научная статья по теме ФОРМУЛА РЕШЕНИЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ Автоматика. Вычислительная техника

Текст научной статьи на тему «ФОРМУЛА РЕШЕНИЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ»

Автоматика и телемеханика, Л- 2, 2007

PACS 02.30.Yy

© 2007 г. B.J1. ПРЯДИЕВ, канд. физ.-мат. наук, A.B. ПРЯДИЕВ (Воронежский государственный университет)

ФОРМУЛА РЕШЕНИЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ1

Доказывается повое представление решений пачалыю-краевых задач для уравнения вида uxx(x,t) + r(x)ux (x,t) — q(x)u(x,t) = utt(x,t) + j(x)ut(x,t) на отрезке (при краевых условиях 1-. 2- или 3-го типа в любом сочетании). Это

xt

отрезку.

1. Введение

Основным объектом исследования в работе является начально-краевая задача: Uxx{x,t) + r(x)ux(x,t) - q(x)u(x,t) = Utt(x, t) + ^(x)ut(x, t)

((x,t) e п =(0;i) x (0;+^)),

(2) u(0,t)=0, u(i,t)=0 (t > 0),

(3) u(x, 0) = y>(x), ut(x, 0) = 0 (0 < x < i),

в которой функции r, q, ^ и вещественнозначны, q e C[0; i], r, ^ e C 1[0; i], <p e e C2[0; i]. Решение задачи (1)—(3) ищется в массе вещественнозначных функций и, непрерывных на п = [0; i] x [0; равенство ut(x, 0) = 0 понимается в предельном

смысле.

На сегодняшний день достигнуты значительные успехи в решении задач граничного управления и граничного наблюдения для волнового уравнения, для телеграфного уравнения и для уравнения вида k(x) [k(x)ux(x, t)] = utt(x,t) - имеем в виду серию из более чем 20 (на сегодня) работ В.А. Ильина, В.В. Тихомирова, E.IL Моисеева, Л.Н. Знаменской, П.А. Рево, Г.Д. Чабакаури2. Одним из ключевых инструментов анализа в этих работах является формула Даламбера в случае волнового уравнения, телеграфного уравнения без искажения сигнала и уравнения k(x) [k(x)ux(x, t)] x = utt(x,t), либо формула Римана вместе с возможностью выразить функцию Римана через функцию Бесселя в случае телеграфного уравнения с искажением сигнала. Поэтому понятно, что при исследовании задач граничного

1 Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, г раит 04-01-00049 и грантом Президента РФ (НШ-1643.2003.1).

- Эта серия начинается, по-видимому, с [1 и 2]; достаточно обширную библиографию этого направления исследований можно найти в [3] см. там указания на стр. 16 18. Разумеется, эта библиография ие содержит более иоздиих работ, иаиример, [4].

управления и граничного наблюдения для одномерного гиперболического уравнения более общего вида, нежели волновое и телеграфное уравнения, важно иметь в распоряжении формулу, конечным образом выражающую решение уравнения через начальные данные. В случае уравнения вида (1) с г = 0 и ц = 0 такого рода формула найдена A.B. Боровских [5. 6] и им же она успешно применена к решению задачи граничного управления [7].

В настоящей работе доказывается, что решение задачи (1) (3) представимо в виде

£

(4) u(x,t) = j g(x,t, s)(Ly)(s) ds,

0

где L - некоторый линейный обыкновенный дифференциальный оператор второго порядка, причем и оператор L, и функция g те зависят от у. Это представление может оказаться полезным при исследовании задач граничного управления и граничного наблюдения для уравнения (1). а кроме того, оно может быть положено в основу численного решения задачи (1) (3).

2. Основной результат

Для формулировки основного результата нам понадобится ввести в рассмотрение некоторые дополнительные объекты, связанные с задачей (1) (3).

Обозначим буквой H множество всех вещественнозначных функций h, определенных на П = [0; £] х [0; х (0; £) и удовлетворяющих следующим требованиям:

1) h непрерывна на П и непрерывно доопределяема на П\П, где П - замыкание П;

h

равномерно непрерывны на каждой из компонент связности множества П, получающегося удалением из П точек (x, t, s) плоскостей t ± s + x = 2n£ и t ± s — x = 2n£, n = 0,1, 2,...;

3) при каждом s G (0; £) функция h( ■, ■, s) удовлетворяет уравнению

Uxx(x,t) + r(x)ux(x,t) — q(x)u(x,t) = utt(x,t) + ¡!,(x)ut(x,t) ((x,t) G n(s)),

где n(s) = {(x, t) | (x, t, s) G П}. L

(Ly)(x) = po (x)y"(x) +pi(x)y(x) +P2(x)y(x),

где P0,Pi,P2 G C[0; £], po не имеет нулей и

Pi(0) + r(0)po(0) = 0, pi(£) + r(£)po(£) = 0.

