Дифференциальные уравнения
Фозилов СТ., кандидат физико-математических наук, доцент Астраханского государственного университета Ильясова А.К., соискатель Астраханского государственного технического университета
ФОРМУЛА ЯВНОГО РЕШЕНИЯ И ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С ОДНОЙ ВНУТРЕННЕЙ СИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКОЙ
В настоящей работе для одного класса квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных с одной сингулярной точкой получена формула явного решения через две произвольные функции и изучена одна граничная задача.
Монография [1], написанная крупным французским математиком Адамаром, представляет собой классический труд по теории линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. В ней впервые построено фундаментальное решение гиперболического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, изучены вопросы приложения к принципу Гюгенса.
Данная монография в сильной степени способствовала появлению дальнейших исследований в области гиперболических уравнений в частных производных. Различные аспекты гиперболических уравнений второго порядка, как линейных, так и нелинейных исследованы в работах Л. Гординга, Х.О. Крейса, С. Мизохаты, Б.Л. Рождественского, С.Л. Соболева, И.Г. Петровского, Л. Хермандера и других. Исследованиям гиперболических уравнений и их приложениям посвящён ряд работ В.Ф. Волкодавова, Н. Я. Николаева.
Вообще говоря, вопросам изучения линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка гиперболического типа посвящено много работ. В частности, для общего гиперболического уравнения второго порядка получена формула, выражающая в явном виде искомое решение задачи Коши через начальные данные, при этом решение выражается через решение одного сопряженного уравнения, которое называется функцией Римана [2].
При решении задачи Коши для уравнения в частных производных второго порядка гиперболического типа общего вида применяется метод интегральных уравнений [2], [6], [13]. Решение задачи Гурса для этого уравнения сводится к решению системы интегральных уравнений Вольтера второго рода. Установлена связь между решениями некоторых модельных уравнений гиперболического типа со многими сингулярными поверхностями и гиперболическими уравнениями с регулярными коэффициентами [7]. На этой основе был решен ряд граничных задач типа Коши и Дарбу [7]. В общем случае линейные дифференциальные уравнения в частных производных третьего порядка исследованы в работе [10]. Вопросам изучения нелинейного уравнения в частных производных третьего порядка гиперболического типа посвящены исследования [11].
№ 1. Представление многообразий решений для одного класса квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с одной сингулярной точкой на плоскости.
Пусть О обозначит прямоугольник
п(а, в) = {0 < * < а,0 < у < в}, и пусть
п(а) = {0 < х < а,у = 0},п(в) = {х = 0,0 < у < в}.
Естественные и технические науки, № 3, 2007
В области О рассмотрим уравнение вида
%)(«) + ^ ехр[пу + ^ и ] = о, (1.1)
где - линейный сингулярный дифференциальный оператор второго порядка, который задается формулой
— 2 + а(х у) — + с(х У) ^1 йхйу г —х Г 2
а(х, у), Ь(х, у), с(х, у) - заданные действительные непрерывные функции области О,
2 2 2 г 2 = Х 2 + у 2.
Цель настоящего параграфа заключается в следующем: при наложении определенных условий на коэффициенты а, Ь, с для уравнения (1.1) получить интегральные представления многообразия решений в явном виде, которое содержит две произвольные функции контуров ж(а),ж(0), зависящие от одного переменного.
Предположим, что в уравнении (1.1) функция а(х, у) по переменному х имеет непрерывное производное второго порядка, а по переменному у - непрерывная. Тогда уравнение (1.1) при помощи некоторых преобразований сведется к следующему виду
— [си(г/)]+ Д(Ф ) = -Ь(^ у )г ехР(си(")), (12)
где С(51), Д(1) являются линейными сингулярными дифференциальными операторами второго порядка и даются при помощи следующих формул
С(Л) =—+ а(х у )
^ ' —у Г
Д и _
_ ха(х, у) 1 йа + с(х, у)
-3 г —х Г 2
ГГ
Для того, чтобы в равенстве (1.2) отсутствовал оператор Д (^ необходимо и достаточно выполнение следующего условия
гс(х, у)-г 2 + ха(х, у) = 0. (1.3)
ах
Если результат действия оператора С^) на искомую функцию обозначить через функцию V = у(х, у) и считать тождественно выполнимым условие (1.3), то при помощи некоторых преобразований из равенства (1.2), получим
— V* (х, у) = Ь(х, у)
ах
где 1п
у )=- Ч^у^К (1.5)
/ ч —и а(х, у) v(x,y) = —+ и . (1.6)
—у г
Г
Предположим, что функция а(х, у) в окрестности сингулярной точки удовлетворяет следующему условию Гельдера:
|a(x,y)-a(0,0) < raiH\
(1.7)
где Hi = const, постоянная Гельдера, 0 < a < 1. Тогда, согласно [7], решением уравнения (1.6) будет функция следующего вида:
f \ a(0,0)
u
(x, У ) =
x
У + л/x2 + У2
exp (- ш i (x, y ))
Ф
(x и
v
(x, т)ехр (ш 1 (x, т))
V,
т + V x2 + т2
■\а(0,0)"
x
d т
= Ф (ф, v ),
где ((х) - произвольная действительная непрерывная функция точек контура п(а), причем <р{х)е с2 (п(а)), а>1 - интегральный оператор следующего вида
ш
(x, У )=!
a(x, т)- а(0,0) ~1
dт.
