у(Ц, х) = е7мх(1+
Подставляя в (14) значения для с(ц, п), 5(ц, п), 5'(Ц, (9) п) из трех последних равенств, (9), (10) и (12), будем иметь
где
Сх \2
<(Ц, х) = |д(г)йг + 4УЦ |д(г)йг
д(ц) = (-1 )е + 7 +
14 ¡е*пц
2(^14+ А23) /п \2 п
1
2 7 Ц
| д(г) йг
+
-1д(х - 5)е-27"й - 2-|К (х, 5)е^^, (10)
0 0 х
и'(ц, х) = 27ц|д(х - 5)+
0
х
+1 К2 (х,5) е"2^, (11)
0
ядра Кх(х, 5) и К2(х, 5) суммируемы по переменной 5 при каждом х е [0, п]. Из (9)-(11) следует, что
х
у'(ц, х) = ¡це+ + е7"х |д(х - 5)е"27"^
+
21ц |К 2 ( Г.5) е-""*
2 7Ц
0
Из (9)-(12) также следует, что
у(Ц, 0) = у(-ц, 0) = 1,
у(Ц, 0) = 7Ц, у(-Ц, 0) = -7Ц.
(12)
(13)
Обозначим через с(х, ц), s(x, ц) фундаментальную систему решений уравнения (1) с начальными условиями с(0, ц) = У(0, ц) = 1, с'(0, Ц) = 5(0, ц) = 0. Несложные вычисления показывают, что характеристическое уравнение задачи (1), (2) при выполнении условия (3) может быть приведено к виду Д(ц)= 0,где
Д(Ц) = (-1Г +
А14 + А23
с(п, Ц) +
+ -
23
А 14 + А23
5'(п, Ц) -
34
А 14 + А23
5(п,ц). (14)
Из (13) вытекает, что
С(ц, х) =у(Ц>х)+2У(-Ц-х),
„(м х) = у( Ц. х) -у( -Ц. х )
5(Ц'х) 2 7 ц ,
„.(м х) = У'( Ц. х) - у' ( -Ц, х ) 5(Ц'х) 27 ц .
+
4 7 Ц
|д(г)йг -1д(п - 5)м5"5-
00
27ц/К ■<*« е-1"1*
+е
-глц
1 2 7 Ц
| д (г) йг-
0
1
4 7 Ц
п
2п
|д(г)йг -1д(п - 5)е2^ +
0
0
+
я
27м1 К'(п-5> е2"5"5
+
23
+ X < е
7п"
Ц
1+
2 Ц
27 Ц( А 14+ А23 )
■к /п \ 2
1 д (г) йг + 47" 1 д (г)л
X
0
-1 д(п - 5)е^'"^ - 27"1 К1 (п, 5)е"2^
+
я я
+1 д(п - 5)е-27"^ + 27"1 К2(п, 5)е"27"й
-е
-¿п"
- Ц
п
1--727"
V
п2
1 д (г) йг -¡¡"ТМ 1 д (г > ^
0
0
-1 д(п - 5)е2^ + 1К 1(п, 5)е2^
+
+1 д(п - 5)е2^ - 1 К2(п, 5)е2^
7 п"
27Ц( А 14+ А 23 )
27Ц
1 д (г) йг
+
п
+ -
4 Ц
2п
1 д(г)йг -1 д(п - 5)е~21"5й5,-
0
0
27м 1К ■ <п.5) е-
-е
- пц
1 27 Ц
1 д(г) йг-
0
п
х
0
0
х
х
п
п
0
0
0
0
х
п
п
0
0
0
0
п
п
0
0
п
0
п
п
0
310
МАКИН
1
4 i|
\ 2 п
Jq(t)dt - Jq(п - S)e'^dS +
A(|) = Ao (|) +
-i ПМ
e - e
4 ^ o
п
4 i m
J q (t) dt-
+
21M J K-<*S>
(15)
inM , -inM
e + e
16 m2
п2
J q (t) dt
Vo
A23 A14 4 iM( A ! 4 + A23)
гпм i -ztcm
Обозначим А0(ц) = (-1)е + 1 + -^-. Приводя
в (15) подобные члены и располагая слагаемые в правой части равенства по убывающим степеням ц, получаем, что
