научная статья по теме ФРАКТАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ РЕЧНЫХ СЕТЕЙ Геология

Текст научной статьи на тему «ФРАКТАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ РЕЧНЫХ СЕТЕЙ»

ГЕОМОРФОЛОГИЯ

№ 1

январь-март

2014

УДК 551.4.013

© 2014 г. А.Ю. СИДОРЧУК ФРАКТАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ РЕЧНЫХ СЕТЕЙ

Введение

Основатель фрактального подхода французский математик Бенуа Мандельброт [1, 2] предположил, что речные сети фрактальны, и привел в качестве доказательства степенную зависимость между длинами рек и площадями их бассейнов. После этого оценкой фрактальной размерности речных сетей занималось большое число исследователей. Поисковая система SCIRUS (по ситуации на май 2012 г.) дала более 7000 ссылок на англоязычные статьи (из них более 800 в ведущих журналах), содержащие сочетания слов "речная сеть" ("river network") и "фракталы" ("fractals"). На русском языке опубликованы общие исследования по применению фрактального подхода в географии, геоморфологии и гидрологии [3-5]. В последнее время появились специальные работы по использованию фрактального подхода для анализа речных и эрозионных сетей [6-11]. Целью настоящей статьи не является обзор этой обширной литературы. Более целесообразным представляется рассмотрение базовых понятий фрактального подхода и оценка его применения для анализа геометрии речных сетей.

Основные понятия фрактального подхода излагаются по классическим монографиям Б. Мандельброта [2] и Е. Федера [12]. Термин "фрактал" был предложен Мандельб-ротом для обозначения сложных геометрических фигур, которые при неограниченном увеличении разрешения (увеличении изображения, масштабировании, скейлинге) не теряют своей сложности. Первоначально (цитируем по [12, с. 19]) Мандельброт дал следующее определение: "Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича которого строго больше его топологической размерности" (определение А). В случае русловых сетей таким множеством является множество точек, образующих рисунок русловой сети. Топологической размерностью этого множества будет единица (размерность линии). Размерность Хаусдорфа-Безиковича Б определяется как критическая размерность, при которой мера Ыа, представляемая как сумма некоторой пробной степенной функции в пределе скачком изменяет свое значе-

ние с 0 на бесконечность:

Здесь 5 - характерный размер некоторого измерителя, N - количество измерителей, необходимых чтобы покрыть геометрическую фигуру. Если измерителями являются прямолинейные отрезки (случай речной сети), то 5 - это их длины, а коэффициент т(йТ) равен 1. При показателе степени d, равном размерности Хаусдорфа-Безиковича (или

Основные понятия фрактального подхода

(1)

фрактальной размерности) D, и ô ^ 0, N ^ », мера MD приобретает определенное значение. В этом предельном случае

ôD . (2)

N(ô )

Фракталом сеть отрезков линий будет при 1 < D < 2.

Формулу (2) можно представить в виде

ôD-1=M_ _ML (3)

ôN(ô) L(ô) '

Здесь L (ô) - общая длина сети, измеренная (покрытая) с помощью отрезков длиной ô. Чем короче отрезок-измеритель, тем более точно измеряется общая длина речной сети и, соответственно, L (ô) увеличивается с уменьшением ô. Для практических вычислений D используются общие длины сети, измеренные с помощью отрезков (измерителей) разной длины (ô2 > ô1)

D i_ln L (ôi)-ln L(ô2)

ln(ô2)-lnL(ôi) ,

или же определяется угол наклона прямой на графике L = f (ô), построенном в логарифмических координатах (рис. 1).

Во многих работах по фракталам рассматриваются искусственно конструируемые сложные геометрические фигуры [12], для которых масштабирование (изменение разрешения, или согласованное изменение величин ô и N) быстро приводит к степенному закону (формула 2) и фрактальная размерность становится постоянной. Некоторые естественные фракталы также подчиняются степенному масштабированию, и на графике в логарифмических координатах зависимость суммарной протяженности объекта от величины измерителя описывается прямой линией. Таковыми являются некоторые сильно изрезанные береговые линии (такие как побережья Британии или Норвегии), которые стали классическими примерами фракталов. Так, для побережья Британии Л. Ричардсон получил степенную зависимость измеренной длины береговой линии от раствора циркуля, которым эта длина была измерена, задолго до появления самого понятия "фрактал" [2, с. 46-52; 12, с. 17].

По мере накопления сведений о фракталах выяснилось, что картина более сложна (см., например, [13]). Во-первых, многие фракталы являются неоднородными: размерность Хаусдорфа-Безиковича для таких фракталов разная для разных частей одного объекта и/или для одного и того же объекта в разные моменты времени. Для некоторых из неоднородных фракталов фрактальная мера поддерживается взаимосвязанными фрактальными подмножествами, которые изменяются по степенному закону с различными показателями. Такие фракталы имеют мультифрактальную структуру. Во-вторых, можно конструировать фракталы, которые контролируются не одним, а несколькими измерителями с разными законами масштабирования. Такие фракталы называют самоаффинными.