Пусть при этом функции p0, pi и p2 таковы, что для любой f G C[0; £] краевая задача

(5) (Ly)(x) = f (x) (0 < x < £),

(6) y(0)=0, y(£) = 0

имеет решение, причем единственное, и пусть G(x, s) есть функция Грина краевой задачи (5), (6).

gH

(7) g(0,t,s) = 0, g(£, t, s) = 0 (t > 0, 0 <s<£),

(8) g(x, 0,s) = G(x,s), gt(x, 0,s)=0 (0 < x < £, 0 <s<£).

Далее будем использовать символ С2 (Д) для обозначения множества всех веще-ственнозначных функций, определенных на замыкании Д связной области Д € К"

ДД непрерывно доопределяемыми на границу дД области Д.

Основной результат заключен в следующей теореме.

Теорема 1. Если д(х,Ь, в) существует, то для любой функции у € С2^; £] такой, что у(0) = 0, у(£) = 0 и (у'' + ту — ду)(0) = 0 (у'' + ту — ду)(£) = 0, решение задачи (1)-(3) представимо в виде (4). При этом и € С2 (п).

Уместно отметить два обстоятельства.

Первое, при физической интерпретации уравнения (1) (например, как уравнения колебаний струны) функция д, как правило, оказывается неотрицательной, что влечет корректность задачи (5), (6) для оператора Ь, определенного формулой

Ьу = у" + ту' — ду;

примечательно, что Ьу при этой интерпретации (и при таком Ь) означает погонную плотность внешней нагрузки, приложенной к струпе в момент времени Ь = 0. Таким образом, в рамках этой интерпретации формула (4) описывает решение задачи (1) (3) через внешнюю нагрузку, приложенную к струне в начальный момент времени, и знание собственно начального положения струны не является при этом необходимым.

Второе, представление решения задачи (1) (3) в форме (4) приводит к необход

д

ления при больших Ь. На первый из этих двух вопросов частично отвечает приводимая ниже теорема 2, а что касается второго вопроса, то для общей ситуации он мало изучен, а указания на частные результаты читатель найдет в 5- и 6-м замечаниях 4-го раздела настоящей работы.

Теорема 2. Если / = 0 и т(0) = 0 = т(£), то функция д € Н, удовлетворяющая соотношениям (9) и (10), существует. При этом для каждое о оператора Ь д

Сделаем несколько замечаний, касающихся перспектив развития основного результата данной работы и его соотношения с некоторыми, уже известными, фактами.

1. Если условие щ(х, 0) = 0 в (3) заменить на щ(х, 0) = ф(х), где ф € С2 [0; £], ф(0) = 0 Ф(£) = 0 т0 ПРИ существовании функции д решение так измененной задачи (1) (3) представимо в виде

это устанавливается стандартно. Наличие представления (46) позволяет применить принцип Дюамеля для решения начально-краевой задачи (с краевыми условиями (2)) для неоднородного уравнения

ихх(х,Ь) + т(х)их (х,Ь) — д(х)и(х,Ь) + / (х,Ь) = ии(х,Ь) + /(х)щ(х,г).

2. Теоремы 1 и 2 сохраняют силу и в случае, когда коэффициенты уравнения (1) зависят не только от х, то и от Ь - правда, в этом случае от них нужно потребовать большей регулярности.

3. Заключение

3. Теорема 1 сохраняет силу и при краевых условиях 2-го и/или 3-го типов и любых их сочетаниях с краевыми условиями 1-го типа соответствующие доказательства практически не отличаются от доказательства теоремы 1.

4. Если для уравнения вида (1) рассмотреть начально-краевую задачу на полуоси (при х ^ 0), сохраняя краевое условие п(0,Ь) = 0, или начальную задачу на оси (при х £ М), то, рассуждая, как и в доказательствах теорем 1 и 2, придем к представлению вида (4), но с заменой промежутка интегрирования (0; £) на (0; или соответственно на (—го;+го). При этом функцию Грина О можно определить дополнительным условием, например, ограниченности при х = +го (соответственно при х = ±го).

