ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2007, том 417, № 5, с. 583-588
= МАТЕМАТИКА
УДК 517.518.15+517.518.17+517.518.23+517.987.1
ФОРМУЛА КОПЛОЩАДИ ДЛЯ ГЛАДКИХ КОНТАКТНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ МНОГООБРАЗИЙ КАРНО
© 2007 г. С. К. Водопьянов, М. Б. Карманова
Представлено академиком Ю.Г. Решетняком 23.05.2007 г. Поступило 17.07.2007 г.
В анализе на евклидовых пространствах широкое применение имеет формула коплощади
J$к(ф, x)dx = J dz J dK"-k(u). (1)
U Rk Ф-1 (z)
Здесь ф e C1(U, Uk), U с U", n > k. Формула (1) применяется в теории внешних форм, потоков и задачах о минимальной поверхности (см., например,
[1]). В частности, формула Стокса легко может быть получена с помощью формулы коплощади
[2]. С развитием анализа на более общих структурах возник естественный вопрос о распространении формулы коплощади на объекты как можно более общей природы сравнительно с евклидовыми пространствами, особенно на метрические пространства и структуры неголономной геометрии. В 1999 г. L. Ambrosio и B. Kirchheim [3] доказали аналог формулы коплощади для липшице-вых отображений, определенных на ^-спрямляемом метрическом пространстве, со значениями в Uk, n > k. В 2004 г. формула коплощади была доказана для липшицевых отображений, определенных на ^"-спрямляемом метрическом пространстве, со значениями в Кк-спрямляемом метрическом пространстве, n > k [4, 5]. Кроме того, для справедливости формулы коплощади были получены необходимые и достаточные условия на образ и прообраз липшицева отображения, определенного на ^"-спрямляемом метрическом пространстве, со значениями в произвольном метрическом пространстве. Независимо от этого результата были исследованы множества уровня таких отображений и установлен метрический аналог теоремы о неявной функции [5, 6].
В 1982 г. P. Pansu доказал формулу коплощади для функций, определенных на группе Гейзенбер-га [7]. Далее в работе [8] J. Heinonen распространил эту формулу для гладких функций, опреде-
Институт математики им. СЛ. Соболева Сибирского отделения Российской Академии наук, Новосибирск
ленных на группе Карно. Еще один результат, касающийся доказательства аналога (1), принадлежит V. Magnani, который в 2000 г. доказал неравенство коплощади для отображений групп Карно [9]. Равенство было доказано только для случая отображения группы Гейзенберга в евклидово пространство [Rk [10]. До настоящего момента вопрос о справедливости формулы коплощади для отображений нильпотентных групп был открыт даже для модельного случая отображения двух групп Гейзенберга. Одна из основных проблем в этой задаче - описать геометрическую структуру множеств уровня данного отображения.
В данной работе мы доказываем формулу коплощади для некоторых классов контактных гладких отображений ф: Мх ^ М2 многообразий Карно. Заметим, что этот случай является более общим сравнительно с отображениями групп Карно.
Определение 1 (ср. с [11]). Фиксируем связное дифференцируемое риманово ^-многообразие М размерности N. Многообразие М называется многообразием Карно, если выполняются приводимые ниже свойства 1-4. Предположим, что в касательном расслоении Т М существует касательное подрасслоение H М, удовлетворяющее следующему свойству. Существует конечный набор натуральных чисел dimHM = = dimHx < ... < dim Hi < ... < dim HM = N, 1 < i < M, и для каждой точки p е М существует окрестность U с М с набором Сх-гладких векторных полей X1,X2, ...,XNна U, таких, что во всех точках vе U:
1)Xj(v),X2(v), ...,XN(v) образуют базис Т„М;
2) H(v) = spanjX^v),X2(v), ., X^ (v)} - подпространство ТМ размерности dimHi;
Cijk (v)Xk(v), где
I
3) [X, х^) =
ёевХк < ёевX Х}
степень degXkопределяется как тт{т|Хке Нт};
4) фактор-отображение [•, -]0: Нх/Н0 х Н/Н _ 1 ^ ^ Н + 1/Н/, Н0 = {0}, индуцированное скобкой Ли, является эпиморфизмом для всех 1 < / < М.
Обозначение 1. Положим топологические размерности многообразий Мг- равными Щ, а
их хаусдорфовы размерности равными v,, i = 1, 2. Предположим
Mj
TMi = ©( Hj/Hj ), H о = { 0 },
j = 1
M2
TM2 = © (Hj/Hj-1), Ho = { 0 }, j = 1
где Hj с TMj и H1 с TМ2 - соответствующие горизонтальные подрасслоения. Подпространство
Hj с T Mj (Hj с T М2) порождается Hj (Hi) и всеми коммутаторами порядка, не превосходящего j _ 1, j = 2, 3, ...,Mj (M2).
Обозначим размерности Hj/Hj _ j(Hj /Hj _i) символами Hj (nj), j = 1, 2, ...,Mj (M2). ЗдесьMj (M2) такое число, что Hmi/Hm1 _ 1 * {0} (Hm2/Hm2_i * {0}),
и HMi + 1 /HMi = {0} (Hm2 + i / Hm2 = {0}). Число Mj (M2) называется глубиной Mj (М2).
Предположение 1. Мы считаем, что N > > N2, dimH1 > dim Hi, а базисные поля в образе и прообразе принадлежат классу C".
Теорема 1 [12]. Пусть ф: М1 ^ М2 _ контактное C1-отображение (т.е., Dф(HJ) с H).
Тогда оно hc-дифференцируемо всюду, а именно существует горизонтальный гомоморфизм L: (Og, dGgMi) ^ (0ф(Я), dG<pgу2) нильпотентных
касательных конусов, такой, что dM (ф(^),
L(w)) = о(dMi (g, w)) при E n Og Э w ^ g.
Обозначение 2. Пусть Z = {x e M1: гапк(.ф(х)) < N2}.
Следующее предложение описывает связь свойств дифференциала Оф и hc-дифференциала
D ф отображения ф на множестве МД Z.
Предложение 1. I. а) Если D ф(х)(¥1) = V , то D ф(x)(Vi) = Vi для всех i = 1, 2, ..., M1 и rank D ф(x) = N2;
б) если D ф^Х^) * Vi, то rankD ф(x) < N2. II. В точках x e M1\Z со свойством rankD ф^) = N2 мы имеем
а) D ф)(Щ = Hг, i = 1, 2, M2;
б) Dф(x)(Hг /Hi _ 1) = H /Hi _i, i = 1, 2, M2. Следствие 1. Имеем nt > n i, i = 1, 2, ..., M1.
Определение 2. Множество % = {x e
e МДZ: rankDф(x) < N2} называется характеристическим. Точки множества % называются характеристическими.
Определение 3. Множество В = {x e М1:
rank D ф^) = N2} называется регулярным. Если x e В, то x _ регулярная точка.
Лемма 1 и теорема 2 связывают аналитические и геометрические свойства hc-дифференциала. Эти связи используются в доказательстве теорем 3 и 4.
Лемма 1. I. Имеем
J x e Mi\Z: 3{Xh, Xh, X1n }
/ N2
I deg Xj
V = i
< v2
(rank([Xj ф]( x)); = i = N2):
II. Если существует { X, , Xt , ..., X,n } со
N2
rank([Xlj ф](x)) = N2 и I degXlj = V2,
свойством
j = i
то degXi < M2, j = 1, 2, N2.
Теорема 2. I. Характеристическое множество % совпадает с множеством
x e Mi\Z: V{ X, X,, ..., X, }
N2
(rank([X, (ф)](x))n = i= N2):
I deg Xj
j=i
II. Регулярное множество В совпадает с множеством
x e Mi\Z: 3{X,X,, ..., X, }
N2
N2
(rank([X(ф)](x)). = i= N2)
I deg Xi
j=i
л \
= v2
У
Введем новую метрику, которая упрощает вычисления в основных теоремах 3 и 4.
Определение 4. Пусть М - многообразие Карно топологической размерности N и глубины
M и пусть x = exp
/ N i Л
I xX
(g). Определим рас-
xi
Vi = i /
стояние d2(x, g) следующим образом:
d2(x, g) =max
/ ni
,1/2
/ n1 + n2
V = 1 ^ V = ni + 1
2deg X„t
2deg XN
V = N - Пм +1 /
Аналогично вводится метрика в локальной группе Карно СмМ.
