ХИМИЯ ТВЕРДОГО ТОПЛИВА, 2015, № 3, с. 60-67
УДК 541.67:541.142
ФУЛЛЕРЕНОПОДОБНЫЕ УГЛЕРОДНЫЕ НАНОСТРУКТУРЫ С ТЕТРАЭДРИЧЕСКОЙ И ОКТАЭДРИЧЕСКОЙ СИММЕТРИЕЙ
© 2015 г. В. Ф. Плешаков
ОАО "Научно-исследовательский и проектно-технологический институт электроугольных изделий", Электроугли
E-mail: victorpleshakov@list.ru
Поступила в редакцию 25.04.2014 г.
Решена задача построения ЗБ-моделей тетраэдрических и октаэдрических фуллереноподобных углеродных наноструктур с помощью разработанного алгоритма отображения атомов плоского углеродного слоя на поверхность многогранника.
Б01: 10.7868/80023117715030093 Введение
Очевидно, что наглядное изображение нано-объектов играет существенную роль в оказании помощи в понимании их структуры и свойств, поэтому цель работы — построение компьютерных моделей нанообъектов подобных тетраэдру и октаэдру как наиболее устойчивых в энергетическом отношении структур. Такие построения требуют решения непростых задач нанесения шестиугольной сетки на заранее заданный многогранник, формулировки условий бесшовной стыковки сетки на ребрах многогранника, расчета координат всех вершин модели и атомов, раскраски граней. Эти и другие задачи и решаются в настоящей работе.
Заметим, что тетраэдрическую структуру имеет алмаз, который в природе встречается в виде октаэдров. Наночастицы алмаза в виде октаэдров наблюдали в работе [1].
Работ, посвященных геометрическим аспектам нанообъектов, не так много. К значимым работам следует отнести работу [2], где получены все комбинаторные типы фуллеренов (всего 5770 фуллеренов) с числом атомов в них от 20 до 60 и установлены их группы симметрии. Работы [3, 4] посвящены геометрической структуре нанотрубок, наноконусов, свитка, геликоидальным структурам и их полиэдрическим моделям, обсуждаются вопросы роста нанообъектов. Работа [5] посвящена фуллереноподобным икосаэд-рическим структурам. В [6] также уделяется внимание полиэдрическим моделям нанотрубок. Геометрическая структура ультра малых нанотру-бок рассмотрена в [7].
Этим, однако, не исчерпывается все многообразие фуллеренов и им подобных структур. В стороне остались структуры, подобные фуллеренам,
в частности многослойные углеродные тетра- и октаэдрические кластеры. Интерес к ним усилился после обнаружения в природном минерале шунгите фуллеренов С60 и С70 [8], а также в порошке шунгита — гигантских фуллеренов, луковичных частиц и нанотрубок [9]. В [10] высказано предположение, что в шунгитовом углероде может наблюдаться почти непрерывный ряд фуллереноподобных структур от С60 до многослойных глобул.
Все эти сведения позволяют высказать предположение о существовании как однослойных, так и многослойных углеродных кластеров, подобных фуллеренам. Химическим аспектам углеродных кластеров посвящен обзор [11], где для наглядного изображения полиэдров (кластеров) используются плоские графы (диаграммы Шле-геля), которые в сущности представляют собой некоторую проекцию полиэдра на плоскость. По диаграммам Шлегеля можно представить пространственную структуру модели. Кроме того, представление структур в виде диаграмм не дает способа получения координат всех атомов модели, необходимых для расчетов физико-химических свойств.
Элементарные сведения о тетраэдрах
Пронумеруем вершины тетраэдра так, как показано на рис. 1, и приведем для него необходимые в дальнейшем некоторые элементарные формулы, обозначив при этом длину ребра как с.
Радиус окружности вокруг треугольной грани
г3 = с/2ео8(п/6). (1)
Высота тетраэдра
, , 2 2 ч 1/2
п = (с - г3 ) .
Длина высоты треугольных граней кА = с сов(я/6).
Радиус описанной сферы
Я = с2 /2к или Я = с4ъ/8. (2)
Длина перпендикуляра, проведенного из центра тетраэдра к его граням
Н = к - Я или Н = с/>/24. (3)
Так как величина ребра тетраэдра должна быть кратна трем, т.е. с = 3кг0, где г0 = 1.42 А, для минимального межслоевого расстояния двух вставленных друг в друга тетраэдров получим
Нс = 3г0 /л/24 = 0.8697, что неестественно. Разумное значение межслоевого расстояния получим при четырехкратном увеличении Нс, т.е. 4Нс = 3.4783 А.
Усеченный тетраэдр
Проведем в каждой из четырех вершин тетраэдра (рис. 1) плоскости, перпендикулярные радиусам-векторам, проведенным в эти вершины, и отстоящим от центра на расстояниях Нк (к = 1, 2, 3, 4). В результате получим усеченный тетраэдр, состоящий из четырех треугольных граней, четырех шестиугольных граней, двенадцати вершин и восемнадцати ребер. Обозначим длину стороны треугольной грани для к-й вершины усеченного тетраэдра через ск. Заштрихованные на рис. 1 сечения представляют собой равносторонние треугольники с длиной стороны ск.
Радиус окружности, описанной вокруг треугольной грани, очевидно, равен
р к = ск /2б1п(я/3) или р к = ск л/3. (4)
Величина перпендикуляра Нк, опущенного из центра тетраэдра к треугольным граням усеченного тетраэдра, Нк = Я с2к - рк, где Я — радиус сферы не усеченного тетраэдра, или, после преобразования,
Нк = (3с - 4ск)/л/24. (5)
Модуль радиуса-вектора Як , проведенного из центра тетраэдра в вершины для к-той треугольной грани усеченного тетраэдра, очевидно, равен
Як = V Н2к + р к
или Як = ((3/8)с2 + ск(ск - с))1/2.
Если все треугольные грани находятся на одинаковом расстоянии Н0 от центра, то вокруг усеченного тетраэдра можно описать сферу радиуса
Яо = VНI + Р2 или Яо = ((3/8)с2 + со(со - с))1/2, где Но = (3с - 4со)/Т24, ро = со/л/3.
Рис. 1. Тетраэдр с указанием треугольных сечений.
Определение координат атомов шестиугольных граней
Чтобы нанести углеродную сетку на тетраэдр, необходимо выразить координаты атомов £,, п и расположенных на его гранях, через координаты х, у и г плоского углеродного слоя, которые считаем известными. Координаты атомов плоского углеродного слоя, как известно, определяются по формулам из [3].
Координаты точек (атомов) трех граней: 1 — (341), 2 — (142), 3 — (243), сходящихся в вершине 4 тетраэдра (рис. 1), получим из треугольника (123), расположенного в плоскости (г, у) на рис. 2,
1 г
2' с4 г
Н\ Н4 Н
3 7 с3 \ Н \б' у / с1
2 4' 5' 3
Рис. 2. Шестиугольная грань усеченного тетраэдра. Большой треугольник — грань исходного (не усеченного) тетраэдра.
в два приема. Сначала транслируем его на вектор H (3) вдоль оси х, а затем повернем его на угол 9 вокруг оси у по часовой стрелке, а затем — на углы р;- = (/ - 1)2я/3 (I = 1, 2, 3) вокруг оси г против часовой стрелки.
В результате получим две матрицы преобразования:
А =
С cos ß;- - sin ß;- 0Л sin ß;- cos ß;- 0
0
0
1
A =
У
cos 0 0 - sin 0л 0 1 0 sin 0 0 cos 0
У
После преобразования AßА0 координаты точек r = (H, y, z)' для /-той грани примут вид
^ = g cos ßi - y sin ßi ,
n = g sin ßi + y cos ßi, (6)
Zi = H sin 0 + z cos 0.
Здесь sin 0 = H/R, cos 0 = r3/R, g = = Hcos 0 - z sin 0, а переменные r3, R и H определяются по формулам (1)—(3).