22 x +т
Теперь предположим, что функция Ь(х, у) в окрестности сингулярной точки удовлетворяет условию Гельдера
|b(x,У)-¿(0,0) < ra2H2,
(1.9)
где Н2 = сот1 > 0, постоянная Гельдера, 0 < а2 < 1. Тогда решая уравнение вида (1.4) и учитывая равенство (1.5) будем иметь:
v(x,y) = - ln
щ(у ) + Ш2 (x, У) + ¿(0,0)ln x + -J.
x + x 2 + y 2
(1.10)
где у/(у) - произвольная действительная непрерывная функция точек контура п(в), причем у/(у)е с'(;г(в)), ®2 - интегральный оператор следующего вида
Ш2(x,y) = \b(t,y)-b(0,0)dt .
0 it2 + У 2
При ¿(0,0)^ 0 функция у(х, у) вида (1.10) неограниченна, т.е. имеет логарифмическую особенность.
Теперь в равенстве (1.8) вместо функции V = у(х, у) подставляя ее значение из равенства (1.10), получим формулу (1.11):
х
з(0,0)
( y ) =
x
y + Jx2 + y2
ex
p(-®1 (x, y ))x
2 2 2 + т2
ex
■p(®i(т»
^tW x 2 + т2
\ a(0,0)
dT
ф(х) -11п у(т) + ш 2 (х, т) + Ь(0,0)1п х + л/х
о
_ Ф(ф, V, Ь)
Таким образом, доказано следующее утверждение. Теорема 1.1. Пусть в уравнении (1.1)
а) функция а(х, у) по переменному х имеет непрерывные производные первого порядка и удовлетворяет условию Гельдера (1.7); и 0 < а(0,0) < 1;
б) функция Ь(х, у) удовлетворяет условию Гельдера (1.9) и Ь(х, у), с(х, у)е с(о);
в) кроме того, допустим, что тождественно выполняется условие (1.3).
Тогда всякое решение уравнения (1.1) из класса С2 (О) представимо в явном виде и дается при помощи формулы (1.11), т.е. и (х, у) = Ф(ф, у, Ь).
Примечание. Полученная формула интегрального представления многообразия решений уравнений вида (1.1) может применяться при исследовании краевых задач.
№ 2. Решение одной краевой задачи смешанного типа для квазилинейного уравнения в частных производных второго порядка с одной сингулярной точкой.
Для уравнения (1.1) рассмотрим следующую задачу смешанного типа.
Задача Д\. Требуется найти решение уравнения вида (2.3.1) в области О, из класса
С2(О) при а < 0,в = 0,а = а(0,0),в = Ь(0,0) по граничным условиям:
1) и(х у )у=0 = / (х)
2)
d (su )
dy
= g (y
x=0
3) f (0) = g (0),
где f (x), g (y ) - заданные функции точек П (а), П (р), s(x, y ) =
a(0,0)
vy + Jx2 + y 2y
exi
P^ (x y ))•
Решение задачи Д. Для решения этой задачи будем исходить из интегрального представления вида (1.11).
Полагая в нем y = 0 и замечая, что при y = 0 а>1 (x, y) = 0, будем иметь: u(x,0) = cp(x), но, если учесть первое условие данной задачи, имеем:
(p(x ) = f (x) • (2.1)
Если обе части интегрального представления (1.11) умножить на выражение вида s(x, y), далее обе части полученного равенства продифференцировать по переменной y в пределах от 0 до y , тогда с учетом использования второго условия данной задачи и замечая, что при x = 0 а>2 (x, y) = 0 , будем иметь:
g (y ) = ln||(y )exph (0, y Ж,
где m > 0 и а = -m .
x
Из последнего равенства находим:
Уag(у)ехР(-®1(0,у)) = 1п||(| или
|(у) = ехр[у^ (у )ехр(- ^ (0, у))]. (2.2)
Таким образом, доказана справедливость следующего утверждения.
Теорема 1.2. Пусть в уравнении (1.1) коэффициенты удовлетворяют условиям теоремы 1.1, а в задаче Д ((х)е C2(П(а)),g(у)е C'(П(в)). Тогда задача Д имеет единственное решение, которое дается при помощи формулы (1.11) и, в которой виды функции ((х), |(у) соответственно определены равенствами (2.1), (2.2).
Замечание. Способ, разработанный в данной работе, может быть применен к исследованию нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с тремя и более сингулярными плоскостями трехмерного пространства.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. М., «Наука», 1978 (1923). 352 с.
2. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных произвольных. М., 1981. 448 с.
3. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М., «Наука», 1976. 236 с.
4. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М., 1988. 5 12 с.
5. Лионс Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М, «Мир», 1972. 587 с.
6. Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнения свешанного типа. «Дифференциальные уравнения», 1969. № 1. V.
7. Раджабов Н.Р. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальные уравнения с сингулярной линией и сингулярными поверхностями. Часть 4. Душанбе, 1985. 147 с.
8. Смирнов М.М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. Минск, высшая школа, 1977. 157 с.
9. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М., Наука, 1966.
10. Фозилов С.Т. Интегральные представления и граничные задачи для линейных дифференциальных уравнений в частных произвольных третьего порядка с сингулярными поверхностями. Кандидатская диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук. Душанбе, 1992. 103 с.
11. Фозилов С.Т., Раджа
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.