ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2007, том 417, № 3, с. 385-388
ГЕОФИЗИКА
УДК 539.374:69.14.018.29
ФРАКТАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КАРТИН МНОЖЕСТВЕННОГО РАЗРУШЕНИЯ
© 2007 г. Л. Р. Ботвина, М. Р. Тштин
Представлено академиком O.A. Банных 30.03.2007 г. Поступило 04.04.2007 г.
В работах [1-3], вероятно, впервые для многих материалов (металлов, полимеров, горных пород) было установлено самоподобие картин множественного разрушения в условиях растяжения, ползучести, усталости и сверхпластичности. Доказательством самоподобия служило получение путем нормировки единой некумулятивной кривой распределения дефектов, отвечающей соотношению
N
N„
_LY
^max^
(1)
Обнаруженное многими исследователями и, в частности, авторами [4], степенное распределение разломов земной коры подтверждает самоподобие картины несплошностей и соотношение (1) на глобальном уровне развития процесса множественного разрушения. Тангенс угла наклона этих кумулятивных распределений был принят [5] за фрактальную размерность (П) картины разломов, наблюдаемых в земной коре, причем предполагалось, что фрактальная размерность может быть оценена по соотношению
Я = -,
c
(2)
образцов и установление взаимосвязи между ними. Кроме того, с учетом обнаруженного ранее подобия кинетики разрушения на различных масштабных уровнях [6] представляло интерес сравнение магнитудных зависимостей зон локализации разрушения, предшествующих критическому событию в образце или в земной коре.
Для удобства изложения результатов исследования введем следующие обозначения: Ьс, ЬАЕ, Ь8 -показатели в степенны х соотношениях, описывающих кумулятивные распределения микротрещин (или разломов), акустических сигналов и сейсмических событий, Пс, ПАЕ, П8 - фрактальные размерности, оцененные, соответственно, по данным анализа реальной поврежденности, акустического или сейсмического отклика на эту поврежден-ность. Соотношение (2) с использованием этих обозначений будет иметь вид
1 3b §
bc = — •
где Ь - показатель в степенном уравнении Гутенберга-Рихтера N ~ Е~Ь, связывающем число сейсмических событий N с их энергией Е (или магни-тудой М = ^Е), с - постоянная, равная ~3/2. Это означает, что фрактальная размерность картины разломов пропорциональна "сейсмическому" параметру Ь, оцененному по тангенсу угла наклона распределения накопленного числа сейсмических событий по магнитуде.
В задачу данного исследования входили: оценка фрактальной размерности и Ь-параметра реальной картины поврежденности металлических
Институт металлургии и материаловедения им. А.А. Байкова
Российской Академии наук, Москва
Оно нашло подтверждение в работах [7, 8], выполненных на образцах из горных пород с оценкой методом акустической эмиссии "акустического" параметра ЬАЕ. Однако в первом случае [7] за фрактальную размерность принимался угловой коэффициент кумулятивных кривых распределения микротрещин по длине Ьс, а во втором [8] -фрактальная (корреляционная) размерность эпицентров акустических событий ПАЕ. В обоих случаях была обнаружена позитивная корреляция оцененных параметров (хотя авторы работы [8] наблюдали ее лишь на начальной стадии деформации образцов), отвечающая в принятых обозначениях соотношениям
, т ЬАЕ ^ ~ ЬАЕ
ЬС = 3 "СЕ , ПАЕ = 3 — .
В настоящей работе оценивали Ьс - параметр реальных картин микротрещин, полученных методом реплик, снимаемых с полированной поверхности образцов на различных стадиях нагружения, и отвечающую этим картинам фрактальную размерность Пс, измеренную методом покрытия кар-
0 2 4 6 8 10 12 14
Ьс/Бс
•ж
л'.
-1 У Г. V % ■ V Л » 7/
4 Л'Ч
12 3 4 Ьс, ^е
0 1 2 3 4 5 6 7 е, мм
Рис. 1. Деформационные зависимости напряжения в нетто-сечении образца с надрезом, параметров Ьс и Бе и их от-Ьс
ношения —— , а также зоны локализации разрушения в вершине надреза и картины микротрещин в зонах. и п
тин квадратами разной площади с последующим определением Бс по соотношению [9]: N = ИтЯ ^ ^ БЯ°, где N - число квадратов со стороной Я, содержащих черные пиксели (микротрещины были окрашены в черный цвет), Б - константа. Площадь квадрата покрытия изменялась не менее чем на два порядка. Кумулятивная кривая распределений длин микротрещин, используемая для определения параметра Ьс, отвечала степенному соотношению N = Б!~Ьа) на участке изменения длин микротрещин не менее чем на 1.5 порядка.
Исследования были проведены на плоских образцах с надрезом из модельного материала (низкоуглеродистой стали) в условиях статического и циклического нагружения. Толщина образцов изменялась в диапазоне от 4 до 16 мм. Реплики позволяли на каждой стадии процесса нагружения фиксировать зону локализации разрушения и картину микротрещин в зоне. Затем реплики исследовали на оптическом микроскопе с цифровой видеокамерой и полученные картины множественного разрушения обрабатывали с помощью программы анализа изображений. Максимальное число микротрещин, измеренных на каждом об-
разце, составляло 1500-10000 и зависело от степени поврежденности материала на данном этапе нагружения. Результаты измерений использовали для построения кумулятивных кривых распределения микротрещин по длинам в координатах: суммарное число микротрещин N с длиной большей и равной текущей длине - текущая длина микротрещин Ь. Детали проведенного эксперимента приведены в [10].
Анализ кривых привел к заключению о смене функций распределения в процессе нагружения. Действительно, на начальных стадиях нагружения кумулятивные кривые распределения микротрещин описывались экспоненциальной функцией, а при приближении к максимальной нагрузке - степенной, причем параметр Ьс снижался при приближении к окончательному разрушению образца.
На рис. 1 представлена типичная кривая деформации образцов с выделенными точками и соответствующими им зонами локализации разрушения и картинами микротрещин в зонах, а также приведены кривые изменения с деформацией параметров Ьс и Бс. Видно, что зона локализации разрушения формируется уже на линейном участ-
ФРАКТАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КАРТИН
387
ке кривой деформации. На этой начальной стадии нагружения в ее пределах обнаруживаются многочисленные полосы скольжения, развивающиеся как по границам структурных элементов, так и внутри них. Микротрещины отсутствуют. С увеличением деформации плотность полос скольжения растет и появляется дефект следующего ранга - поры, формирующиеся в полосах скольжения или в местах концентраторов напряжений -царапинах на полированной поверхности образца. При превышении предела текучести и связанном с ним увеличении размера зоны локализации возникает дефект третьего ранга - микротрещины, образующиеся путем слияния пор по полосам скольжения.
Радиус или длину зоны локализации разрушения, размер которой на 1-3 порядка превышает длину формирующихся в ней микротрещин, вероятно, можно принять за радиус корреляции процесса накопления повреждений, поскольку за ее пределами структура материала соответствует исходной и накопления несплошностей не происходит.
Из рис. 1 следует также снижение отношения
с увеличением деформации, сопровождающего
еся противофазным изменением параметров ЬС и Dс, в отличие от синфазной корреляции этих параметров, отвечающих соотношению (2). Подобное изменение параметров ЬS и DS было обнаружено в работах [11, 12], а также в работе [8], где изменение ЬАЭ, DAЭ наблюдалось на конечной стадии разрушения образцов.
В этом случае уменьшение параметра ЬС вызвано слиянием микротрещин, а увеличение фрактальной размерности DC - увеличением общей площади повреждений, связанным с ростом длины и раскрытия микротрещин. Исследование поврежденности образцов различной толщины подтвердило отмеченное изменение с деформацией указанных параметров и показало, что для всех испытанных образцов зависимость фрактальной размерности от параметра ЬС отвечает линейной зависимости DC = 2.86-0.67ЬС (коэффициент корреляции 0.95). Аналогичная линейная зависимость обнаружена и при анализе взаимосвязи корреляционной фрактальной размерности DS и ^-параметра, оцененных по данным сейсмической активности: DS = 2, 3 - 0.73^ (коэффициент корреляции 0.76) [11] и DS = 2.72-1.39^ (коэффициент корреляции 0.85) [12].
Измерение длины Яу зоны локализации (или зоны корреляции процесса накопления повреждений), а также соответствующей энергии разрушения Е на различных стадиях нагружения, оцененной по площади под кривой деформирования, позволило построить зависимость Яу - М*,
^ Яс
6.0
5.5 5.0 4.5
4 5 6 7
9 М
■ 4 мм
о 6 мм
А 10 мм
V 15 мм
^ Яу
Рис. 2. Зависимости радиуса корреляции Яс сейсмической активности в различных регионах мира от маг-нитуды М землетрясения [15] и радиуса корреляции поврежденности Яу в образцах из низкоуглеродистой стали от магнитуды разрушения М*.
где М* - магнитуда разрушения [13], подсчитанная по соотношению, используемому в сейсмологии: 1.5М = ^Е - 4.8 (Дж). Как следует из рис. 2 (третий квадрант графика), логарифм зоны локализации разрушения в образцах различной толщины пропорционален магнитуде разрушения (Яу ~ 0.94М*), подобно логарифму радиуса корреляции Яс сейсмической активности в различных регионах мира, пропорциональному магнитуде М землетрясения (первый квадрант; ^ Яо ~ ~ 0.44М) [14, 15].
Таким образом, исследование реальной повре-жденности материала с оценкой фрактальной размерности подтвердило вывод об автомодель-ности процесса накопления повреждений [1], обнаружило масштабную инвариантность размера области корреляции микроповреждений относительно энергии, характеризующей стадии зарождения и развития несплошностей в образцах различной толщины, подобную масштабной инвариантности области корреляции сейсмической активности.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 05-05-64755а).
8
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ботвина Л. Р., Баренблатт ГИ. // Пробл. прочности. 1985. № 12. С. 17-24.
2. Баренблатт ГИ, Ботвина Л.Р. // Изв. АН СССР. МТТ. 1983. № 2. С. 88-92.
3. Ботвина Л.Р. Кинетика разрушения конструкционных материалов. М.: Наука, 1989. С. 230.
4. Gudmunson Л. // Tectonophysics. 1987. V. 139. P. 295308.
5. Turcotte D.L. // Tectonophysics. 1986.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.