5. Для случая г = д = ц = 0 (т.е. когда (1) есть волновое уравнение) и краевых условий: в точке £ - третьего типа (пх(£,Ь) + к п(£,Ь) = 0, где к - некоторое вещественное число), а в точке 0 - первого или второго (т.е. п(0,Ь) = 0 или пх(0,Ь) = 0), утверждение теоремы 1 доказано в [10, § 2.2]: при этом там доказано существование д(х,Ь, в) и, более того, д(х,Ь, в) конечным образом выражена через О(х, в).

6. Для случая, когда волновое уравнение рассматривается на геометрическом графе (пространственной сети) и краевые условия первого типа, аналог теоремы 1 установлен в [11] (см. там теорему 1); при этом там доказано существование д(х, Ь, в) и получено функциональное уравнение для д(х,Ь,в), позволяющее конечным образом выразить д(х,Ь, в) через О(х, а).

7. Теоремы 1 и 2 расширяют класс начально-краевых задач, для которых сохраняет силу достаточная часть теоремы В. А. Чернятина [12] теорема 3.1 на с. 39.

Для доказательства теоремы 1 нам потребуются две леммы.

Лемма 1. Если h G Hua G C[0;£\ такова, что a(0) = 0 = a(£), то функция

удовлетворяет уравнен ию (1) на множеств е А = {(х, Ь) | 0 < х < £, 0 <Ь < 3£/2—

— \х — £/2|}. При этом п(х,Ь) £ С2 (А).

Д о к а з а т о л ь с т в о. Рассмотрим

А1 = {(х,Ь) |0 <х <£, 0 <Ь<£/2 — \х — £/2\} ,

А2 = {(х,г) | 0 <х < £/2,х <Ь <£ — х},

А3 = {(х,г) | £/2 <х <£,£ — х <Ь < х} ,

А4 = {(х,Ь) |0 < х <£,£/2+ \х — £/2\ <Ь < 3£/2 — \х — £/2\}

- области, на которые пятиугольник А разбивается характерно тиками Ь = х и Ь = = £ х

ПРИЛОЖЕНИЕ

(9)

о

si(x,t) = S2(x,t) =

x — ^и (x, t) G Ai U A3, t — x при (x, t) G A2 U A4,

x + t при (x, t) G A1 U A2, 2£ — x — t при (x, t) G A3 U A4.

Если (x,t) G U A^ то, разбивая интеград в (9) на три интеграла: от 0 до s1(x,t), от i=i

si(x,t) до s2(x,t) и от s2(x,t) до £, получим:

Sl(x,t) &2(x,t) £

(10) ux(x,t)= J hx(x,t,s)a(s) ds+ j hx(x,t,s)a(s) ds + j hx(x,t,s)a(s) ds

0 si(x,t) S2 (x,t)

si(x,t) S2(x,t) £

(11) ut(x,t)= J ht(x,t, s)a(s) ds + J ht (x,t, s)a(s) ds + J ht(x,t, s)a(s) ds,

0 si(x,t) S2 (x,t)

(12) uxx(x,t) = [hx(x + 0,t, si(x,t)) — hx(x — 0,t, si(x,t))] a(si(x,t))+ + [hx(x + 0,t, s2(x,t)) — hx(x — 0,t, s2(x,t))] a(s2(x,t))+

si(x,t) S2(x,t) £

+ j hxx(x,t, s)a(s) ds + j hxx(x,t, s)a(s) ds + j hxx(x,t,s)a(s) ds, 0 si(x,t) S2 (x,t)

(13) utt(x,t) = [ht(x,t + 0, si(x,t)) — ht(x,t — 0,si(x,t))]a(si(x,t))+ + [ht(x,t + 0, s2(x,t)) — ht(x, t — 0, s2(x,t))] a(s2(x,t))+

Si(x,t) S2(x,t) £

+ J htt(x,t, s)a(s) ds + J htt(x,t, s)a(s) ds + J htt(x,t, s)a(s) ds,

0 si(x,t) S2 (x,t)

(14) uxt(x, t) = — [hx( x + 0,t, si(x,t)) — hx(x — 0,t, si

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком