ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2007, том 416, № 6, с. 745-749
= МАТЕМАТИКА
УДК 517.983.51
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ОПЕРАТОР-ФУНКЦИЯ ВЫРОЖДЕННОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
© 2007 г. М. В. Фалалеев
Представлено академиком С.Н. Васильевым 18.12.2006 г. Поступило 27.12.2006
Исследуется задача о построении обобщенных решений уравнения теплопроводности вида
Вди({' Х- - ЛАи(I, х) = /(I, х), д t
t е К+, х е К",
где Л, В - замкнутые линейные операторы из Е1 в Е2 с плотными областями определения, Д(В) с с Д(Л), Е1 и Е2 - банаховы пространства, оператор В необратим.
Если оператор В непрерывно обратим, то обобщенные решения легко строятся на основе классической теории [1]. В существенно более сложном случае, когда оператор В не является обратимым, уравнение теплопроводности ранее не рассматривалось. Здесь классические методы из [1] оказываются недостаточными. Основной результат этой работы состоит в разработке подхода, позволяющего строить в замкнутой форме как обобщенные, так и непрерывные решения классов дифференциальных уравнений в частных производных с вырождением. Развивая идеи теории фундаментальных решений дифференциальных операторов из [1], в данном сообщении при различных предположениях относительно операторов В и Л (фредгольмовости, нётеровости, спектральной ограниченности) строится фундаментальная оператор-функция для вырожденного оператора теплопроводности. На этой основе в замкнутом виде решена задача Коши для исходного уравнения. В сообщении используются методы теории возмущений линейных операторов [7, гл. 9], полугруппы операторов с ядрами [8], обобщенные функции и операции над ними [1] и результаты работ [2-6].
Иркутский государственный университет
Приведем нужные в дальнейшем факты. Если Е - банахово пространство, Е* - сопряженное банахово пространство, то отнесем к множеству основных функций К(Е*) все финитные функции класса С"^") со значениями в Е*, соответственно обобщенной функцией (распределением) в банаховом пространстве Е назовем всякий линейный непрерывный функционал на К(Е*). Множество обобщенных функций будем обозначать К1^"; Е).
Определение. Если Ж(х) е ^(Е1, Е2) - сильно непрерывная оператор-функция класса причем ЖЖ*(х) е ^(Е*, Е*) существует при почти
всех х е R", /(х) е Д'^") ("классическая" обобщенная функция [1]), то сверткой выражения Ж(х) / (х) (обобщенной оператор-функции) и обобщенной функции -их) е К1^"; Е1) называется обобщенная функция Ж(х) /(х) * и(х) е К1^"; Е2), определяемая соотношением
( Ж ( х )/( х )* v ( х ), 5 ( х )) = = (/(х),(и (у), Ж* (х) 5 (х + у))), V* (х) е К (Е*).
Условия существования такой свертки см. в [3, 4].
Определение. Фундаментальной оператор-функцией вырожденного оператора теплопроводности на классе К(К+ < К"; Е2) назовем обобщенную оператор-функцию х) такую, что Vu(t, х) е К( К+ ® R"; Е2)
(В5'(t) • 5(х) - Л5(t) • А5(х)) * %п(t, х) * и(t, х) = = и (t, х)
и Vv(t, х) е К( К <8> R"; Е1)
%„(t, х) * (В5'(t) • 5(х) - Л5(t) • А5(х)) * v(^ х) =
= v (t, х) .
Если известна фундаментальная оператор-функция %п($, х) и существует свертка и(^ х) = %п($,
x) * g(t, x), то u(t, x) является единственным решением уравнения
(Bô'(t) • 8(x) - Aô(t) • A8(x)) * v(t, x) = g(t, x)
в классе тех обобщенных функций, для которых существует свертка с %n(t, x). Действительно, если u1(t, x) - другое решение этого уравнения, то
Uj(t, x) = Iô(t, x) * u1 (t, x) = = %„{t, x) * (Bô'(t) • ô(x) - Aô(t) • Aô(x)) * Uj(t, x) = = %n(t, x) * g(t, x) = u(t, x).
Таким образом, для решения вырожденного уравнения теплопроводности достаточно построить фундаментальную оператор-функцию %n(t, x) оператора (Bô'(t) • ô(x) - Aô(t) • Aô(x)). Этот оператор назовем вырожденным оператором теплопроводности.
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ОПЕРАТОР-ФУНКЦИЯ В УСЛОВИЯХ ФРЕДГОЛЬМОВОСТИ ОПЕРАТОРА В
Далее будем использовать обозначения из [7] и
При выполнении условия А оператор Г =
B +
X< •, Yte
4-1
является ограниченным, а оператор
n Pi
Q = XX <;)> A ф
( Pi+1- j)
i = 1 j = 1
проектором.
