Автоматика и телемеханика, Л- 4, 2007
Детерминированные системы
РАС Б 05.45.-а
© 2007 г. Л.С. ИБРАГИМОВА, канд. физ.-мат. наук, М.Г. ЮМАГУЛОВ, д-р физ.-мат. наук (Сибайский институт Башкирского государственного университета)
ФУНКЦИОНАЛИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ О ЛОКАЛЬНЫХ БИФУРКАЦИЯХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ1
Рассматривается метод фупкцпопалгоации параметра, предложенный М. А. Красносельским для решения задач с параметрами и континуумами неподвижных точек. Предлагается общая схема конструирования функционалов в задаче о бифуркации малых решений операторных уравнений. В качестве приложения рассматриваются актуальные в теории управления задачи о локальных бифуркациях динамических систем: бифуркации двукратного равновесия и вынужденных колебаний, а также бифуркации циклов дискретных систем. Указаны новые достаточные признаки бифуркаций, разработана итерационная процедура построения решений и их асимптотические представления, указаны условия устойчивости.
1. Введение
В динамических системах при изменении параметров стационарные состояния могут изменять характер устойчивости, следствием чего могут быть различные бифуркации: возникновение новых состояний равновесия, периодических или почти периодических колебаний малой амплитуды и др. Теория бифуркаций играет ключевую роль при описании качественных перестроек в управляемых системах. С помощью ее были исследованы многие задачи теории управления, такие как задачи о мягких и жестких режимах возбуждения автоколебаний, о безопасных и опасных границах областей устойчивости равновесий и периодических движений, о ре-зонансах и др. Различным аспектам исследования задач о бифуркациях посвящены работы многих авторов: классическими здесь являются работы A.A. Андронова и его научной школы [1]. С современным состоянием теории можно познакомиться, например, в [2].
Задачи о бифуркациях приводят к уравнениям, содержащим параметры, а интересующие решения, как правило, существуют при неизвестных априори значениях параметров. Эти решения обычно образуют непрерывные (по параметрам) ветви, более того, при фиксированных значениях параметров решения могут образовывать
1 Работа выполнена ири частичной поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований 06-01-72552-НЦШ1Л _а.
связные континуумы. Это снижает эффективность многих, в особенности приближенных. методов исследования.
М.А. Красносельский [3] для исследования таких задач предложил метод функционализации параметра, основная идея которого состоит в том. что параметры задачи заменяются специально сконструированными функционалами. Это позволяет перейти к задаче с изолированными решениями, для исследования которых эффективны многие стандартные методы исследования. Метод функционализации параметра нашел свои приложения при решении ряда важных задач теории управления. в частности задачи о бифуркации Андронова Хопфа [4. 5].
Одним из основных в методе функционализации параметра является вопрос о "правильном" конструировании функционалов, позволяющем провести эффективное и детальное исследование задачи. В настоящей работе предлагаются общая схема конструирования функционалов в задаче о бифуркации малых решений операторных уравнений и ее приложения в проблемах качественного и приближенного исследования локальных бифуркаций динамических систем.
2. Бифуркации малых решений операторных уравнений
Задачи о состояниях равновесия, периодических или почти периодических колебаний динамических систем, возникающих в окрестности некоторого состояния равновесия, можно различными способами свести к эквивалентной задаче о малых ненулевых решениях операторных уравнений вида
(1) х = Е(X, X), X е Н,
где Е(х, X) - вполне непрерывный оператор, действующий в нормированном пространстве Н и непрерывно (по норме операторов) зависящий от параметра X, при этом Е(0, X) = 0. Некоторые из таких способов будут указаны ниже.
Значение Хо параметра X называют [3] точкой бифуркации малых решений уравнения (1), если существует последовательность Xn ^ Xо, такая что при каждом X = Xn уравнение (1) имеет ненулевое решение хп, иричем \\хп\\ ^ 0 при п ^ векторы хп называют бифурцирующими решениями уравнения (1).
В этом разделе будет указана общая схема реализации метода функционализации параметра в задаче о бифуркации малых решений уравнения (1). Параметр X предполагается скалярным, а оператор Е(х, X) - дифференцируемым по х и X в окрестности точки х = 0 и при IX — Xо | ^ 1. Для простоты Н считается гильбертовым пространством.
2.1. Достаточные признаки бифуркации малых решений
Положим А^) = Е'х(0, X); А^) представляет собой дифференцируемое семейство линейных вполне непрерывных операторов. Уравнение (1) может быть представлено в виде
(2) х = А^)х + о(х^), х е Н,
в котором \\о(х, X)\\ = о(\\х\\) при \\х\\ ^ 0 равномерно по X.
Известно, что значение XI] те может быть бифуркационным, если оператор А^о)
1
условие:
1Л. Число 1 являете простым собственным значением оператора А^о).
Оператор А^) при X, близких к Xо, имеет простое собственное значение ¡(X), где ¡(X) - непрерывная функция и ¡(Xо) = 1. Классическим достаточным условием бифуркации является [3] следующая
Теорема 1. Пусть выполнено условие и 1. Пусть функция ¡(X) — 1 в каждой окрестности числа Xо принимает значения обоих знаков. Тогда Xо является точкой бифуркации малых решений уравнения (2).
Достаточное условно, приведенное в теореме 1. требует детального анализа поведения собственных значений оператора А^) при значениях X, близких к X!- Такой анализ, как правило, сопряжен со значительными вычислительными трудностями.
Укажем другой достаточный признак бифуркации малых решений уравнения (2). проверка которого не требует такого анализа.
Из условия Ш следует, что сопряженный оператор А*^) : Н ^ Н также имеет простое собственное значение 1. Обозначим через ео и до отвечающие собственному значению 1 собственные векторы операторов А^о) и А*^о) соответственно. Векторы ео и до можно нормировать в соответствии с равенствами \\ео\\ = 1 и (ео,до) = 1. Ниже будем считать выполненным условие: 112. Имеет место соотношение (А'^о^о, до) = 0.
Теорема 2. Пусть выполнены условия и 1 и и2. Тогдо Xо является точкой
(2)
В условиях теорем 1 и 2, как правило, возникает одна или несколько непрерывных ветвей х = х^) бифурцирующих решений уравнения (2), определенных либо в некоторой окрестности X — 6, Xо + 6), либо только в односторонней окрестности: слева X —6, Xо] (субкритическая бифуркация) или справа [Xо, Xо+6) (суперкритическая бифуркация). Непрерывная ветвь XX бифурцирующих решений уравнения (2) в пространстве Н касается в начале координат при X = Xо подпространства Но -
ео
В предлагаемой схеме более удобно изучать эволюцию бифурцирующих решений уравнения (2) не в виде зависимости х = хМ, а в параметрической форме
(3) х = х(е), X = X(е),
где е - малый параметр так, что х(0) = 0 и X(0) = Xо. Ветвь бифурцирующих решений х(е) касается при е = 0 подпространства Но. Поэтому решение (3) уравнения
еео
2.2. Функционализация параметра: основные условия
Приведем схему, позволяющую на основе метода функционализации параметра провести детальное исследование бифуркации малых решений уравнения (2) в условиях теоремы 2. Для этого параметр X в уравнении (2) заменим некоторым непрерывным функционалом X = / (х) и получим уравнение
(4) х = А[/ (х)]х + о[х,/ (х)],
уже не содержащее параметр X. Каждое его решение х* является решением и уравнения (2) при X = /(х*).
/(х)
рических соображений.
х(е)
окрестности вектора еео и при этом значение X(е) будет близко к Xо, то естественно функционал /(х) выбрать из условия /(еео) = Xо.
/(х)
рим семейство параллельных гиперплоскостей П^) = {х : /(х) = X} коразмерности один. Если величина \\/'(еео)\\ достаточно большая, то в ситуации общего положения в точности одна из гиперплоскостей П^) трансверсально пересечет непрерывную
ветвь бифурцирующих решений х(А) в точке х* с одним и тем же (для гиперплоскости и ветви) значением параметра А. Точка х* будет решением уравнения (4), а следовательно, и решением уравнения (2) при А = /(х*).
Таким образом, функционал /(х) естественно конструировать исходя из условий:
А1. /(£ва) = Ао, А2. (¡'(£во),во) = 0, А3. '(еео)Н > 1.
Условие А2 означает трансверсальное пересечение подпространства Н0 и гиперповерхности П0 = {х : /(х) = А0}.
2.3. Линейная фупкциопалшация
Условия А1-АЗ на функционал f (x), конечно, носят общий характер. Конструируя функционал f (x) в соответствии с этими условиями, можно затем проводить детальное исследование уравнения (4).
Рассмотрим линейную функционализацию, а именно: считая без ограничения общности, что Ао = 0, функционал f (x) выберем, например, в виде
f (x) = — (x,ffo)-
£
Условия AI—A3 для пего выполнены; условие A3 имеет место при малых £| > 0. Подставляя этот функционал в (2), получим уравнение
(5) F (x) = Fo(x)+w(x) =0,
где Fo(x) = x — A[f (x)]x и w(x) = —a[x, f (x)].
Применим для исследования уравнения (5) метод Ныотона Канторовича с возмущениями (см. [6]). Производная Фреше оператора F0(x) при x = x0 (здесь xo = £ео) имеет вид
(6) F0 (xo)h = h — Ao(h,go)A'eo — Ah,
где обозначено A = A(Ao), A' = A'(Ao). Оператор (6) не зависит от £ и в силу условия U2 непрерывно обратим.
Обозначим ro = Fo(£eo)]-1 : H ^ H и Sp = {x : \\x — £eo\\ < p}.
Теорема 3. Пусть выполнены условия U1 и U2. Тогда при малых £| > 0 уравнение (5) имеет в шаре Sr(E) некоторого радиуса r(£) > 0 r(£) = o(£) при £ ^ 0,
x(£)
довательных приближений
(7) xfc+i = xk — ToF (xk), k = 0,1, 2,...,
где xo = £eo. При этом \\x(£)\\ ^ 0 и f [x(£)] ^ Ao при £ ^ 0. Вектор x(£) является
(2) A = f[x(£)]
Итерационная процедура (7) может быть использована и для получения асимп-£ a(x, A)
в виде a(x,A) = a2(x,A) + b(x, А), где a2(x,A) содержит слагаемые второй степени по x, а b(x, A) - слагаемые более высокого порядка.
Теорема 4. Существующие в условиях теоремы 3 бифурцирующие решения x(£) уравнения (2) и соответствующие значения параметра A£ = f [x(£)] представили.в виде
(8) x(£) = £eo + £2e1 + o(£2), A£ = Ao + £A1 + o(£),
г
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.