ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2014, № 6, с. 14-24
УПРАВЛЕНИЕ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ
УДК 681.511.4
ФУНКЦИИ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ХАРАКТЕРИСТИК АВТОКОЛЕБАНИЙ В РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМАХ С НЕЛИНЕЙНЫМ ОБЪЕКТОМ УПРАВЛЕНИЯ* © 2014 г. А. В. Моржов, Н. В. Фалдин
Тула, Тульский государственный ун-т Поступила в редакцию 02.07.14 г., после доработки 22.07.14 г.
Рассматриваются релейные системы с двухпозиционным релейным элементом и гладким нелинейным объектом управления. Разработаны методы определения функций чувствительности автоколебаний к изменению параметров объекта управления: чувствительность периодической траектории, периода автоколебаний и критерия устойчивости. Работа базируется на точных методах исследования релейных систем. Это гарантирует справедливость получаемых функций чувствительности. Для их нахождения используются уравнения в вариациях. Приводится пример, иллюстрирующий получение функций чувствительности.
DOI: 10.7868/S0002338814060080
Введение. Релейные системы автоматического управления широко используются в технике. При их анализе и синтезе важно располагать информацией о чувствительности системы к изменению параметров объекта управления. Зная функции чувствительности, можно оперативно оценить влияние отклонений параметров от номинальных значений на выходные характеристики системы. На практике такие отклонения всегда имеют место. Без исследования чувствительности системы к изменению параметров, строго говоря, нельзя гарантировать ее работоспособность.
Далее, функции чувствительности используются для назначения допусков на элементы системы управления. С их помощью можно выполнить синтез системы с заданными ограничениями на чувствительность.
Формирование теории чувствительности как самостоятельного научного направления в теории управления относится к 60-м годам прошлого столетия. Наиболее бурно она развивалась в 60-80-е годы. Существенный вклад в теорию внесли труды Е.Н. Розенвассера, Р.М. Юсупова, Р. Томовича, М. Вукобратовича, В.И. Городецкого и некоторых других авторов. Однако в опубликованных работах весьма слабо представлены методы исследования чувствительности релейных автоматических систем. Рассматривались лишь релейные системы с линейными объектами управления. Между тем реальные объекты управления, как правило, являются нелинейными.
При исследовании динамики релейных автоколебательных систем управления основное внимание уделяется возникающим в них периодическим движениям и точности режима слежения, режима стабилизации. Настоящая работа посвящена разработке методов получения функции чувствительности автоколебаний в системах с двухпозиционным релейным элементом и гладким нелинейным объектом управления, которые оказываются наиболее трудными для исследования. Чувствительность автоколебаний оценивается по следующим параметрам: чувствительность периодической траектории, периода автоколебаний и критерия устойчивости.
Методы получения функций чувствительности базируются на теории релейных систем [1—9], которая была разработана с участием авторов настоящей статьи и в основу которой положен фазовый годограф релейной системы. Эта теория охватывает релейные системы с линейными и нелинейными объектами управления, работающими как в автоколебательном режиме, так и в режиме вынужденных колебаний. Она позволяет определять возникающие в системе периодические движения, оценивать их устойчивость и с помощью специальной линеаризации оперативно исследовать точность режима слежения за входными сигналами. По-видимому, в настоящее вре-
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 14-08-00662).
u
A
Б Релейный элемент u Объект управления X
— —
R
-b
-A
Б
y
b
Рис. 1
Рис. 2
мя эта теория является единственным эффективным инструментом анализа, синтеза и оптимизации релейных систем с нелинейными объектами управления.
Чувствительность системы к изменению векторного параметра определяется через чувствительность к компонентам этого вектора. На этом основании в работе рассматривается получение функций чувствительности для скалярного параметра. Далее, в следящих релейных системах объект управления обладает симметрией. В таких системах при отсутствии входного сигнала имеют место симметричные периодические движения. В статье также полагается, что объект управления является симметричным и что вариация параметров не нарушает симметрии.
Для нахождения функций чувствительности используются уравнения в вариациях. Это позволяет с единых позиций получить функции чувствительности формы (вида) периодического движения, периода автоколебаний, критерия устойчивости периодического движения. Кроме того, по мнению авторов статьи, обращение к уравнениям в вариациях (вместо непосредственного вычисления производных) упрощает получение функций чувствительности.
1. Чувствительность периодического движения. Рассмотрим релейную систему, структурная схема которой представлена на рис. 1. Движение системы задается уравнениями
dX = f(x, а, и), (1.1)
dt
и = Ф(б, A,b), 6 = y - Rx, (1.2)
здесь х = (хьх2,..., хв)т — вектор состояния, / = (/1,/2,..., /„)Т, а — некоторый скалярный параметр, и — сигнал с выхода релейного элемента, Я — матрица-строка коэффициентов обратных связей. Релейный элемент предполагается двухпозиционным. Функция Ф задается статической характеристикой релейного элемента с гистерезисом (рис. 2). Будем считать, что объект обладает симметрией:
/ (—х, а, —и) = —/ (х, а, и).
Фазовый годограф [1, 3] позволяет легко определить возникающие в представленной на рис. 1 и 2 автономной системе (уЦ) = 0) автоколебания. Пусть х(0 — периодическая траектория периода 2Т, обладающая, как отмечалось во Введении, симметрией:
х(1 + Т) = -х(1).