x
enMJq(n - S)e-2^ - e-nMJq(n - S)e^dS
A(M) = Ao (M) +
i!M -i пм
e - e
4iM
Jq(t) dt-
гпм i -гпм e + e
16M2
/п Л 2
J q (t) dt
Vo
A 23 A 14
4 i M (A14 + A 23 )
x
x
eq(п - S)e-2^dS - e^Jq(п - S)e2^dS
A34( e ' - e ''») + 2 i м( Aj4 + A23 ) 8 m'
п
e^J K 1 (rn,S) e2 iMSdS
e^JK1(п, S)e-2'^
+
+
23
x
x
4 | ( A14 + A23)
п
eiTCMJ K 2 (rn,S) e^2iMSdS +
+ e^J K 2 (rn,S) e2 iMSdS
, A34( e ''' * + e - x + 2 x
4m2 (A14 + A23)
x
п2
J q (t) dt
vo /
A 34 ( emM - e M) 16i m3 (A14 + A23)
J q (t) dt-
пп
■ 2 A34-J eiпм[q(п - S)e^dS +
4 м2( A14 + A23 )JoL o
+ e^Jq(п - S)e2MSdS
x
x
o 8iM (A14 + A23)
пп
e"MJK1 (п, S)e'^dB, - e^JK 1(п, S)e2iMd
A34(eiTCM - e"TCM) | A34(eiTCM + e"TCM) 2 M( A14 + A23) 4 m2 ( A14 + A 23 )
Jq(t) dt-
+
o (1) e
п| Im|M
(16)
M
Вначале рассмотрим случай = 0. Тогда формула (16) заметно упростится:
А(м) = Ao (м)( 1+ г(м)),
(17)
где
(II ) = 1 I A23 A14
r(M) Ao(M) [ 4i м( A 1 4 + A23)
e^Jq(rn - S)e-2iMSdS-
e^Jq^ - S)e2iMSdS
A34(eiTCM - e^) , o(1) e
п |Im|l|]
2iM(A14 + A23) m2
(18)
o o
Из последнего равенства и леммы Римана [2, с. 36] следует, что
Рассмотрим случай 0 = 0. Обозначим через rN окружность радиуса 2N + 1 с центром в начале координат. Из асимптотических формул (6) вытекает, что при всех достаточно больших N внутри rN расположены числа |0, |n,j при n < N, а числа |n,j при n > N лежат вне rN. Отсюда следует [2, с. 82], что
N |
2 м0 + 2 Х(мП, 1 + мП 2) = 21п)' °м2 AcM)d M'
n =1
Очевидно, что если м е Г№ то |A0(|)| > c1eп|Im м| (сх > 0). Из последнего неравенства и леммы Римана [2, с. 36] получаем, что max | r(|)| ^ 0 при
N ^ го. Отсюда и из (17) следует, что
^м = J- °|2 fA^ + »SMLW =
2 m ° a(m^ 2 m J^ fAo(|) 1+ г(м)) ^
rN rN
4X( 2n )2 + 2Л °M2 dln (1+ r (M))
n =1 r
п
o
o
п
п
0
0
п
o
п
п
o
o
п
п
o
o
п
o
o
o
п
o
п
N
= 2n f-^J- ° 2ц ln (1+ г(ц)) dц. (19) 1 е'пц - е-п ц) 2 =-J_f
n =1 Г„ 2пi J ц ( Д0 (ц) ) 2 2п' J
л 2 пц 4cos -F
Из разложения функции 1п(1 + г(ц)) по формуле Маклорена, (18) и леммы Римана [2, с. 36] вытекает, что на контурах Г^
= r(ц)+
ln (1+ r (ц)) =
.2 , ¿пц -тц,2 /1Ч
A34 (e - е ) + o(1) 8 ц2 (A14 + A23) 2 ( Ао ( ц ) )2 ц2 .
