ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2007, том 417, № 3, с. 319-322
МАТЕМАТИКА
УДК 519.21
ФОРМУЛА ДЛЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА ПРОЕКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА ПОЛОЖИТЕЛЬНУЮ ПОЛУОСЬ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
© 2007 г. С. В. Нагаев
Представлено академиком Ю.Г. Решетняком 13.04.2007 г. Поступило 03.05.2007 г.
Как известно, преобразования Лапласа являются важным инструментом при изучении распределений, сосредоточенных на полуоси. Применениям преобразования Лапласа посвящена, например, [1, гл. 14]. Кроме того, нас может интересовать та часть распределения, которая сосредоточена на положительной или отрицательной полуоси (мы будем называть ее проекцией).
В связи с этим возникает задача нахождения соответствующего преобразования Лапласа. Имея в своем распоряжении формулу для преобразования Лапласа, можно, например, находить полумо-
менты вида х
о
| хй¥( х),
пользуясь тем, что
п ¿2 + /
о
= IГ Яе ( Ш
+ ¡1
о
Интегралы | в формуле (1) определяются как
т
Нш Г
тЛ
о
Основная трудность при выводе этой формулы заключается в том, чтобы обосновать предельный переход применительно к интегралу
Г *.
1 Г 4- с2
Г х^( х) = (-1) е^( х )|, = 0. оо Мы начнем со следующего общего результата.
Теорема 1. Пусть ^(х) - произвольная функция распределения с характеристической функцией /(X). Тогда для любого s > 0
Г е^(х) + 1 (0+) - 0-)) =
_ £ г Яef(X) * + I Г X 1ш /(X) ^ _
X2 + £2
0
X + £
0
Замечание 1. Пусть X - случайная величина, имеющая распределение К В [2, с. 449] выводится формула
Е { в "Х, X > 0 } -Е { е X > 0 } =
2л!
( £0 - £ )/(X ) *
2^ (£0 + iX)(£ + ¡X) '
0
где £ и £0 лежат в положительной полуплоскости. Эта формула легко следует из (1).
Поскольку для симметричного распределения 1т/(X) = 0, то имеет место
Следствие 1. Если распределение ^ симметрично, то для любого £ > 0
! ех) + 2(¥(0+) - 0-)) = П! *. (2)
0+
(1)
Выписывая представление (1) для случайной величины -X и складывая его с равенством (1), получаем
Следствие 2. Для любого £ > 0
Институт математики им. СЛ. Соболева, Сибирского отделения Российской Академии наук, Новосибирск
Е е-
-¿IX _ 2£ |-Яе /(X)
2 £ Г
22 X + £
(3)
0
0+
320 НАГАЕВ
Замечание 2. В [2, с. 450] без доказатель- Замечание 3. Другая формула для преобра-ства приводится другое представление:
Eexp { } = 1-2-П J
зования Лапласа | е (х) получена в [9] при
о
1 (-^ *,
(5 +1*) * условии, что либо а = ЕХ = 0, а2 = DX < 0, либо а > 0.
При этом в формуле участвует либо ряд
где интеграл понимается в смысле главного зна чения. Эта ф< показывают, во равенство
чения. Эта формула не совсем точна. Вычисления у и-1р (о < 0), если а > 0, либо ряд Спицера показывают, что в действительности справедли-
Eexp{-s|X| } = 1 + П Г
ПМ ( 5 + lt )t
iп
n _ 1
" 1
E n"'
P(Xn - 0) - 2
n
n _ 1
Поскольку
, если a = 0.
которое, как нетрудно убедиться, эквивалентно (3). Reln ( 1 - f( t) ) _ sln | 1 - f( t) | + targ (1 - f( t) )
- 5 + И 2 2 2 2
Пусть {X!} ^ = 1 - последовательность незави- 5 + ' 5 + '
симых одинаково распределенных с.в. с функцией то формулу (4) можно записать в виде
П
распределения ^(х), Бп = у Х;, ВД - функция г х) +1 у(^(0+) - Еп{0)) =
] = 1 Л 2 '
распределения суммы Бп. Гармоническая мера вос- 0+ П =1
становления, соответствующая F(x), определяется 1 - (1 ()
равенством = -П ГЯе(1п ( 1 - / ( *)) )*. (5)
П» \ 5 + 1* )
-0
v(А) = у к~1р(^ е А). Если 0 < а2 < -, то
k _ 1
Поскольку /1(*) := 2 /(~ (6)
а *
FП(х +1) - FП(х) < с(F)—— является характеристической функцией.
Сравнивая (5) и (6), мы получаем после не-
n
(см., например, [3]), мера V является а-конечной. сложных вычислений, что Гармонические меры изучались в работах [4-8]. - -
Для любого х > 0 положим Г е "хйО(х
) + 1 У(Fп(0+) - Fn(0))
О(х) = V([0, х)). 0+ П = 1
2-
Очевидно, _ , 1, (а^ 1г (1п/1( *)
_-'n s-1ln (т) - ПМ^)- (7)
Х-1 -1 0
О(х) = у п 1 (Fn(х) - Fп(0))<-.
Если распределение Ь(х) симметрично и непре-п = 1 рывно, то формула (7) значительно упрощается, а
Используя формулу (1), мы получаем следую- именно щий результат. - -
Теорема 2. Для любого 5 > 0 (е~'хс/О(х) = -1п V-1-1п (5 Г1п /1(*)
Г(х) = -1п 5 -|1п )- п 1 1 °° 0+ 0 1е °хёО(х) + 1- у (FП(0+) - FП(0)) = Отправляясь от формулы (8), мы получаем
следующую оценку.