Наконец, некоторые из естественных сложных объектов, которые описываются геометрическими фигурами, интуитивно относимые к неоднородным фракталам, не подчиняются законам степенного масштабирования и выпадают из класса объектов, к которым применимо первоначальное определение фрактала (определение А). Пробная функция F (ô) вполне может быть не степенной функцией c(d)ôd, а иной функцией, различной для разных объектов, для частей одного объекта и для одного и того же объекта в разные моменты времени. Что считать размерностью для таких не хаусдор-фовых фракталов, в общем виде сказать сложно.

Для того, чтобы все эти неоднородные сложные геометрические объекты тоже вошли в семейство фракталов, Мандельброт ввел более широкое и более расплывчатое определение В: фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому (цитируем по [12, с. 19], где это определение названо

1 п2 ---— I I I I I---——I I I I I---——

1 2 3 4 5 6 7 8 910 20 30 405060 80 100 200 300 500 8,км

Рис. 1. Зависимость общей длины Lt (д) от длины измерителя dt для всей речной сети Северной Евразии (А) и отдельных крупных речных бассейнов (Б) (по [16, табл. 1 и 2])

более узким, чем определение А). При рассмотрении речных сетей мы будем придерживаться этого второго определения, но при этом не отходить далеко от первого, т. к. именно оно дает возможность вычисления фрактальной размерности.

Рисунок речных сетей

Для вычисления фрактальной размерности речной сети необходимо кодирование ее рисунка, которое может осуществляться разными способами. Стандартная процедура выделения разных рек "снизу вверх", применяемая в гидрографии, предполагает назначение устья и истока для главной реки, затем для всех притоков, впадающих в главную реку, далее для притоков этих притоков и т. д., вплоть до бесприточных водотоков (постоянных и временных). В качестве кодов обычно используются названия водотоков или их последовательные номера. Существует также система выделения водотоков "сверху вниз" (по Хортону [14]), когда назначаются точки истоков бесприточных водотоков первого порядка, слияние которых дает исток водотока второго порядка и т. д. Эта система имеет множество модификаций кода водотоков и также часто используется исследователями речных сетей. В настоящей работе использована

первая система кодирования как более удобная для вычисления фрактальных размерностей. При этом длина реки измеряется по осевой линии, которая повторяет изгибы речного русла во время межени.

Речная сеть (сеть постоянных и пересыхающих водотоков) в каждый конкретный момент времени является только частью эрозионно-русловой сети, которая включает в себя и временные водотоки самых разных размеров. При кодировании водотоков "снизу вверх" речная сеть полностью совпадает с эрозионно-русловой сетью вплоть до некоторой минимальной длины притоков.

Наиболее объективным источником рисунка речной сети являются аэрофотоснимки и космические изображения крупного масштаба, полученные как в оптическом, так и в иных диапазонах. Результат их интерпретации - современные топографические карты крупного масштаба, на которых постоянные и пересыхающие водотоки показаны синими сплошными и прерывистыми линиями и лентами, причем уровень генерализации регламентируется соответствующими наставлениями. Если источник информации содержит данные о вертикальных координатах и характере подстилающей поверхности, то рисунок эрозионно-русловой и речной сети можно получить путем обработки цифровой модели местности и, в первую очередь, цифровой модели рельефа. Достоверность результата будет определяться горизонтальным разрешением изображения (размером пикселя) и разрешением съемки по вертикали, а также способом получения упорядоченной цифровой модели из массива координат.

Для территории Северной Евразии в границах бывшего СССР имеются данные инвентаризации водных объектов, выполненной в 1960-1966 гг. управлениями Гидрометеослужбы СССР. Задачей инвентаризации являлся подсчет числа и размеров водотоков по единой методике и на единой картографической основе (карта м-ба 1:100000). Были составлены списки всех рек длиной более 10 км, измерена их длина, а для более крупных рек (обычно длиной свыше 50 км) определена площадь водосбора. Количество самых малых рек (менее 10 км длиной, но не менее 0.5 км в равнинных районах и 1 км в горных) и их общая длина подсчитывались суммарно по бассейнам малых и средних рек. Результаты инвентаризации приведены в 20-томном издании "Ресурсы поверхностных вод СССР. Гидрологическая изученность" [например, 15] и обобщены в [16]. В настоящее время для всей территории Северной Евразии нет открытых цифровых моделей местности, которые давали бы большее разрешение для анализа рисунка речных сетей, чем топографическая карта м-ба 1:100000 (более точные данные имеются только для отдельных районов и представляют собой дорогостоящий коммерческий продукт). Поэтому в настоящем исследовании использованы доступные данные упомянутой выше инвентаризации 1960-1966 гг. [15, 16].

Характер фрактальности речных сетей

Речные сети (и в еще большей степени эрозионно-русловые сети) фрактальны в рамках В-определения Мандельброта, так как они

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком