) = 2^(r)/Di(r)yi(z, r)sin(ф^z, r)), (5)
- число рефрагированных мод,
Н (r)
L (r) =
Ko( r)
j Jn2(z, r) - n2(H, r)dz +4-
(10)
- число мод, не взаимодействующих с дном. В (9) характерная ширина подводного звукового канала Нг(г) определяется из равенства п(Нг, г) = п(0, г).
Далее воспользуемся полностью аналогичной схемой аналитических расчетов, которая достаточно подробно изложена в [1]. Поэтому здесь лишь кратко отметим основные ее этапы. Во-первых. При вычислении интеграла для А1 (2) с использованием (г, г) (5) пренебрежем изменением амплитуды бриллюэновских лучей на апертуре антенны и учтем лишь квадратичный набег их фазы. Это позволит при вычислении интеграла в (2) ограничиться разложением функции фг (г, 0) в ряд с точностью до члена второго порядка мало-
o
o
сти по х и при а > 1 - получить корректное ана- тенсивности поля в пучке /(г, г) = |Р|2, имеющее литическое выражение для зависимости Л'(I). следующий вид: Проанализировав его, можно убедиться, что максимум в Л1 (I), соответствующий моде с номером I = '0, имеет место при выполнении равенства:
I =
81П Хо = 10(га, 0 ),
Г-1. ] = 1. Хо < 0
.+1, ] = 2. Хо > 0.
когда
(11)
и ч 2(Ро Яо/а) ч
/ (г' г) = п к°о (г) г / о(г г). (16)
/о(г, г) = (аЬо/Н01о(г)у,о(г, г))х
ехр (-2(А г1/Я, )2/Е) (17)
Х Те .
ео82Хо = Р2 + 1-п (га, о) - р?.
(12)
где:
При этом характерная ширина этого максимума по уровню е-1, то есть число эффективно возбуждаемых антенной мод Ь0 определяется следующим выражением (см. [1]):
Ьо
котором
= 2'о(га, о(13)
А г1 = °,о (г )|
йг
' '°/о( г) 'о
- г, +
( ° (г))
+№(га-о'(щщ ).
Г
(18)
г'о = т°1п(г) + |°1о(га, о) + !°1о(г, г); (19)
в = ^ (Н)2 в2о( о).
Е = 1 + (п ьо А ^/4^)2 = 1 + Аг2) 2. (20)
Я, у
% = ^ к (г., о )
Я
го =
о 4 п (га, о)
/Ц ео84(Х'о(га, о)).
Я/'о = - 2
яп( Х'о( га, о) ) ( пб( г, о) ео8 ( х ,о ( га , о ))^п( г, о ) Ш.
(14)
Во-вторых. В предположении достаточной узости пространственного спектра возбуждаемых мод
А г2 = Яй
?>( г )|
йг
Я?( г)
- г, + Я ф +
+ I °'о (гa, о)
(1- ^ ] + Х (21)
я?( о X
й Р,о( о)
(г)
дА (г)/ЭР, (г)
Со( о) °2о (г0
со ( г ) °2о ( о о
-1
Г1Л'1' = 'о ± Ьо/2/Л'о < 1. V'о < 1
Ьо/Ьг < 1. 1 > I > ьг 1 Ьо/(Ь - Ьг) ^ 1. 1 + Ьг < ' < ь.
при подстановке полученного выражения для Л, в (1) можно под знаком суммы воспользоваться разложением функции в показателе соответствующей экспоненты в ряд по I - 10 с точностью до члена второго порядка малости, что отвечает учету аберрационных эффектов второго порядка (см. [1]). Тогда заменой суммирования в (1) интегрированием по I получим приближенное выражение для пространственного распределения ин-
Я Ко(г)°,(го1 эр,( г))
Я2) = ^ (°3о( г) /
(д°'.(г)) 2 (°'о(г)
. =
п1 Ьо
д °'о (г)
ЭР'о ( г) )'
Я = Щг)___
ф д А (г)/д Р'о( г о1дР'о ( г) 1 гф.
Б2 %
гф = го
(1+ Б2%2)
°3о (г) / °2о (о)
(22)
а2о(га, о)д(г)/дР'„(г)
(23)
(24)
о
г
г
2
о
Здесь (см. (19)):
г
Ао(г, г) = в,о( г) | йг/у ,о(г, г),
г1 (г)
[-1, ] = 1, Х,о(г, г)> о
1+1, ] = 2, хго(г, г)< 0,
(25)
Ц =
п (г, г) ео8 (%,(г, г)) = р,( г).
(26)
Со (г)
Л( г, ) = 2-
котором:
'У/о^Т (Л 1 + Л2 Л3) ^ п ( г, г) Лз
(29)
Л1 = ^г2 № 2( 1 + £о), Л2 = В2 ^,
Лз = 2 (1 + 61 )2-Г ВГ( 1 + Во )2;
п
/э
В
Во = ц;I Е(г, г)1 =£-1п(Вй2)(г)) I - (г, г) I,
^Э г
Е(г, г) = А (г, г) -
дг
д В1о ( г, г) ^(г) д Р,о(г) д Я,(г)/д р,( г),
т = 0, 1, ..., (г, г) - текущий угол скольжения
опорного бриллюэновского луча, который, как предполагается (см. [6]), по аналогии с горизонтально однородной средой, также удовлетворяет соотношению
Гг I
= IIТП7) - т - г- о)/Ао(о) Г
Vо 1°к ! У
I (г)
дг
д Р,о ( г, г) дг
Зависимость же лучевого параметра в, (г) от его значения вблизи источника в, (0) определяется с использованием (7) из следующего равенства
г,н(г) г,н(о)
Со (о)
| у,о(г, г)йг = | у,о(г, о)йг. (27)
г1( г) гДо)
Как видно из (16) - (18), на плоскости г, г положение максимума интенсивности поля в пучке описывает определенную траекторию г = г,о (в, (0), г),
являющуюся фактически траекторией его опорного луча. В свою очередь уравнение траектории опорного луча имеет следующий вид:
(А г1 )| г = г, = о. (28)
При этом из (16) - (24) следует также, что даже в однородном по трассе волноводе (см. также [1]), в отличие
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.