Лемма 1. Если распределение F(x) нормально
= г1 п | 1 - /(*) | * - 1 г * агё ( 1 - / ( *) ) * (4) М(0, 1), то для любого 5 > 0
Пг Г2 + ? П1 о2 + ?
s +1 s + t
оо
Г e~sxdG(x) < -lns - Jln(1 - e~1'2) + —. (9) J 2 n
Интегралы в правой части (4) определяются 1 е
так же, как в теореме 1. 0+
n_1
о+
ФОРМУЛА ДЛЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА ПРОЕКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
321
Пусть Н+(х) - функция восстановления, порож- где денная распределением лестничной высоты £ +,
где = тт{к: Бк > 0}. В силу известного тождества Бакстера (см., например, [1, гл. XVIII, § 3]) имеет место соотношение
!е + (у) = ехр Ие-£у*0(у). (10)
0 ^ 0 Из (9) и (10) следует, что для нормального закона
Ге £ ёН+(у) < -1п£ - 11п(1 - е~Ш) + —. J 2 п
0
Отсюда, используя неравенство
Н+ (х)< е£х|е '£ёН+(у),
0
приходим к оценке Н+ (х) <
-1/2, , 2£
£л/ 1 - е
1 ] Г 2
ехр ! ^х + -
-1/2 V П
(11)
Полагая в (11) £ = - , можно сформулировать следующий результат.
Теорема 3. Если распределение Г(х) нормально N(0, 1), то
х ехр ! 1 + — пх
Н+ (х) <
71-
-1/2
'1-е
При х > 1 теорема 3 дает оценку
Н+ (х)< 8.2х. Применяя теперь представление
х
Р(< х) = ! Н+ (х - у)ёГ(у),
где 2 - нижняя лестничная высота, получаем
Следствие 3. Если распределение Г(х) нормально N(0, 1), то для любого х < 0
х
Р(2_ < х)< 8.21((х - у) V 1)ёФ(у) <
'х >
<8.2 |ф(у)ёу + Ф(х)
Ф(х) = -к Г е
Перейдем теперь к асимптотическим соотношениям.
Лемма 2. Если
ЕX =0, 0 < а2 := EX2 < -,
(12)
то
Нш
£¿0
где
! е "хёО (х)
а = I «-1
1п =а - 21п (у
Р (> 0) -2
п = 1
Отсюда, используя уточнение тауберовой теоремы Караматы, данное в [10], мы немедленно получаем
Следствие 4. Если выполнены условия (12), то
Нш (О (х) -1п х) = С0 + 0 1п Гаа-
х ^ — 2 V 2
где С0 - постоянная Эйлера.
Этот результат получен в [8] путем прямых вероятностных рассуждений, причем достаточно сложных. Преобразования Лапласа используются в [4, 5], однако только в случае, когда распределение Г сосредоточено на полуоси или устойчиво. В статье [6] получено представление для v([-х, х]) в предположении,что EX = 0, ЕIX |3 < — и некоторая итерация Г(х) имеет абсолютно непрерывную компоненту. В этом представлении отсутствует ряд Спицера 0, что вследствие (3) вполне объяснимо. Вместо преобразований Лапласа в [6] используются обобщенные преобразования Фурье. Комбинируя лемму 2 и представление (10), мы приходим к следующему равенству.
Следствие 5. Если выполнены условия (12), то
Игл £ ! е"хёН+( х) = ехр | С0 + 0 -^п ^ ^^
Тауберова теорема Караматы дает возможность получить асимптотику Н+(х) при х ^ —.
х
X /2
Теорема 4. Пусть выполнены условия (12). Тогда
НАГАЕВ где
lim х 1H+ (х) = exp\ C0 + Q -2ln(у
(13)
Если выполнены условия (12) и для каждого фиксированного < l < ^ справедливо соотношение
lim Si+Ü _ 1,
x ^ F ( x )
то, используя представление
x
P (Z- < x) _ J H+ (x - y) dF(y) и равенство (13), приходим к
x ^
P(Z- < x) ~ у Г (x - y)dF(y) _ y[F(x - y)dy, (14)
x ^ -^ J J
где Y= exp J C0 + Q - ^^ln (y
Аналогичные рассуждения при условии
< l ,
lim1 - F<* + 1 ) = 1, -с
1- F (х)
приводят к следующему асимптотическому равенству для P(Z+ > х):
P(Z+ > х) ~ jJ(y - х)dF(y) = y J [ 1 - F(х -y)]dy,
Y = exp J Co + Q-1ln f|
Q = I «-1
n = 1
p (^ < о) -2
Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ (проект 06-01-00069) и ИНТАС (проект 03-51-5018).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Наука, Т. 2. 1984.
2. Золотарев В.М. // Теория вероятностей и ее при-менения.1957. Т. 2. № 4. С. 444-469.
3. Нагаев С В., Ходжабагян С.С. // Теория вероятностей и ее применения. 1996. Т. 41. № 3. С. 655-665.
4. Greenwood P., Omey I, Teugels J.L. // Ztschr. War-scheinlichkeitstheor. und verw. Geb. 1982. Bd. 59. № 3. S. 391-409.
5. Greenwood P., Omey I. and Teugels J.L. // Ztschr. War-scheinlichkeitstheor. und verw. Geb. 1982. Bd. 61. № 4. S. 527-539.
6. Grubel R. // Probab. Theory Rel. Fields. 1986. V. 71. № 3. С. 393-403.
7. Grubel R. // J. London Math. Soc. 1988. V. 38. № 2. С. 179-192.
8. Stam A.J. // Stochastic Proc. Appl. 1991. V. 39. № 2. P. 277-285.
9. Нагаев A.B. // Теория вероятностей и ее применения. 1985. Т. 30. № 3. С. 535-538.
10. De Haan L. // J. London Math. Soc. 1976. V. 13. № 3. P. 537-542.
о
о
х
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.