Теорема 1. Если оператор А непрерывно обратим, выполнены условие А и оценка
/II -а(АГ)-1|| II -а(Г*А*)-1||ч ^ ^ -аС
тах(Ие ||, ||е II )< Ке ,
К> 0, С > 0 Уа> 0,
то вырожденный оператор теплопроводности на классе К(Я+ ® Е2) имеет фундаментальную оператор-функцию
%2N( t, x) = Г0( t, x) *
1
-(( A Г)-1 )N x
(4nt )N
x exp I I - Q ]0( t ) -
4t
- X
i = 1
где
Pi - 1 Pi - k
(Pi- k +1- j , ч sk +1 c(k)/A
\(V2n(x)*) • ô (t)
■k = 0L j = 1
V2 N ( x ) =
11
-Г"1пП' 2п x
N = 1,
1
( 2 N -2 )c2 N|x|
N> 2,
Условие А. R(B) = R(B), оператор B фред-гольмов, т.е. dimN(B) = dimN(B*) = п и имеет полный A-жорданов набор, элементы {ф(;), i = 1, 2, ..., п,у = 1, 2, ..., pi} составляют этот набор, а
функционалы {ф(у), i = 1, 2, ..., п, у = 1, 2, ..., рг} образуют соответствующий полный А*-жорданов набор оператора B*, <ф(1), ук) = 8,к, <г„ ф^1') = 8гЬ i, к = 1, 2, ..., п.
с2Лт - площадь поверхности сферы в R2N.
Доказательство теоремы 1 использует свойства элементов обоих жордановых наборов и сводится к проверке определения фундаментальной оператор-функции. Другие примеры реализации этих же идей можно найти в [3, 5].
Если оператор АГ позитивен [9], т.е. Ух > 0 оператор (й + АГ) непрерывно обратим, причем
II Н1 С
(XI + АГ) < —-Ц X > 0,
114 / 1+ ^
то существуют ограниченные операторы
ДГ 1 = 1f п J
1 7 ( tI + A Г)-1
12
t
( A Г)-1 = (VAr )
и результат теоремы 1 распространяется на опе раторы теплопроводности с нечетным количе ством пространственных переменных.
Теорема 2. Если выполнены условия тео ремы 1 и оператор АГ позитивен, то оператор функция
^ +1(X, х) = Г8(X, х) * —^^(7АГ1 )Ы +1
x expI -
( 2jbt ) ( A Г)-1 |x|
x
4t
Pi - 1 Pi - k
[I- Q]0(t) -
X XLX<•j
i = 1Lk = 0 Lj = 1
( pt - k +1- j )
x
x( V
2N
■1( x)* )k +1 ô( k)(t)
n
0
n
+
i = 1
n
является фундаментальной для вырожденного оператора теплопроводности с 2Ы + 1 пространственными переменными; здесь
Условие Б. Я(В) = Я(В), оператор В нёте-ров, т.е. " = йптОДВ) Ф dimN(B*) = т, имеет пол-
ный Л-жорданов набор [2], элементы {фг(;), 1 = 1, 2, ..., ",у = 1, 2, ..., р} составляют этот набор, а функционалы {фг(;), 1 = 1, 2, ..., т,у = 1, 2, ...,р,} об-
V2 N+1(х) =
1
(2N - 1 )с2N +1 |х|
2 N - 1'
N > 1.
В предположении выполнения условий теоре- разуют соответствующий полный А*-жорданов
мы 1 (или 2) рассмотрим задачу Коши для уравне ния теплопроводности
В Ы^х) - ла и (t, х) = /(t, х), д t
и(t, х)= 0 = и0(х), t > 0, х е Ят.
набор оператора В*, (фг( ), ук) = 5к, 1, к = 1, 2, ..., ", (?к, Ф(1)) = 5,к, к,у = 1, 2, ..., т.
Введем проекторы ^ = Х< •, уг)фг- и 2 = I < •,
1 = 1 у =1
В обобщенных функциях эта задача переписыва- фу)2.. Фиксированным системам {фг(1)}, {ф( }}, {уг}, ется в виде
(В5'( t) • 5(х) - Л5( t) • А5(х)) * и(t, х) = = /(^ х)0(t) + Ви0(х)5(t).
Соответственно обобщенное решение задачи Коши записывается следующим образом:
V( ^ х) = %т(t, х) * (/(t, х)0( t) + Вио(х)5( t)) .
