ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2007, том 43, № 1, с. 87-96
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ФРАКТАЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ И ДИНАМИКА ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
© 2007 г. И. К. Коханенко
(Ростов-на-Дону)
Изучаются возможности использования фрактальной математики для оценки трендоустой-чивости (персистентности) экономических систем. Доказывается достаточное условие перси-стентности фракталов, выводится соотношение для определения времени цикла персистентности. Обосновывается связь фрактальной топологии систем с их динамикой. Описывается применение полученных теоретических результатов к анализу бюджета.
ВВЕДЕНИЕ
Экономическая динамика во времена реформ, когда преобразования сопровождаются спадом и ростом производства, цен, напряжений в социальной сфере и т.п., актуализирует задачу оценки стабильности, устойчивости тенденций, характера изменений и их продолжительности. Эти задачи в связи с неразработанностью конструктивного формального аппарата, как правило, решаются на содержательном или феноменологическом уровнях; в этом отношении достаточно интересен принцип максимального согласования, изложенный в (Клейнер, Смоляк, 2000). Принцип ориентирует на наиболее полное использование имеющейся информации для получения решений с приемлемой адекватностью. В литературе можно найти лишь идеи или подходы к решению подобных задач. Между тем сложность решения состоит в выделении и идентификации системообразующих параметров из располагаемой информации. Для многих сложных систем такую возможность, как показано в (Коханенко, 2003), предоставляют фракталы.
Многие нелинейные динамические системы, адекватно описывающие явления в ряде задач экономики, психологии, социологии, являются фрактальными. Такие системы самоподобны и поведение их автомодельно. Свидетельством тому являются, например, фрактальные фабрики (Wamecke, 1993), фрактальные структуры на рынках капитала (Peters, 1994), модели эластичности и производительности. Образное утверждение работы (Клейнер, 2003) "полноценное, целостное и устойчиво работающее предприятие представляет собой в определенном смысле микромодель государства..." может рассматриваться как гипотеза институциональной фрактально-сти, которая содержится и в идее конгруэнтности норм работы (Олейник, 2000).
Кроме того, поведение фрактальных систем отличает случайность в локальном и детерминированность в глобальном (Peters, 1993), т.е. для такого поведения характерно взаимодействие порядка со случайностью. Подобное взаимодействие иногда трактуют как синтез упорядоченной структуры (порядка) комбинацией случаев. При этом порядок может проявляться в наличии некоторых тенденций поведения; таких, например, как персистентность (Peters, 1993; Кроновер, 2000), когда поведение системы, имея тренд на некотором промежутке времени, вероятнее всего, сохранит его и в последующем, демонстрируя эффект долговременной памяти. Персистентность, трактуемая как сохранение тенденции, тренда, связана с другой особенностью - с нестрого периодической цикличностью поведения (своеобразная спираль развития) систем, которая объясняется динамикой памяти системы, случайно работающей по правилу джокера (Малинец-кий, 2000); система иногда попадает в область джокера. Изучение свойств персистентности и цикличности нелинейных динамических систем в свою очередь носит феноменологический характер. Между тем их формальное объяснение позволит глубже понимать, а в ряде случаев количественно предсказывать характер, оценивать параметры эволюции нелинейных динамических систем и формировать корректирующие управляющие воздействия. Поскольку подобная задача в экономике достаточно злободневна, в статье обосновывается вариант такого объяснения на основе результатов (Коханенко, 2003) применительно к экономическим системам.
1. МОДЕЛЬ ГЛОБАЛЬНОГО ПОРЯДКА И ЛОКАЛЬНОГО ШУМА В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ
Описание состояния многих экономических агентов может быть сведено к представлению их как множество кластеров (групп), каждый из которых включает определенное число элементов. Например, бюджет, в расходной или доходной части, есть совокупность приоритетных групп ассигнований, состоящих из элементов, акцентированных по некоторому признаку и на своем уровне опять объединяющих определенное число компонент. Или экономика, которая производит множество акцентированных потребительских благ в соответствующих количествах и т.д. Аналогичных моделей в экономике много. Нельзя не заметить в них свойство самоподобия и случайный характер числа акцентированных кластеров, элементов, компонент. Поэтому представляется рациональной следующая фрактальная модель поведения экономической системы.
Пусть плотность распределения f числа акцентированных элементов I сложной системы на текущий момент времени описывается уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК): df/dt = = -d(Af)/dI + 0.532(Bf)/3l2. В (Коханенко, 2003) показано, что если коэффициенты A1(I), B1(I) уравнения ФПК являются дважды дифференцируемыми по I функциями и справедливы предположения о наличии у модели свойств самоподобия, масштабной инвариантности, неполной авто-модельности, то уравнение приводится к линейному уравнению вида:
df/d t = af, (1)
где a1 - некоторая функция от I. Если предположить, что в системе имеются структурные компоненты (кластеры), включающие подмножества элементов, то можно ожидать проявления свойств самоподобия, масштабной инвариантности, неполной автомодельности и в пространстве кластеров. Следовательно, по аналогии с (1) уравнение ФПК для относительного числа n/N акцентированных по некоторому признаку кластеров можно записать в виде:
dn/dt = a2n. (2)
И, как показано в (Коханенко, 2003), преобразование двух указанных уравнений ФПК путем замены времени как независимой переменной на переменную состояния n приводит к фракталу вида:
f = cnd, d = -(a +1), (3)
где a - фрактальная размерность.
Классическим вариантом анализа модели ФПК является нахождение стационарного решения, т.е. случай df/dt = 0, dn/dt = 0. Часто этот вариант приводит к нормальному закону распределения (например, при постоянных A, и B), закону Пуассона и др. Рассматриваемый здесь вариант (1), (2) путем приравнивания правых частей соответствующих уравнений ФПК сводится к системе:
a1 f = - Э(A1 f)/dI +0.5Э2(B1 f)/ЭI2, a2n = -Э(A2n)/dI +0.5Э2(B2n)/ЭI2. (4)
Решение этой системы характеризует распределение f числа акцентов I в системе в целом и распределение n числа акцентов I в кластерах. Уравнения (4) в ряде важных для практики случаев имеют аналитические решения. Например, при дивергентной форме уравнений ФПК, к которой во многих случаях их можно преобразовать, и при постоянных коэффициентах трения и диффузии решение первого уравнения (4) имеет известный достаточно простой вид:
f = c iexp (si I) + C2exp (V), Si = (-2 Ba )a5/Bb S2 = -sb
где c1 и c2 определяются краевыми условиями. Отсюда следует, что у систем с B1a2 < 0 решение носит колебательный характер.
Теперь, после возвращения к первоначальному виду уравнений ФПК, получаются две модели поведения сложной системы. Первая - вида (4) - соответствует приравниванию правых частей исходных уравнений ФПК и правых частей уравнений (1), (2). При этом получается модель текущего (в некоторый момент времени) поведения. А модель глобального порядка вытекает из системы (1), (2):
Эf/Э t = a1 f, Э n/Э t = a2n. (5)
Эти модели согласуются с описанием в работе (Peters, 1993) эволюции сложных систем как композиции локального шума и глобального порядка; последний ассоциируется с долговременной памятью системы, отличной от марковской.
Следует заметить, что фракталы, точнее случайные фракталы, часто связывают с композицией случайного и детерминированного. Большинство явлений выглядят как тренд с шумом; в полученных моделях уравнения (4) описывают плотности распределения случайных величин I и n в фиксированный момент времени, а (5) определяют детерминированные правила изменения во времени этих распределений; определенное сходство с указанной композицией очевидно.
Уравнения (4) - обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка, решения которых, зависящие от коэффициентов A1, A2, B1, B2 и начальных условий, изучены наиболее подробно; и как известно, спектр их решений достаточно широк. Решения уравнений (5) имеют экспоненциальный характер изменения во времени. Отсюда решение, объединяющее локальное поведение с глобальным порядком в экономической системе, естественно имеет вид:
f ~ f оехР(а\ t), n ~ n0exp(a2t), (6)
где f и n0 есть решения уравнений (4).
2. ТРЕНДЫ В ДИНАМИКЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В приведенных моделях свойство персистентности определяется следующей теоремой.
Теорема 1. Пусть модели текущего поведения (4) сложной системы имеют решения f (I) и n(I) из класса ограниченных функций. Тогда при экспоненциальных решениях модели глобального поведения (5) система будет обладать свойством персистентности, если выполняются неравенства a1 > 0, a2 < 0.
Действительно, при a1 > 0 и экспоненциальном характере решения плотность f (I, t) со временем растет, а n(I, t) - уменьшается. Для фрактала f = cnd это означает увеличение плотности распределения f кластеров n(I, t). В соответствии с (Коханенко, 2003), при разных знаках параметров a1, a2 функция f(n) есть фрактал. Следовательно, во времени вероятность уменьшения кластеров растет и следует ожидать устойчивости такой тенденции.
Следует отметить, что персистентность, как это видно из доказательства теоремы, характеризуется уменьшением со временем числа кластеров с особенностями (аномальных кластеров) и увеличением плотности распределения общего числа особенностей (аномалий). Это может быть интерпретировано как концентрация особенностей во все меньшем числе кластеров. Противоположное персистентности свойство антиперсистентности присуще немалому числу систем. Б. Мандельброт по ассоциации с толкованием Иосифом библейского сна фараона: "семь лет изобилия сменяется семью годами голода" назвал свойство антиперсистентности "Иосиф-эффектом". Ниже приводится теорема, формулирующая критерий антиперсистентности.
Теорема 2. Пусть модели текущег
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.