Определим чувствительность автоколебаний к изменению параметра а. Учитывая симметрию, ограничимся рассмотрением периодической траектории на полупериоде. На полупериоде сигнал и(1) является постоянной величиной.
Дадим параметру а малое приращение 8а. Малое изменение параметра а приведет к малому изменению периодической траектории х(^. Обозначим периодическую траекторию в параметрически возмущенной системе
х(0 = х(0 + 5х(0.
В соответствии с уравнением (1.1)
— = — + = /(х + 5х, а + 5а, и). & & &
Полагая, что функция / непрерывно дифференцируема по х и а, можно записать
Фх+ёЪх = /(х, а, и)5х+тхаА 8а. (1.3)
& & дх да
В равенстве (1.3) 8х и 8а — зависимые малые величины. Далее, в нем опущены слагаемые, имеющие порядок малости выше первого.
Периодическая траектория х(0 удовлетворяет уравнению (1.1). Из (1.3), таким образом, следует
ddx _ df (x, а, u) gx + df(x, а, u) ga dt dx да
(1.4)
Равенство (1.4) связывает между собой малые отклонения 8а и 8х и называется уравнением в вариациях. Вариация параметра а приведет также к малому изменению периода, т.е. траектория х(0 имеет период 2(Т + 5 Т).
Равенство (1.4) представляет собой неоднородное линейное уравнение с переменными коэффициентами. Обозначим V °((0, ¿) нормированную фундаментальную матрицу решений однородного уравнения (1.4), здесь t0 — начальный момент времени. Совместим начальный момент с моментом переключения на траектории х(1) управления с и = - А на и = А, положив t0 = 0.
Обозначим через г(1) решение неоднородного уравнения (1.4) при 8х(0) = 0 и 5а = 1. Решение уравнения (1.4) при произвольном начальном условии 8х(0) имеет вид
5x(t) = V (0, t) 5x(0) + r(t) Sa.
(1.5)
На траектории x(t) переключение управления с u = A на u = -A происходит в момент t = T + 5 T и, следовательно, справедливо равенство
-R [x(T + ST) + 5x(T + ST)] = -b.
(1.6)
Опуская, как и выше, величины, имеющие порядок малости выше первого, и принимая во внимание условие переключения релейного элемента на траектории х(?), из (1.6) найдем
Ях Т)ЪТ + Я8х~(Т) = 0,
здесь и дальнейшем символом "минус" обозначаются пределы слева. Таким образом, вариация Я 8х ~(Т)
S T =
(1.7)
ях (Т)
Ниже равенства, в которых не учитываются величины, имеющие порядок малости выше первого, будем записывать, не оговаривая это особо.
Периодическая траектория х^) обладает симметрией и поэтому
х(Т + 8 Т) + 8х(Т + 8 Т) = -х(0) - 8х(0).
Отсюда, учитывая симметрию траектории х(0, следует
8х(0) = -8х"(Т) - х"(Т)8 Т. (1.8)
Подставляя (1.7) в (1.8) и принимая во внимание равенство (1.5), найдем
I + V0(0 T) _ x~(T)RV (0,T) , Rx ~(T)
8x(0) =
x~ (T )Rr(T) Rx ~(T)
r(T)
8a,
где I — единичная матрица. Из (1.9) следует, что
Sx(0) =
I + vо - x~TRV°(0, T) Rx (T)
x ~(T) Rr(T) Rx (T)
- r(T)
Sa.
(1.9)
(1.10)
Здесь не рассматриваются особые случаи, когда Rx (T) = 0, а также когда обратная матрица может не существовать, так как указанные ситуации нехарактерны для реальных релейных систем.
Представим для удобства равенство (1.10) в виде Sx(0) = l Sa,
здесь l — «-мерный вектор. Если в (1.5) положить Sx(0) = l Sa, то получим формулу, задающую вариацию периодической траектории, обусловленную изменением параметра а. В дальнейшем вариацию периодической траектории обозначим
Sx(t) = p(t)Sa,
где
p(t) = V 0(0, t) l + r(t). (1.11)
Вектор-функция p(t) является функцией чувствительности периодической траектории x(t) по параметру а:
М) = lim x(t) - x(t) = lim x(t) + p(t) 8a- x(t) = (1.12)
da 0 8a ва^ 0 8a
Из (1.7) и (1.5) следует, что
R V 0(0, T) l + r(T) ISa
ST = —L-1—, (1.13)
Rx (T)
а функция чувствительности периода автоколебаний
= lim
da 5a ^ 0
2(T + ST) - 2T" Sa
2Rp(T)
Ях (Т)
Обозначим коэффициент чувствительности полупериода автоколебаний через V, т.е. положим 5Т = v5a.
2. Фундаментальная матрица решений. В рамках теории [1—9], на которой базируется настоящая статья, устойчивость периодического движения определяется с помощью уравнения в вариациях. Она сводится к устойчивости однородного линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами и определяется по собственным числам матрицы, задающей это уравнение. Для формирования разностного уравнения необходимо получить нормированную фундаментальную матрицу решений уравнения в вариациях.
Определяется устойчивость периодической траектории хЦ). Возмущенную (малым изменением начального услов
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.