Обозначим выражение в квадратных скобках правой части (18) через Ф(ц). Тогда
In = ¿Л ° 2 ц ln (1 + r (ц)) dц =
rN
i(A14 A23)Ф(ц) , iA34(е'пц - е-'пц)
1
2ni
+
2(A 14 + A23) Ао(ц) (A 14 + A 23 )А о (ц)
A34(е'пц - е-пц)2
4 (A14 + A23 )2ц(Ао (ц))2.
^¿ф-^ц = у
2пi °А(ц) ^ ^
1 |Ф ( ц )
iJ А0(ц)
rN
л ¿пц -¿пц
1 e - e
ге8
n = -N
Ф( ц)
1-Ао (ц)
, 2 n
Ш ° е Ао- i) dЦ = У
ге8
_ ¿пц -¿пц
ге - е
Ао ( ц)
, 2n
Стандартные вычисления показывают, что
ге8
Ф( ц) 1-Ао(ц)'
2n
_ -2 Ф' (2n)
п
ге8
. ¿пц -¿пц
е - е . Ао ( ц )
, 2n
4i
Из очевидного неравенства (c2 > 0), справедливого при |Im ц 1 г dц
81И
2 пц
2т J . 2пц г ц sin -f-
2
> 1, вытекает, что ^ 0 при N ^ го.
1
2 ni
41 sin-2 Пц -1
. 2пц г ц sin --f-2
dц =
ц
d ц = 2П ° f + - (1 ) =
= 4 + о( 1). Из (20)-(24) вытекает, что
(24)
In = - У
i (A14- A23 )Ф' (2 n)
n = -N
(A14 + A23 )П
+
У
4A
d ц + o( 1). (20)
п = _N (^14+ А23 )П ( А14+ А23 )
Из (19) и (25) следует, что
N
2ц0 + 2 £(цП,1 + ц22) =
п = 1
N
^ 2 , 7(А14 - А 2 3 ) Ф' (0) = 16 > п +-—
^ (А14 + А23 )П2
+ o (1). (25)
Вычислим интеграл в правой части последнего равенства. Легко видеть, что
+
У
i (A 14 - A2 3 ) [ Ф'(2 n) + Ф'(-2 n) -
(A14 + A23 )п2
(21)
4A
N
34
) п У I
8 A 3
+ o(1).
(А14 + А23)П £1 (А14 + А23)п (А14+ А2з)2 (26)
(22) Переходя к пределу при N ^ го в (26) и учитывая,
что
(23)
Ф'(ц) = inе'пц|q(п- £)e~2i
о
п
-2¿е'пц|^q(n - £)е-2'+
с2ел11тц| + iпе-'пц|q(n - ^)е2'ц^ - 2ie-'^q(n - £)е2'ц^,
что проверяется непосредственно, после приведения подобных членов находим, что
Отсюда следует, что при N ^ го
ц2 2 ( A 14 A23 ) цо - 2 ( A14+ A23 )п
J^ q(n - £) dj-
2A3
( A14 + A23 )П
N
N
2
N
n = 1
N
2
N
о
о
о
372
МАКИН
+
V 1,2 .2 о 2 (А14 А23) ^
УЦп, 1+ Ц», 2 П +-: Х
2 (А14 А23 )
п = 1
X
-2
(А14 + А23 )п п
п1 д(п - 5)( е4 п5 + е-4 п5) й5 -
0
п
15д(п - 5)(е4п5 + е-4п5)й5
( А 14 + А23 )п2
п1д(г)
008 4пг йг -
- 21 гд (г) 0084пг йг
+
+ -
34
4А4
( Ат 4 + А 23 ) п
= 0.
+
4 А3
34
(А14 + А23)п2( А14 + А23)2
= 0.
2 (А 14 + А23 )
Подставляя в последнее равенство выражения для функции д (х) и собственных значений Я0, Яп, у, на-
ходим, что
Осуществляя в последнем равенстве замену п - 5 = = г, получаем, что
А,0- < д) -
( А 14 А23 )
п
( А14+ А23 К
п1(д(г) - <д))йг-
м2 (А 1 4- А 23 ) Ц0 2 (А14+ А23 )п
п
п
п1д(г) йг - 2^д(г) й/
0
+-
2А
34
0
(А14 + А23)п
-2
1 г(д(г) - <д))йг
2 А 3
+
V К. 2 , ,,2 0 2 2 (А14 А23) ^
УЦп, 1+ "п, 2-8 п--- X
X
п = 1 п
( А14 + А23 )п
п1 д(г)0084пг йг- 21 гд(г)оо84пг
00
+
(А14 + А23 )п
У
£(Яп, 1+ ^ 2-8 п2 - 2 < д) -п
л1(д(г) - <д))0084пг йг-
+
п = 1 2 (А 14 - А23 )
(А14 + А23 )п
+ -
4А
34
(А14 + А23)п2 (А14 + А23 )2
= 0. (27)
Далее рассмотрим случай <д) ^ 0. Прежде всего заметим, что
ппп
1(п -2г)йг = 10082кг йг = 1 г0082кг йг = 0 (28)
000
(к = 1, 2, ...). Пусть д (х) = д(х) — <д), тогда <д ) = 0. Пусть задача (1), (2) с потенциалом д (х) имеет
собственные значения Я0, Яп, у, тогда Я0 = Яд — <д),
Яп,у = Япу — <д). Согласно (27), справедливо равен-
+
-21 г(д(г) - <д))0084пг йг
0
4А
2
34
34
+
= 0,
(А14 + А23)п2( А14 + А23)2
откуда в силу равенств (28) получаем формулу (7).
В случае 0 = 1 аналогичными рассуждениями устанавливается формула (8).
Если А14=А23, то формулы (7), (8) принимают вид
Я,- < д) + 2 А34
(А 14 + А23 )
п+ 1+ ^п, 2-8п2
-2 < д) +
4А
34
34
ство
Я0 -
( А14 А23 )
п
+
( А14 + А23 )п
2А
п
п1 д (г) йг - 21 гд (г) йг
(А14 + А23)п2 (А14 + А23 )2
1+ Яп, 2-2 ( 2 п-1 )2-
= 0,
п = 1
( А14 + А23 )
-+ У (Яп,1 + я п, 2 8п
-2 < д) +
4А
п = 1
(А14 + А23)п2( А14 + А23)2
= 0,
п
0
2
0
2
п
0
п
п
2
п = 1
2
2
2
а если дополнительно известно, что А34 = 0, то
Я0-< д) + У(Яп, 1+ К 2-8 п2 - 2 < д)} = 0,
п = 1
У(Яп, 1+ Яп, 2-2 (2 п -1 )2 - 2 < д)} = 0.
п = 1
Два последних равенства были получены в [3] для вещественного потенциала д(х) из £2(0, п) и в [4] для произвольного комплексного д(х) из £2(0, п). В [5, 6] В.Б. Лидский и В.А. Садовничий предложили метод вычисления формул следов общих задач для обыкновенных дифференциальных уравнений на конечном интервале. Обзор недавних работ по теории следов приведен в [7].
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 07-01-00158).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М., 1969.
2. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев, 1977.
3. Lax P. // Communs Pure and Appl. Math. 1994. V. 47. № 4. P. 503-512.
4. Sansuc J.-J, Tkachenko V. // Operator Theory, Adv. and Appl. 1997. V. 98. P. 216-224.
5. Лидский В.Б, Садовничий В.А. // Функцион. анализ и его прил. 1967. Т. 1. № 2. C. 52-59.
6. Лидский В.Б, Садовничий В.А. // Мат. сб. 1968. Т. 75. № 4. C. 558-566.
7. Садовничий В.А, Подольский В.Е. // Мат. сб. 2002. Т. 193. № 2. С. 129-152.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.