Чтобы получить координаты атомов грани 4 — (123), повернем треугольник (рис. 2) сначала на угол я/2 вокруг оси п по часовой стрелке, а затем транслируем его вдоль оси Z на величину -H.
Матрица поворота в этом случае имеет вид [0, 0, -1; 0, 1, 0; 1, 0, 0].
В результате для координат точек 4-той грани (123) получим
\4 =-Z, П4 = y, Z4 = х - H. (7)
Ограничения на координаты шестиугольных граней
Поместим начало координат в центре усеченного треугольника (123), расположенного в плоскости zy, и направим ось г в одну из его вершин (рис. 2), где в качестве примера изображена грань с номером 1(341) (рис. 1).
Рассмотрим маленькие треугольники (1'12') (3'24') (5'36') со сторонами (1'2'), (3'4'), (5'6') (рис. 2), полученными в результате сечения треугольной грани тетраэдра со стороной, равной с.
Обозначим длину стороны /-того треугольника для k-той грани через b(k, /), где к = 1, 2, 3, 4 — номер грани, / = 1, 2, 3 — номер треугольника. Очевидно, что матрица b(k, /) имеет вид b =
= [C4, Cз, ci; C4, Съ c2; C4, c2, С3; ^ c3, cj.
Высоты этих треугольников равны h(k, i) = = b(k, i)sin(n/3). Отсюда находим, что величины перпендикуляров, опущенных к трем сторонам (1'2'), (3'4') и (5'6') шестиугольника, равны r3 - h(k,i).
Теперь нормальные уравнения сторон (1'2'), (3'4') и (5'6') шестиугольника запишутся так:
-y sin р,- + z cos = r3 - h(k, i), (8)
где pi = (i - 1)2я/3.
Нормальные уравнения трех сторон (1'6'), (2'3') и (4'5') шестиугольника, отстоящих от его центра на расстоянии r3 /2, запишутся в виде
y cos yi + z sin yi = r3/2, yi = P¡ + n/6. (9)
Уравнения (8) и (9) ограничивают на плоскости шестиугольную область (1'2'3'4'5'6'), в общем случае с неравными сторонами. При генерировании координат y и г атомов плоского углеродного слоя [3] атомы, которые попадут в эту область, в конечном счете, после преобразований (6), (7), окажутся на гранях усеченного тетраэдра. Далее введем величины для четырех шестиугольных граней
6 = [0.01,0.01,0], еслик < 3, и б = [0.01,-0.01,0], еслик > 3,
б1 = [0,0,0.01], если к < 3, и б1 = [0,0,-0.01], если к > 3, б2 = [-0.01,0,0], б3 = [0,0.01, -0.01].
Теперь ограничения на переменные y и г для плоского углеродного слоя, как следует из (8), (9), запишутся так:
- (y + 63(i)sin pi + (z + 62(i))cos pi - r3 + h(k, i) < 0, (y + s(i)cos y i + (z + 61(i))sin y i - r3 /2 < 0.
Координаты атомов треугольных граней усеченного тетраэдра
На четыре треугольные грани усеченного тетраэдра можно нанести шестиугольную сетку лишь в том случае, если длина стороны ck для k-той треугольной грани кратна трем, т.е. ck = 3ir0, i = 1,2,3,....
Чтобы получить координаты точек этих граней, поступим следующим образом. Сначала треугольную грань, или шестиугольную грань, расположенную в плоскости zy, транслируем на вектор Hk вдоль оси х, а затем повернем ее на угол 9 вокруг оси y против часовой стрелки, а затем — на углы ак = (2k - 1)п/3, k = 1, 2, 3, вокруг оси г также против часовой стрелки. В результате получим две матрицы
Aa =
(cos ak - sin аk 0^ sin ak cos ak 0
0
1
Ад =
( cos 0 0 sin 0^ 0 1 0 - sin 0 0 cos 0
У
После преобразования AaAe координаты точек г = (Hk,y,z)' для к-той треугольной грани (рис. 2) к = 1, 2, 3 примут вид
k = gk cos ak - y sin ak,
Пк = gk sin
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.