В случае, когда всер1 = 1, 1 = 1, 2, ..., ", обобщенное решение содержит только регулярную составляющую, имеет вид
-(^х) = Щ
г(УЛТ )т ехр ( ( л г ) - 1 |х - у 2 (27П(7^Т))т V - т)
х
I - £< •,Ф11)) Лф(1)
/(т, у)dy ^ +
+ и.
>(х) - ^ф,
< Лио (х ),Ф( 1)) +
+ \ Vт(х - У )</(t, У ),ф( 1))dy
0( t)
{I.} соответствует единственный псевдообратный оператор, обозначаемый В+ и однозначно определяемый следующим набором своих свойств:
В ( В+ ) = Я ( В )©{ 11, 12,..., 1т }, Я (В+) = N (^ )п В (В),
ВВ+ = I - 2 на В (В+), В+В = I - ^ на В (В),
причем ЩВ+) = {гъ г2, ..., гт}, ВВ+В = В, В+ВВ+ = В+. Очевидно, на Я(1 - 2) оператор В+ непрерывно обратим. Справедливы следующие утверждения.
Теорема 3. Если оператор Л непрерывно обратим, при " > т выполнены условие Б и экспоненциальная оценка (на Я(1 - 2))
,11 -а(ЛВ+)-1|| II -а(В+*Л*)-1|к . „ -аС
тах01 е II, ||е II) ^ Ке ,
К> 0, С > о Vа> 0,
то вырожденный оператор теплопроводности на классе К(Я+ < R2N; Е2) имеет фундаментальную оператор-функцию вида
и совпадает с классическим (непрерывным) решением, если начальное условие и0(х) и правая часть уравнения / (^ х) связаны соотношениями
<Ли0(х), Ф(1)) + | Ут(х - у )</(0, у), Ф(1))dy = 0,
1 = 1, 2, ..., ".
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ОПЕРАТОР-ФУНКЦИЯ В УСЛОВИЯХ НЁТЕРОВОСТИ ОПЕРАТОРА В
Пусть выполнено
(t, х) = В+5(t, х) *
1 -Х(ЛВУ )N х
(4п t)'
V -(ЛВУ|х|2)[ I - 2 ]0( t) -
I х\х<-к+1-у)}:
х ехр ^-
" ГР1-1 гРг - к
1 = 1 1_ к = 0 1 у =1
х( V2 ^х)* )к +1 • 5(к
0 т> т
К
"
1 = 1
"
1 = 1
т
К
К
.(j)
здесь фг- при 1 = т + 1, т + 2, ..., п,] = 2, 3, ...,pi являются произвольными функционалами из Е* и ф(1) = 0, 1 = т + 1, т + 2, ..., п.
Теорема 4. Если в условиях теоремы 3 п < т то обобщенная оператор-функция х) (из
теоремы 3) является фундаментальной для вырожденного оператора теплопроводности на
подклассе обобщенных функций из К(<8> R2N; Е2), удовлетворяющих условиям
(—Ц ((AB+)-1)N exp V-\( 4n t)N V
(AB+ ) -1 I x I 24 4i
p = 2Л°(^в - a)-1 B ф,
r
Q = 2Л7°в(ив - a)-1 dц
являются проекторами в Е1 и Е2 соответственно, порождают разложения пространств Ех и Е2 в
прямые суммы Е1 = Е0 © Е1 = кегР © тР и Е2 =
= Е2 © Е1 = кег б © im б. Действия операторов 5
и Л расщепляются, причем А0: Е\ ^ Е°2, Вх: Е1 ^
^ Е2 непрерывно обратимы, Ах: Е\ ^ Е2 ограничен, бВ = ВР, бА = АР.
Теорема 5. Если оператор А спектрально ограничен относительно В, непрерывно обратим и выполнена экспоненциальная оценка
,фу X ( -a( Ax B11)-1 -a(B* 1 A*) 1
/ maxi e ? e
XzVQ(х) * и(х) = 0,
V = п +1, п + 2, ..., т.
Доказательства этих двух теорем, состоящие в проверке определения фундаментальной оператор-функции, проводятся с использованием свойств псевдообратного оператора В+, соотношений между элементами жордановых наборов нёте-ровых операторов [2] и, естественно, с учетом соотношения между размерностями ядер N(5) и Ы(В*).
Замечание 1. Как и теорему 1, эти два утверждения можно обобщить на операторы теплопроводности с нечетным числом пространственных переменных.
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ОПЕРАТОР-ФУНКЦИЯ В УСЛОВИЯХ
СПЕКТРАЛЬНОЙ ОГРАНИЧЕННОСТИ ОПЕРАТОРА А
В этом разделе конст
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.