Замечание 1. Прообраз шара Вох2(х, г) в метрике d2 при отображении 0х равен Вох2(0, г) =
= Я"1 (х, г) х в"2 (х, г2) х ... х Б"" (х, гм), где в"2', , = = 1, 2, ..., М, - евклидовы шары размерностей п,.
Заметим, что Во х0 (0, г) = Вох2(0, г).
Обозначение 3. В теоремах 3 и 4 мы доказываем некоторые локальные результаты для фиксированной точки х. Используем вспомогательное отображение у = ф ° 0х.
Обозначение 4. Рассмотрим число v0 такое, что
Vo(x) = minj v: 3{Xh,X2, ..., X,n }
N2
(rank[(X, ф)](x)); = 1 = N2)
/ N2
I deg X
vj = 1
=v
- ((Рк + ?)ь (Рк+д)а!шНт , 0, 0) ортогонален каждому из векторов Рк+р + 1, ..., щ, д = 0, 1, ...,р.
Для построенного базиса мы определяем две проекции: первая проекция пт сопоставляет каждому вектору векторр] = - ((^Д, (м>,)^шНт, 0, ..., 0), где dimHm < ¡(р,) < dimHm + 1, а вторая сопоставляет каждому базисному вектору вектор
'l (w>)
N2 i = 1
Ясно, что v0|x > v2 и v0|D = v2.
Теорема 3. Фиксируем x е ф-1(0. Тогда
0,eN1 - N2 j
л -мера пересечения Toty-1^)] п Box2(0, r) эк-
n v1-v0(x) ч n v
бивалентна C r , где C не зависит от r. Кро-
r рф^)|
ме того, в регулярной точке C = - - т "- с точ-
\D ф( x )|
ностью до риманова множителя.
Доказательство. Основная идея доказательства - построение нового базиса w1, w2, ... ..., wNi - N в касательной плоскости в нуле ко множеству уровня ty-1©. Если эти базисные векторы записать как строки ((N1 - N2) X N^-матрицы (относительно стандартного базиса (е1, e2, ..., eNi}), то они будут обладать следующими свойствами:
1) l(Wj) < l(w) при j < i, где l сопоставляет каждому вектору номер последнего ненулевого элемента соответствующей строки;
2) если dimHm < l(wk), ..., l(wk+p) < dimHm + 1 и l(Wk+p + 1) > dim Hm + 1, то каждый из векторов wk+„ -
Далее мы показываем, что гапк(сгу) = N2, где {оь ©2, с^} = {еь ^2, N еК), ...
..., е1(^ )}, а затем доказываем, что сумма степеней векторов с,, / = 1, 2, ..., Nъ равна v0(x) (здесь степень вектора с, определяется как degХ^с)). Следовательно, сумма степеней векторов п,, у = 1, 2, ..., N1 - N2, совпадает с v1 - v0(x). Отсюда мы получаем, что мера множества = Вох2(0, г) п
п span{p1,р2, ..., рщ_щ } равна Сг , где С не зависит от г. Окончательно, мы доказываем, что длина пересечения [р, п Вох2(х, г) эквивалентна 0(гк,)) при достаточно малых г > 0, и, используя этот результат, получаем, что пт(Т п Вох2(0, г)) совпадает с 5 п Вох2(0, г(1 + о(1))).
Существенная часть этого шага доказательства основывается на свойствах следующей "смешанной" метрики: d2Е (х, у) = d2(0, х - у). Очевидно, что d2(0, и) = d2 (0, и) = d2Е (0, и) для и из некоторой окрестности нуля. Также существенно использовались свойства "формы" шара (см. замечание 1).
Далее мы доказываем, что Пт(Т) = кег( Ь у(0)) и
строим проекцию п^ (кег(Ьу(0)))х ^ (кег( Ь у(0)))х, такую, что Пд,(^) ± (V - п^У)) для всех V. Стандартными рассуждениями выводим, что искажения меры при отображениях пт и Пд? совпадают. Утверждение о множителе С следует из того, что -11
D nN
.. Л \dу(o)|
.„ , „а|(у) = - ^ - во всех точках у, до-
l(ker(D у( 0))) |D 0 )|
статочно близких к нулю. Теорема доказана.
Определение 5. Пусть
^ I
, - отоб-
ражение многообразий Карно. Фиксируем x е
d9-H скажение
точке у относитель-
но xравно
d 2(^( У )Д( x ))
■,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.