ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2007, том 414, № 4, с. 443-446
МАТЕМАТИКА
УДК 517.984
ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР
С ИНВОЛЮЦИЕЙ
© 2007 г. М. Ш. Бурлуцкая, В. П. Курдшмов, А. С. Луконина, А. П. Хромов
Представлено академиком В.А. Ильиным 04.12.2006 г. Поступило 05.12.2006 г.
В сообщении рассматривается функционально-дифференциальный оператор
I (у) = а! У( х) + а2у} (1- х) + рх (х )у (х) +
+ р2(х)у(1- х), х е [0, 1 ], (1)
с инволюцией Ф(х) = 1 - х, которая порождает оператор отражения Sy(x) = у(1 - х). Дифференциальные уравнения с операторами отражения имеют давнюю историю и интенсивно исследуются в настоящее время [1-6]. Оператор (1) возникает, в частности, и при изучении разложений по собственным и присоединенным функциям (с.п.ф.)
интегрального оператора
А/ = |А (х, гЩсИ,
ядро
^(У) = \у (0 ¿с(Г)
= 0.
(2)
Считаем, что а2 = 1, а1 Ф 1, р(х) е Сх[0, 1] (/ = 1, 2) и с^) - функция ограниченной вариации. Исследуем безусловную сходимость разложений по с.п.ф. в Ь2[0, 1] (базисы Рисса со скобками). Для диффе-
ренциальных операторов эта задача хорошо изучена [7-10].
Пусть у = Я/, где ЯХ = (Ь - ХЕ)-1 - резольвента оператора Ь (Е - единичный оператор, Х - комплексный параметр). Тогда имеем
а! у' ( х ) + У (1 - х) + Р1 (х )у (х) + Р2 (х )у (1 - х) =
= Ху (х) + /(х). (3)
Полагая ^(х) = у(х), г2(х) = у(1 - х) и беря еще (3) с заменой х на 1 - х, придем к системе
В2 (х) + Р (х) 2 (х) = Х2 (х) + S (/(х), /(х))Т, (4) где
А(х, 0 которого имеет разрывы на линиях t = х и I = 1 - х (см. [5, 6]). Главная часть 10(у) оператора (1), т.е. при рх(х) = р2(х) = 0, обладает тем свойством, что 10(10(у)) = (а2 - а2 )у"(х). Таким образом, оператор (1) выступает как обобщение корня квадратного из оператора у"(х). Отметим еще, что оператор (1) приводится к одномерному оператору Дирака (см. ниже).
В сообщении рассмотрим некоторые случаи использования оператора (1) в задаче разложения по с.п.ф.
1. Рассмотрим оператор Ь, порожденный (1) с краевым условием интегрального типа:
В =
/ л
а1 -1
1 -а
Р (х) =
1
/ л
Р\(х) Р2(х)
Р2( 1 - х) Р\( 1 - х)
2(х) = (гх(х), 22(х))Т (Т - знак транспонирования), S(/1(x), /2(х))Т = Ох(х), /2(1 - х))Т. Система (4) есть система Дирака. Краевое условие (2) переходит в
| Sz( 0 ёс( t)
= 0.
(5)
Лемма 1. Если у = Я/, то 2(х) удовлетворяет системе (4), (5). Обратно, если 2(х) удовлетворяет (4), (5) и соответствующая однородная система имеет только нулевое решение, то ЯХ существует и Я/ = 21(х).
Укажем необходимые преобразования системы (4), (5).
Лемма 2. Преобразование 2 = Ги приводит систему (4), (5) к следующей:
и'( х) + Р1 (х) и (х) = ХБи( х) + т (х),
(6)
Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского
р(Ги (t)) ёс( t) = 0.
(7)
0
0
0
Здесь Г =
/ л
1 у
Y 1
, y = а1 - d-1, d = (а? - 1)-1/2, Р1(ж) =
= ^ГВДГ, £> = diag(d, -d), m(x) = DlHS/x), Jx))T. Пусть #0(x) = diag(A1(x), h2(x)), где h(x) = / x л
= exp
-J P„(t)dt
, ^й(х) - диагональные элементы
V 0
матрицы Рх(х), Н1(х) - кодиагональная матрица, являющаяся решением матричного уравнения Н'0 (х) + Р1(х)Н0(х) + Н1(х)0 - ОН1(х) = 0.
Лемма 3. При больших |Х| преобразование и = Н(х, XV где Н(х, X) = Н0(х) + Х-1Нх(х), приводит систему (6), (7) к виду
V' (х) + Рх( х) V (х) = Ш V (х) + т (хД), (8)
U( v) = J S(ГH( t,X) v (t)) do( t)
= 0,
(9)
где РХ(х) = Х-1Н-\х, Х)(Н (х) + Р1(х)Н1(х)), т(х, X) = = Н-1(х, Х)т(х).
Требуем, чтобы выполнялось следующее условие (аналог условия регулярности Биркго-фа): (в2 - у2а2)(а2 - у2р2) ф 0, где а = а(+0) - а(0), в = а(1) - с(1 - 0). При этом условии, используя асимптотические свойства системы (8), (9), получаем, что все Х^, где Хк - собственные значения оператора Ь, находятся в некоторой полосе П = = {ХЛ\ |ЯеХ^| < к}, причем число в прямоугольнике |ЯеХ^| < к, |1тХ^ - ^ < 1 ограничено при всех вещественных I. Полосу П можно представить в виде объединения конечного числа различных групп равных между собой прямоугольников, границы которых Гк (к = ±1, ±2, ...) (при возрастании |к| контуры удаляются от начала координат) состоят из отрезков, лежащих на прямых ReXd = ±к, и отрезков длины 2к, параллельных вещественной оси. При этом контуры Гк находятся на положительном расстоянии от множества {Хк}. Кроме того, для каждого Гк конкретной группы существует целое tk такое, что Гк = Г + иь где Г - некоторый фиксированный контур этой группы.
Лемма 4. Пусть 3 - любой конечный набор целых чисел.
Тогда имеет место оценка
1J
k e J Гк
этом в скобки нужно объединять те с.п.ф., которые отвечают Xkd, находящимся внутри одного Г,, при некотором s.
2. Пусть оператор L тот же, что и в разделе 1, но краевое условие новое:
i
U(y) = Jp (t) y (t) dt = 0,
0
где p(t) = ak{t) (0 < а < 1) и k(t) e C[0, 1] n V[0, 1]. t (1 - t)а Пусть выполняется условие
(k2( 1) - y 2k2( 0))(k2( 0) - y 2k2( 1 ))* 0.
Используя леммы 1-3 здесь и далее, методом Коши-Пуанкаре контурного интегрирования резольвенты по расширяющимся контурам X-плос-кости получаем следующие результаты Теорема 2. Для любой /(x) e L[0, 1]
МSr(J x) - Or|d(J xЩC[E,!_E] = 0, e e ^0, ,
где Sr(f, x) - частичная сумма ряда Фурье по с.п.ф. оператора L для тех Хк, для которых |Хк| < r; cr(J, x) - частичная сумма тригонометрического ряда Фурье по системе {e2knix }+J для тех к, для которых |2кп| < r.
Теорема 3. Если/(x) e C[0, 1] n V[0, 1] и U( J) = 0, то
Hm||/(x) - Sr(J x^ с[0,1 ] = 0.
ri J
Положим Sr(/ x; g) = -—J g(X, r)RXJdX, где
2ni J
IX = r
g(X, r) непрерывна по X при |X| < r и аналитична по X в круге |X| < r, равномерно по r ограничена, при некотором v > 0
g(re'argX, r) = O
П ± arg Xd
= 0(1),равномерная по 3(||-|| - норма в Ь2[0, 1]).
Используя леммы 1-4 и полноту в Ь2[0, 1] системы с.п.ф. оператора Ь, получаем следующий результат.
Теорема 1. Система с.п.ф. оператора Ь образует базисы Рисса со скобками в Ь2[0, 1]. При
и g(X, r) i 1 при r i j и фиксированном X.
Теорема 4. Если/(x) e C[0, 1] и U(/) = 0, то
Hmll/(x) - Sr( Jx; g c[ 0,1 ] = 0.
r i j
Для случая оператора Ly = y'(x) эти результаты получены A.M. Седлецким (см. [11, с. 21]).
3. Рассмотрим простейший граф из двух ребер и содержащий цикл. На таком графе (1) порождает функционально-дифференциальный оператор, который можно записать (см. [12, с. 21]) следующим образом:
Ly = (h(y), l?(У))T, У = (У1,У?)T,
0
ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫИ ОПЕРАТОР
445
где
¡, (у,) = ап у] (х) + апу\(1- х) + рп( х )у, (х) +
+ р,2( х) у, (1- х). (10)
Предполагаем, что а- - постоянные вещественные числа, причем а] = а22 - а21 > 0, р—х) - ком-
плекснозначные функции из Сх[0, 1]. Считаем, что у(х) удовлетворяет условию непрерывности во внутренней вершине графа. Таким образом, получаем следующие граничные условия: ух(0) = = у1(1) = у2(0). Для у = Я/аналогично (4), (5) получаем краевую задачу
В2( х) + Р (х) 2 (х) = Х2 (х) + т (х), (11)
M0z( 0) + M1 z (1) = 0, где B = diag(Bb B), P(x) = diag(P^x), P2«),
(12)
Bj =
a j 1 -aj2 \ aj2 -aj1 У
P, ( x) =
Pjl( x ) Pj 2 ( x ) Pj2(1 - x) Pjl(1 - x)
2(х) = ^(х), 22(х), 2з(х), 24(х))Т, 2х(х) = ух(х), 22(х) = = ух(1 - х), 2з(х) = у2(х), 24(х) = у2(1 - х), т(х) определяется, как и 2(х), когда вместо у(х) берется/(х),
м = (М)1, М = (м\)\, Ми = М 1 = М^ = М\2 = 1,
М^ = м33 = М^ = М^ = -1, а остальные М0- и
12 1j
е е
0- 2
где г; = гаг-1/2, ||-||Е - норма в пространстве непрерывных на [£, 1 - £] вектор-функций размерности 2.
Для оператора чистого дифференцирования, т.е. когда I ,(у ,) = у' (х), теорема 5 неверна. Тем самым наш оператор Ь улучшает свойства оператора чистого дифференцирования.
4. Пусть теперь граф состоит из трех ребер, образующих цикл. Тогда оператор (1) на нем порождает функционально-дифференциальный оператор Ь, который можно записать так:
Ьу = (¡1 (у), ¡2(у), ¡з(у))Т, у = (у1,у2,уз)Т,
где ¡(у) имеют вид (10). Считаем, что для ] = 1, 2 выполняются требования раздела 3, а для ] = 3 пусть а31 = 1, а32 = 0, р32(х) = 0. Таким образом, наш оператор на двух ребрах графа функцио-
нально-дифференциальный, а на третьем - обыкновенный дифференциальный оператор первого порядка. Краевые условия (условия непрерывности траектории в узлах графа) будут такими:
ух(1) = у2(0), у2(1) = у3(0), у3(1) = ух(0). Для у = Я/ где /(х) = /х), /2(х), /3(х))Т, аналогом (4), (5) будет краевая задача (11), (12), где теперь В = diag(B1, В2, В3), Р(х) = ^(Рх(х), Р2(х), Р3(х)), В,, В2, Рх(х), Р2(х) те же, что и в разделе 3, В3 = 1, Р3(х) = р31(х) е Сх[0, 1], 2(х), т(х) - вектор-функции пятого порядка, первые четыре компоненты те же, что и в разделе 3,
а 25(х) = у3(х), т5(х) = /3(х). Кроме того,М0 = (М^)], М = (М% , где М 1 = Ми = М°2 = М°45 = М°5 = 1, М°4 = М15 = М21 = М\4 = М\3 = -1, а остальные
М- и М1 равны нулю. Таким образом, на двух ребрах имеем системы Дирака, а на третьем -обычный дифференциальный оператор первого порядка.
Теорема 6. Для любой вектор-функции /(х) = (/1(х),/2(х),/3(х))Т с компонентами из Ь[0, 1]
Нш I, х) - (с (/1, х), с (/2, х), сг(/з, х))Т||Е = 0,
г 1 2 "ь
ее (0, 1
M, равны нулю.
Теорема 5. Для любой вектор-функции f (x) = (f1(x), f2(x))T с компонентами из Z[0, 1]
lim IISr(f, x) - (Cri(f1, x),or2(f 2, x))T\\е = 0,
где г1 и ||-||е те же, что и в теореме 5 (правда, ||-||е берется уже для вектор-функции размерности 3).
5. Теперь вместо (1) рассмотрим такой оператор Ь:
Ьу = Щ х )у\Ь( х)) + р1 (х) у (х) + Р2 (х )у(Щ х))
с краевым условием у(1) = 0, где Ф(х) - вещественная трижды непрерывно дифференцируемая монотонно убывающая функция, причем Ф(0) = 1, д(1) = 0 и £(£(х)) = х. Тогда А'(х) < 0. Укажем при-
1 - х
меры таких инволюций: 1) Ф(х) =-- , где а > -1;
ах +1
2) ф(х) есть решение уравнения р(х) + р(у) = 1, где р(х) - трижды непрерывно дифференцируемая, строго возрастающая функция, р'(х) Ф 0 при всех х е [0, 1] и р(0) = 0, р(1) = 1. В этом случае для у = Я:/ получаем краевую задачу (11), (12), где
B = B (x) =
0 1
(V( x ))-1 0
P (x) =
P1(x) P2(x) P2(4x)) P1(b(x))
Mo =
/ л
0 1
v0 0У
M1 =
/ л
0 0
V 1 0У
Теорема 7. Еслиfx) е Z[0, 1], то НтША x )- ar(fi,^)l m-i( II гГр1 pl
r ^Jl = Ф (x)ll C[e, 1- E]
=
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.